2024高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練十二（共99題）附答案解析

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)解答題專項訓(xùn)練題(共99題)附答案解析

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，APAB和AP8C均是以邊長為2迎的等邊三角形，且4C=4.

(1)證明：平面PAC，平面ABC；

⑵若點M在線段BC上，且=求二面角M—PA—B的余弦值.

2.已知4尸分別是橢圓C：芻+m=l(a>b>0)的左頂點和右焦點，過F的直線[交C于點D,E.

ab

當(dāng)/至”的最大距離為4時，|DE|=竽.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)C的右頂點為B,直線AC的斜率為后，直線BE的斜率七.若好+優(yōu)=1,

①求*的值；

K2

②比較|FD|與初尸E|的大小.

3.已知函數(shù)/(%)=I[X-1|,^(x)=\x-m\+m,VxCR,/(x)<5(x).

(1)求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)m取最小值時，證明：/(x)+g[x}>+1.

4.已知函數(shù)/(%)=/—a/+2a久一1,其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)，e=2.71828...,若函

數(shù)/'(%)有兩個極值點“1，

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：JX1—1+yj%2-1>2.

5.在平面直角坐標(biāo)系%Oy中，已知曲線C：{；二裝器(戊為參數(shù))，直線，：J二為參

數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C和直線1的極坐標(biāo)方程；

(2)點P在直線1上，射線OP交曲線C于點R,點Q在射線OP上，且滿足5|OR|2=

4|OP||OQ|,求點Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的直角坐標(biāo)方程為y=6％,曲線C的參數(shù)方程為

匕：（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（y一4十siriu,

（1）求直線1和曲線C的極坐標(biāo)方程；

11

（2）若直線1與曲線C交于A,B兩點，求向+贏.

7.隨著科技的不斷發(fā)展，“智能手機''已成為人們生活中不可缺少的必需品，下表是年廣西某地市手

機總體出貨量（單位：萬部）統(tǒng)計表.

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代碼X12345

手機總體出貨量y/萬部4.94.13.93.23.5

并計算求得2"（演一兄）仇—刃=-3.7

v-,n

附：線性回歸方程y=a+標(biāo)中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為8=一^-------—,

〉（x廠工）

a=y—bx-

（1）已知該市手機總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的線性回

歸方程；

（2）預(yù)測2023年該市手機總體出貨量.

8.2023年3月5日，國務(wù)院總理李克強在政府工作報告中指出“著力擴大消費和有效投資.面對需

求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動消費盡快恢復(fù).幫扶旅游業(yè)發(fā)展.圍繞補短板、調(diào)結(jié)構(gòu)、增后勁擴大有

效投資.”某旅游公司為確定接下來五年的發(fā)展規(guī)劃，對2013~2022這十年的國內(nèi)旅客人數(shù)作了初步

處理，用陽?和％分別表示第i年的年份代號和國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬人次），得到下面的表格與散

點圖.

年份2013201420152016201720182019202020212022

年份代碼X12345678910

國內(nèi)游客

3262361139904432500055426006287932462530

數(shù)y

S

S

S

年份代號X

\yTl

f「刃

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：6=弋始--------,a=y-bx

〉(勺一目

參考數(shù)據(jù):￡=1%=31843,2』?一旬仇—4549)=13104

(1)2020年~2022年疫情特殊時期，旅游業(yè)受到重挫，現(xiàn)剔除這三年的數(shù)據(jù)，再根據(jù)剩余樣本

數(shù)據(jù)(々，%)(i=l,2,3,…，7)建立國內(nèi)游客人數(shù)y關(guān)于年份代號》的一元線性回歸模型；

(2)2023年春節(jié)期間旅游市場繁榮火爆，預(yù)計2023年國內(nèi)旅游人數(shù)約4550百萬人次，假若

2024年?2027年能延續(xù)2013年?2019年的增長勢頭，請結(jié)合以上信息預(yù)測2027年國內(nèi)游客人數(shù).

9.已知△ABC為銳角三角形，且cosA+sinB=+cosB).

(1)若C=*求4

(2)已知點。在邊4c上，且4D=BC=2,求CO的取值范圍.

10.雙曲線C：與-4=l(a>0,b>0)的左頂點為A,焦距為4,過右焦點F作垂直于實軸的直線

Qb

交C于B、。兩點，且AABO是直角三角形.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)M、N是C右支上的兩動點，設(shè)直線4M、AN的斜率分別為的、k2,若自七=一2，求點A到

直線MN的距離d的取值范圍.

11.已知a,b,c均為正實數(shù)，且a+2b+3c=4.

(1)若a=l,求證：①+正3號2；

(2)若正+傷+￡=2,求a的取值范圍.

12.已知點F(l,0),P為平面內(nèi)一動點，以PF為直徑的圓與y軸相切，點P的軌跡記為C.

(I)求C的方程；

(2)過點F的直線1與C交于A,B兩點，過點A且垂直于1的直線交x軸于點M,過點B且

垂直于1的直線交x軸于點N.當(dāng)四邊形MANS的面積最小時，求1的方程.

13.已知函數(shù)/(%)=alnx-號.

(1)當(dāng)a=l時,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若g(x)=葭/——(%—I/(aH0)有3個零點修，冷，x3,其中久1<%2<%3.求

證:(3a—1)(%1+X3+2)<2.

14.強基計劃?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩

所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學(xué)，每門

科目通過的概率均為受該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為春，|,m,其中0<m<

1.

(1)若m=|,分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；

(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依

據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，求m的取值范圍.

15.現(xiàn)有A,B兩個廣西旅行社，統(tǒng)計了這兩個旅行社的游客去漓江、樂滿地主題樂園、西街、龍

脊梯田四個景點旅游的各240人次的數(shù)據(jù)，并分別繪制出這兩個旅行社240人次分布的柱形圖，如

圖所示.假設(shè)去漓江、樂滿地主題樂園、西街、龍脊梯田旅游每人次的平均消費分別為1200元、

1000元、600元、200元.

(1)通過計算，比較這兩個旅行社240人次的消費總額哪個更大；

(2)若甲和乙分別去A旅行社、B旅行社，并都從這四個景點中選擇一個去旅游，以這240人

次去漓江的頻率為概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率.

16.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且反+?2=-be.

(1)求4

(2)若bsinA=4sinB,且Igb+Ige21—2cos(B+C),求ACBC面積的取值范圍.

17.設(shè)橢圓方程為多+￥=l(a>b>0),2(—2,0),B(2,0)分別是橢圓的左、右頂點，直線I過

ab

點C(6,0)，當(dāng)直線2經(jīng)過點D(—2,迎)時，直線，與橢圓相切.

(1)求橢圓的方程.

(2)若直線/與橢圓交于P,Q(異于4B)兩點.

(i)求直線BP與BQ的斜率之積；

(ii)若直線AP與BQ的斜率之和為―去求直線2的方程.

18.已知函數(shù)/(%)=ex-1—+x—minx-

(1)求曲線y=/(%)在％=1處的切線方程.

(2)若存在％1W.使得f(%l)=f(%2)，證明:

(i)m>0；

(ii)2m>e(ln、i+ln%2).

19.已知拋物線C：V=2p%(p>o)經(jīng)過點p(i,-2),過點Q(0,-1)的直線1與拋物線C有兩個

不同交點A,B,且直線24交y軸于M,直線PB變y軸于N.

(1)求直線I斜率的取值范圍；

(2)證明：存在定點T,使得兩=4行，麗=〃行且上+q=-4.

20.中國正在由“制造大國”向“制造強國”邁進，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人，更需要努

力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的

重要基石.如圖所示的一塊木料中，力BCD是正方形，PAL^ABCD,P4=4B=2,點E,F是

PC,40的中點.

(1)若要經(jīng)過點E和棱AB將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由并計算截面周長;

(2)若要經(jīng)過點B,E,F將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請說明理由.

21.如圖，在直三棱柱力中，AB=AC=A4i=3,點D是BC的中點:，點E在441上，

力?！ㄆ矫鍮CR.

(1)求證：平面BCiEJ?平面BBiGC；

(2)當(dāng)三棱錐當(dāng)-Bem的體積最大時，求直線AC與平面BQE所成角的正弦值.

22.已知函數(shù)/(久)=加婷+等2+1.

(1)若?n=0,求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若/(久)<0恒成立，求m的取值范圍.

23.某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎

勵規(guī)則如下：得分在［70,80)內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在［80,90)內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在

［90,100］內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名

學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.

—+0.6827,—2a<X<

〃+2。)a0.9545,P(〃-3。4X4〃+3。)《0.9973.

(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取2名學(xué)生的競賽成績，求這2名學(xué)生中恰有1名學(xué)生獲獎的概率;

(2)估計這100名學(xué)生的競賽成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布NQ,吟,

其中。”14,〃為樣本平均數(shù)的估計值，試估計參賽學(xué)生中成績超過78分的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五

入到整數(shù)).

24.已知函數(shù)/'(X)=|2x+2|+枕一3卜

(1)求不等式/(%)W5的解集；

(2)若VxWR,\a2-3a|</(%)>求a的取值范圍.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)

方程為，=sina+竺s。，(口為參數(shù)).

Iy=sina—V2cosa

(1)寫出C的普通方程和極坐標(biāo)方程:

(2)設(shè)直線O=B(pWR)與C交于點A,B,求依8|的最大值.

26.設(shè)函數(shù)/(X)="工+//一血》一號(m>n均為實數(shù)).

(1)當(dāng)?n=2時，若/'(x)是單調(diào)增函數(shù)，求葭的取值范圍；

(2)當(dāng)n>0時，求/(%)的零點個數(shù).

27.過點4(2,0)的直線［與拋物線C：y2=2px(p>0)交于點M,N(M在第一象限)，當(dāng)直線/的傾斜

角為與時，|而|=3V2.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知B(3,0),延長MB交拋物線C于點P,當(dāng)△MNP面積最小時，求點M的橫坐標(biāo).

28.已知函數(shù)/(x)=-2|+|x+2|.

(1)求不等式/Q)>2x+4的解集；

(2)若/(%)的最小值為k,且實數(shù)a,b,c，滿足a(b+c)=k,求證：2a2+川+c?28.

29.已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+2廬+3c2=4，證明：

(1)若a=c,貝<芋；

⑵a+2b+3c<2V6.

30.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且acosB+bsinZ=c.

(1)求角A的大??；

(2)若a=0，△ABC的面積為與1,求b+c的值.

2

31.在①4=2,廉+i—0=3(0n>0,neJV*)?=n-2n+3(nGN*),為｛%｝的前n項

和，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答下列問題.

已知數(shù)列｛an｝滿足—.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(1)求數(shù)列｛出｝的通項公式；

(2)對大于1的正整數(shù)n,是否存在正整數(shù)m,使得由，斯，成等比數(shù)列？若存在，求m的

最小值；若不存在，請說明理由.

32.隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌

行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌''帶動"大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.該市某中

學(xué)有A,B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)（人A）⑷B）（B,A）（B，B）

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐“，P(M)>0,

已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的

概率要大，證明：P(M|/V)>P(M\N).

33.在△ABC中，角2、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知=a(遮cosC—s譏C).

(1)求4

(2)若a=8,△ABC的內(nèi)切圓半徑為遙，求△ABC的周長.

34.已知橢圓E：今+技=l(a>b>0)的離心率為e,且過(2,0).(1,e)兩點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若經(jīng)過M(l,0)有兩條直線八，“，它們的斜率互為倒數(shù)，A與橢圓E交于A,B兩點，功與

橢圓E交于C,D兩點，P,Q分別是4B,CD的中點.試探究：△OPQ與△MPQ的面積之比是否為定

值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

35.在直角坐標(biāo)系40y中，直線珀勺參數(shù)方程為『二(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=8sin。，4為曲線。上一點.

(1)求4到直線/距離的最大值；

(2)若8為直線I與曲線C第一象限的交點，且乙4。8=需，求AAOB的面積.

36.如圖1,在五邊形4BCDE中，四邊形ABCE為正方形，CD1DE,CD=DE,如圖2,將

沿BE折起，使得A至4處，且為B1DE.

圖1圖2

(1)證明：DE_L平面&BE.

(2)求二面角C-AiE-。的余弦值.

37.已知/(x)=2cosx-sin(x+$,x&R,UBC的內(nèi)角A,B,C所對的，邊分別為a,b,c,若

/(x)的最大值為/(4).

(1)求A；

(2)當(dāng)a=2,b=2遮時，求△ABC的面積.

38.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,BD=DC=2AB=2,BD1

CD,APBD是等邊三角形且與底面垂直，E是棱PA上一點，AE=AEP.

(1)當(dāng)PC〃平面EBD,求實數(shù)人的值；

(2)當(dāng)人為何值時，平面EBD與平面PBD所成的銳二面角的大小為制

39.已知函數(shù)/(%)=+Inx+gxG(0,+oo),其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)若方程/(久)=e+1恰有兩個根，求a的取值范圍.

40.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的方程為：x2+y2-4x=0.

(1)寫出圓C的一個參數(shù)方程；

(2)若4%,yi),B(X2,丫2)是圓C上不同的兩點，且|AB|=2/,求打久2+乃兀的最大值?

41.已知函數(shù)/(%)=伍(1+x),g(x)=ax2+x.

(1)當(dāng)%>-1時，/(x)Wg。)，求實數(shù)a的取值范圍；

111

(2)已知ziEN*,證明：sin—工y+si/i-+,,,4-sin75-V/?12.

n+ln+22n

42.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且sin(A-B)=2sinC.

(1)證明：a2=b2+2c2;

(2)若人=爭，a=3,尻=3而，求AM的長度.

43.飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人

運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進行了簡單

隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表：

飛盤運動

性別合計

不愛好愛好

另61622

女42428

合計104050

2

附”=…圖)偏9+/其中…+力+。+&

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這1()人中隨

機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中

所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之

間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.

nn

44.設(shè)工是數(shù)列｛斯｝的前n項和，已知。3=0,an+1+(-l)Sn=2.

(1)求即，a2；

(2)令-=%1+1+2a”，求與++…+^2n-

-1

45.已知函數(shù)/(%)=/靖一3%，其中a不0.

(1)若/(x)有兩個零點，求a的取值范圍；

(2)若/(x)2a(l-2sinx),求a的取值范圍.

46.已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為1,點P為E上的一點，過點P作直線/的垂

線，垂足為M,且|MF|=|FP|,FM-FP=32-

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知△BCD的三個頂點都在拋物線E上，頂點B(2,4),△BCD重心恰好是拋物線E的焦點

F,求CD所在的直線方程.

47.2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京召開，此次大會是

在全黨全國各族人民邁上全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標(biāo)進軍的關(guān)鍵

時刻召開的一次十分重要的大會.在樹人中學(xué)團委的組織下，高二年級各班團支部舉行了“學(xué)習(xí)二十

大，做有為青年''的知識競賽活動，經(jīng)過激烈競爭，高二(1)班(以下簡稱一班)和高二(3)班

(以下簡稱三班)進入了最后的年級決賽，決賽規(guī)定：共進行5輪比賽，每輪比賽每個班可以從

A,B兩個題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每

個班的題目必須來自同一題庫，A題庫每題20分，B題庫每題3()分，一班能正確回答A、B題庫每

題的概率分別為京三班能正確回答A、B題庫每題的概率均為|,且每輪答題結(jié)果互不影響.

(1)若一班前兩輪選A題庫，后三輪選B題庫，求其總分不少于100分的概率；

(2)若一班和三班在前兩輪比賽中均選了B題庫，而且一班兩輪得分6()分，三班兩輪得分3()

分，一班后三輪換成A題庫，三班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為X,求X的分布列，并

從每班總分的均值來判斷，哪個班贏下這場比賽？

48.已知數(shù)列｛。n｝滿足“+1-a”=2n,且4=1.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設(shè)“二懸白求數(shù)列｛外｝的前n項和〃?

49.已知等差數(shù)列5｝的前n項和為S”，且a4=4,數(shù)列｛3｝的前n項之積為加，仇巖，且S”=

?og^CTn).

(1)求7\;

⑵令呢=篇是否存在正整數(shù)n,使得“7_1=%+0+1”與“小是0-1，Q+1的等差中項“同時

成立？請說明理由.

50.已知函數(shù)/(%)=Inx+X2-ax.

(1)若/(%)在g,2)上既有極大值又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若直線y=x-a與曲線y=y(x)(x＞苧)相切，求實數(shù)a的值.

51.如圖，在四棱錐P—4BMN中，△PMN是邊長為1的正三角形，面PMNJ■面AMN,AN//BM,

AN1NP,AN=2BM=2,C為P4的中點.

(1)求證：BC〃平面PMN；

(2)線段24上是否存在點F,使二面角F—MN-P的余弦值為綏I若存在，求PF.若不存在,

請說明理由.

52.記Sn為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛&J的前n項和，$3=7且a3,3a2,成等差數(shù)列.

(1)求｛。九｝的通項公式；

(2)設(shè)“=oJogzW+i，求｛bn｝的前n項和7rl.

53.已知兩個正項數(shù)列｛即｝,也｝滿足=

^W~Dnan九乙+1

(1)求包｝,｛壇｝的通項公式;

(2)用［%］表示不超過》的最大整數(shù)，求數(shù)列｛［與+an+1］-2如｝的前n項和S”.

54.在AABC中，角力、B、C所對的邊分別為a、b、c,—+$=3+—羿

cosBcosCcosAcosBcosC

(1)求tanBtanC；

(2)若be=3,求AZBC面積S的最小值.

55.如圖，四棱錐P—ABC。的底面ABC。是平行四邊形，平面PAD_L平面ABC。，NBA。=60。,

AD=2AB,PA=PD,。、E分另U是4。、BC的中點.

(1)證明：平面PBD_L平面POE；

(2)若4B=2,PA=2A/5，求平面POE與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

56.為進一步鞏固提升全國文明城市，加速推行垃圾分類制度，銅川市推出了兩套方案，并分別在

4、B兩個大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進行廣泛的宣傳活動，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類

的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活

動；方案二：在小區(qū)內(nèi)設(shè)立智能化分類垃圾桶，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過手機進行自動

登錄、稱重、積分等一系列操作.并建立激勵機制，比如，垃圾分類換積分兌換禮品等，以激發(fā)帶動

居民參與垃圾分類的熱情.經(jīng)過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內(nèi)各隨機抽取了100名居民進行問

卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分(滿分100分)，將數(shù)據(jù)分成6組：［40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖:

(1)請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣

措施更受居民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點值作代表);

(2)以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分認(rèn)為居民贊成推行此方案，低于70分認(rèn)為

居民不贊成推行此方案，規(guī)定小區(qū)居民贊成率不低于70%才可在該小區(qū)繼續(xù)推行該方案，判斷兩小

區(qū)哪個小區(qū)可繼續(xù)推行方案？

(3)根據(jù)(2)中結(jié)果，從可繼續(xù)推行方案的小區(qū)內(nèi)隨機抽取5個人，用X表示贊成該小區(qū)推行

方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

57.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-2|+|x+2|.

(1)解不等式/(X)<6-x；

(2)令/(x)的最小值為T,正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=T,證明：1+J+

58.已知橢圓C：今+*l(a>b>0)的離心率為整，且橢圓C經(jīng)過點(g，1),過右焦點F的直

線1與橢圓C交于A,B兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，求AOAB面積的最大值以及此時直線1的方程.

59.已知等差數(shù)列｛a“｝滿足a2=4,2a4-。5=7,公比不為-1的等比數(shù)列｛“｝滿足比=4,b4+

bs=8(比+玩).

(1)求｛冊｝與｛4｝通項公式；

3

(2)設(shè)呢=即7+]+｝，求｛%｝的前n項和Sn.

_JT-TT

60.已知函數(shù)/(%)=Asin(3x+0)G4>0,co>0)的圖象是由y=2sin(s:+石)的圖象向右平移6個

單位長度得到的.

(1)若/(x)的最小正周期為兀，求/(%)的圖象與y軸距離最近的對稱軸方程；

(2)若“X)在岐，竽]上有且僅有一個零點，求3的取值范圍.

61.在四棱錐P—ABC。中，四邊形4BCD為等腰梯形，AB||CD,AD=DC=1,AB=2,AC1PC.

(1)證明：平面ABC。1平面PBC；

(2)若PB1BC,PB=2a,求直線P4與平面PCD所成角的正弦值.

62.已知函數(shù)/(%)=e*+cos%—sinx,/'(%)為/'(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)證明：當(dāng)“20時，/(x)>0；

2z

(2)判斷函數(shù)。⑴=e-?[/(x)+/(2x)-e2x]_1的零點個數(shù).

63.已知a>b均為不是1的正實數(shù)，設(shè)函數(shù)y=/(%)的表達式為/(久)=a,CR).

(1)設(shè)a>b且/(x)Wb?a”,求x的取值范圍；

(2)設(shè)(1=表，b=4,記廝=1咤2/5),bn=f(n),現(xiàn)將數(shù)列｛4｝中剔除｛匕｝的項后、不改變

其原來順序所組成的數(shù)列記為｛0｝,求￡昔，q的值.

64.已知a,bWR,設(shè)函數(shù)y=/(X)的表達式為/(%)=a-x2-b-Inx(其中％>0)

(1)設(shè)a=1,b=0,當(dāng)/(X)>%T時，求x的取值范圍;

1

(2)設(shè)a=2,b>4,集合。=(0,1]>記g(x)=2cx-7(cCR),若y=g(x)在D上為嚴(yán)格

增函數(shù)且對D上的任意兩個變量s,t,均有/(s)2g(t)成立，求c的取值范圍;

1

(3)0,b<0,x>l時，記hn(x)=[/(%)丁+其中n為正整數(shù).

當(dāng)a=[fW]n,求證:

nn

[h^x)]+2>/in(x)+2.

65.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a-b=b-c=1.

(1)若a=4,求sinA；

(2)若△ABC的最大角為最小角的2倍，求a的值.

66.盲盒，是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機屬性.某品牌推出2款盲

盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，

有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐.開

售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計

年齡低于30歲183048

年齡不低于30歲221()32

合計404080

2

附：個二中昂能耗E其中ua+b+c+d,

2

P(K>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.6350.828

（1）根據(jù)2x2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為A,B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān);

（2）甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量f為其中隱藏款X的個數(shù)，求f的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單

品全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,求該隱藏款來自于B款盲盒套餐

的概率.

67.在等差數(shù)列（a"中，=4,為｛。幾｝的前n項和,510=55,數(shù)列｛匕｝滿足log2bl+log2b2+

,,,n（n+l）

…+log2*n=2-

（1）求數(shù)列｛冊｝和｛既｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛（一1葉即如｝的前n項和7”.

68.已知三棱柱ABC—&B1C1棱長均為1,且ACi=孚，B￡=1.

（1）求證：平面4BC1平面BCGB1；

（2）求平面ABQ與平面ABC所成夾角的余弦值.

69.已知數(shù)列｛an｝,｛b^｝酒足：%+2bl=1,斯+1=,即—華，2bn+i=^bn—

（1）求證:數(shù)列（an+2/｝是等比數(shù)列;

（2）若（從下列三個條件中任選一個），求數(shù)列｛&J的前般項和又?①的-=1；

@b2=-g：③a2—2b2=L

70.已知keR,a>0,設(shè)函數(shù)/(x)=/-a-［一,其中e為自然對數(shù)的底，e?2.71828-.

(1)當(dāng)a=l,k=2時，證明：函數(shù)f(%)在R上單調(diào)遞增；

(2)若對任意正實數(shù)a,函數(shù)/(%)均有三個零點的，x2,x3,其中打<相<為?求實數(shù)k的取值范

圍，并證明％2+%3>今

71.設(shè)函數(shù)/(久)=%-sin等.

(1)證明：當(dāng)xe［0,1］時，/(x)<0；

(2)記g(x)=f(x)-aln|x|,若g(x)有且僅有2個零點,求a的值.

72.盒子中有5個乒兵球，其中2個次品，3個正品.現(xiàn)從中不放回地隨機摸取2次小球，每次一

個.

⑴記“第二次摸出的小球是正品”為事件B,求證：P(B)=|;

(2)用X表示摸出的2個小球中次品的個數(shù)，求X的分布列和期望.

73.已知拋物線八丫2=軌的焦點為「，準(zhǔn)線為I,直線，經(jīng)過點F且與「交于點人B.

(1)求以F為焦點，坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為④的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若|2B|=5,求線段AB的中點到%軸的距離;

(3)設(shè)0為坐標(biāo)原點，”為廠上的動點，直線AM、BM分別與準(zhǔn)線］交于點C、D.求證：記.前為

常數(shù).

74.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b+c=2acosB.

(1)若B—今，求A；

(2)求(b+c+a)(b+c-a)的取值范圍

ac

75.為了解/市某疾病的發(fā)病情況與年齡的關(guān)系，從/市疾控中心得到以下數(shù)據(jù)：

年齡段(歲)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

發(fā)病率(％。)0.090.180.300.400.53

(1)若將每個區(qū)間的中點數(shù)據(jù)記為修，對應(yīng)的發(fā)病率記為匕。=1,2,3,4,5),根據(jù)這些數(shù)據(jù)

可以建立發(fā)病率y(%。)關(guān)于年齡x(歲)的經(jīng)驗回歸方程#=+求必

附：B%)(九刃,￡靖=11125,^=1xiyi=78.5

y(Di=i

乙J』

(2)醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)果有可能出現(xiàn)差錯.現(xiàn)有/市某位居民，年齡在［50,60).4表示事件

“該居民化驗結(jié)果呈陽性“，B表示事件“該居民患有某疾病已知P(4IB)=0.99,P(A|S)=

0.999,求P(BIA)(結(jié)果精確到0.001).

76.中國男籃歷史上曾12次參加亞運會，其中8次奪得金牌，是亞運會奪冠次數(shù)最多的球隊.第19屆

亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦.

2

參考公式：K2=7i(ad—be),其中n=a+b+c+d為樣本容量.

(a+b)(c+d)(a+d)(a+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某學(xué)校隨機抽取了男生和女生各100名進行調(diào)查，得

到2x2列聯(lián)表如下:

喜愛籃球不喜愛籃球合計

男生6535100

女生2575100

合計90110200

依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？

(2)?；@球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳

球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接

到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第般次觸球者是甲的概率記為P”，即Pi=l.

(i)求P3,24,并證明：｛七一》為等比數(shù)列；

(ii)比較第15次觸球者是甲與第15次觸球者是乙的概率的大小.

77.某城市響應(yīng)國家號召，積極調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，推出多種價位的新能源電動汽車.根據(jù)前期市場調(diào)

研，有購買新能源車需求的約有2萬人，他們的選擇意向統(tǒng)計如下：

車型ABCDEF

價格9萬元12萬元18萬元24萬元30萬元40萬元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購車需求的這些人今年都購買了新能源車，今年新能源車的銷售額預(yù)計約為多少億

元？

（2）車企推出兩種付款方式：

全款購車：購車時一次性付款可優(yōu)惠車價的3%；

分期付款：無價格優(yōu)惠，購車時先付車價的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車

價的卷

①某位顧客現(xiàn)有a萬元現(xiàn)金，欲購買價值a萬元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購買半年

期的理財產(chǎn)品（該理財產(chǎn)品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財收益）繼續(xù)購

買半年期的理財產(chǎn)品，問：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計算結(jié)果精確到0.0001）

②為了激勵購買理財產(chǎn)品，銀行對采用分期付款方式的顧客，贈送價值1888元的大禮包，試

問：這一措施對哪些車型有效？（計算結(jié)果精確到0.0001）

78.已知橢圓Ci：今+/'=1的左、右焦點分別為J、F?,圖心率為eI；雙曲線C2：~2—%=1的

左、右焦點分別為F3、%，離心率為e2,e「e2=字過點Fi作不垂直于y軸的直線1交曲線的于

點A、B,點M為線段AB的中點，直線OM交曲線Cz于P、Q兩點.

（1）求的、的方程;

（2）若麗=3用，求直線PQ的方程；

（3）求四邊形APBQ面積的最小值.

79.在xOy平面上.設(shè)橢圓「W+y2=i（m>i）,梯形ABCD的四個頂點均在廠上，且

ABHCD.設(shè)直線4B的方程為丫=CR）

(1)若AB為「的長軸，梯形ZBCO的高為發(fā)且C在48上的射影為「的焦點，求m的值；

(2)設(shè)僧=聲，直線CC經(jīng)過點P(0,2),求說?話的取值范圍；

(3)設(shè)血=應(yīng)，|AB|=2|CD|,40與BC的延長線相交于點M,當(dāng)k變化時，△MAB的面積是否

為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

80.如圖，已知4B、C是拋物線Q：/=y上的三個點，且直線°4、CB分別與拋物線G：y2=4x

相切，尸為拋物線的焦點.

(1)若點C的橫坐標(biāo)為X3,用％3表示線段CF的長；

(2)若C4J.CB,求點C的坐標(biāo)；

(3)證明：直線AB與拋物線「2相切.

81.已知函數(shù)/'(X)=V3sin(x+著)cos(x+系)+cos2(%—亨).

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期及對稱軸方程

(2)求/(x)在(0,0上的值域.

82.已知△ABC中角/、B、。所對的邊分別為a、b、c,且滿足2csizL4cosB+2bsi?VlcosC=d5a，

c>a.

(1)求角A；

(2)若b=2,BC邊上中線4。=夕，求△ABC的面積.

83.P是雙曲線竽一與=1右支上一點，A,B是雙曲線的左右頂點，過A,B分別作直線PA,PB

的垂線AQ,BQ,AQ與BQ的交點為Q,PA與BQ的交點為C.

⑴記P，Q的縱坐標(biāo)分別為力為，求制值；

(2)記APBC,△Q4c的面積分別為SI，S2)當(dāng)Wtern乙4QBW孚時，求§的取值范圍.

84.如圖，在三棱臺ABC-DEF中，AC=4,BC=2,EF=1,DE=遍,AD=BE=CF.

(1)求證：平面ABEDJ"平面力BC；

(2)若四面體BCDF的體積為2,求二面角E-BD-F的余弦值.

85.現(xiàn)有3個盒子，其中第一個盒子中裝有1個白球、4個黑球；第二個盒子裝有2個白球、3個黑

球；第三個盒子裝有3個白球、2個黑球.現(xiàn)任取一個盒子，從中任取3個球.

(1)求取到的白球數(shù)不少于2個的概率；

(2)設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望.

86.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PADJL平面ABCD,平面/MB1平面ABCD.

(1)求證：平面ABCD；

(2)設(shè)24=AD=2AB=2,AB1AD,AD//BC,平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為

等，求BC的長.

87.已知等比數(shù)列｛即｝的前n項和Sn滿足即+i=Sn+l(neN*).

(1)求首項國的值及｛五｝的通項公式；

a

Qn+l.

(2)設(shè)-=log2a.aa…a”心,求滿足即一2023的最大正整數(shù)n的值.

u2々2232n

88.已知雙曲線E：三-J=l，點。(0,2)與雙曲線上的點的距離的最小值為百.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)直線2：y=kx+ni與圓C：產(chǎn)+(y+2)2=1相切，且交雙曲線E的左、右支于A,B兩

點，交漸近線于點M,N.記△/MB,AOMN的面積分別為Si，S2，當(dāng)S1—4s2=別寸，求直線1的

方程.

89.記為正項數(shù)列｛斯｝的前葭項積，且即=1,a2=2,TnTn+2=2T1+i.

(1)求數(shù)列｛a"的通項公式；

(2)證明：g+"+…+

90.記A4BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c，已知A=28.

(1)若b=2,c=1，求a；

(2)若b+c=V5a，求

91.如圖，在多面體-4/停1中,AA1//BB1//CC1,A41平面A/iQ,△.外國為等邊三角

形，A1B1=2,/L4i=3,CC1=1,點M是AC的中點.

(1)若點G是△&B1G的重心，證明；點G在平面BBiM內(nèi);

(2)求二面角Bi-BM—Q的正弦值.

2

92.已知雙曲線C：x_y2=l(a>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn),且F2到C的一條漸近線的距離

a23a22

為6.

(1)求C的方程;

(2)過C的左頂點且不與x軸重合的直線交C的右支于點B,交直線x=/于點P,過Fi作PF2的平

行線，交直線NF?于點Q,證明：Q在定圓上.

93.已知雙曲線C：>0.b>0)的右焦點為尸(2,0),P(3,-V7)是雙曲線C上一點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點F作斜率大于0的直線2與雙曲線的右支交于A,B兩點，若PF平分N4PB,求直線/的方

程.

94.已知/(%)=靖，g(x)=Inx.

(1)若存在實數(shù)a,使得不等式/'(x)-g(x)2f(a)-g(a)對任意％W(0,+8)恒成立，求.(a)?

g(a)的值；

(2)若1Vx<&，設(shè).=’與？02),七=吟"瞥，證明:

ixl~x2xl~x2

k

x

①存在6(xt,%2)