北京市順義區(qū)仁和中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí) 上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）+答案解析

2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)仁和中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列形狀分別為兩個(gè)正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是(

)A. B.

C. D.2.下列長(zhǎng)度的各組線段中，是成比例線段的是(

)A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，3cm，6cm

C.2cm，4cm，8cm，8cm D.3cm，4cm，5cm，10cm3.如圖，直線，直線，被直線，，所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若，，，則EF的長(zhǎng)是(

)A.

B.3

C.

D.44.如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且，若，則的值為(

)

A. B. C. D.5.如圖，點(diǎn)D是的邊AB上的一點(diǎn)，連接DC，則下列條件中不能判定∽的是(

)A.

B.

C.

D.6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE：：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則與的面積之比為(

)

A.2：5 B.3：5 C.9：25 D.4：257.下列四個(gè)三角形，與如圖中的三角形相似的是(

)

A. B. C. D.8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn).并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”.如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是A. B.6 C. D.8二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.已知，那么______.10.已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，求線段d的長(zhǎng)為_(kāi)_____.11.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)10cm，則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.12.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條邊，，測(cè)得邊DF離地面的高度，，則樹(shù)高AB為_(kāi)_____.13.如圖，在中，，，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)AE為_(kāi)_____時(shí)，與以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似.

14.圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為_(kāi)_____.15.如圖，小明借助太陽(yáng)光線測(cè)量樹(shù)高.在早上8時(shí)小明測(cè)得樹(shù)的影長(zhǎng)為2m，下午3時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為8m，且這兩次太陽(yáng)光線剛好互相垂直，則樹(shù)高為_(kāi)_____16.如圖，AD是的中線，E是AD上一點(diǎn)，且，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，若，則______.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.本小題5分

如圖，AC，BD相交于的點(diǎn)O，且

求證：∽18.本小題5分

線段a、b、c，且

求的值；

如果線段a、b、c滿足，求的值．19.本小題5分

如圖，在由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有和，求證：∽20.本小題5分

如圖，在中，D為AB上一點(diǎn)，，，求AB的長(zhǎng).21.本小題5分

如圖，在中，，CD是斜邊AB上的高．

求證：∽；

若，，求CD的長(zhǎng)．22.本小題5分

為了測(cè)量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標(biāo)記點(diǎn)C，后退至點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．

23.本小題6分

如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)

求證：∽；

若，，求AE的長(zhǎng).24.本小題6分

如圖，在平行四邊形ABCD中，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)B，使，連接AE，AE與CD交于點(diǎn)

求證：∽；

求DF的長(zhǎng).25.本小題6分

如圖，在中，，點(diǎn)D在AB上，，過(guò)點(diǎn)B作，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

求證：∽；

如果，，求AC的長(zhǎng)．26.本小題6分

如圖，在平行四邊形ABCD中，連接DB，F(xiàn)是邊BC上一點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于E，且

求證：∽；

如果，，求BF的值.27.本小題7分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊向終點(diǎn)A以的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AO邊向終點(diǎn)O以的速度移動(dòng).有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).若P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ和AP的長(zhǎng)；

當(dāng)t為何值時(shí)，與相似？28.本小題7分

如圖，在等邊中，作，邊CD、BD交于點(diǎn)D，連接

請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；

求的度數(shù)；

用等式表示線段AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

B、兩圖形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；

C、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

D、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

故選：

根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．

本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：A、，四條線段不成比例；

B、，四條線段成比例；

C、，四條線段不成比例；

D、，四條線段不成比例；

故選：

根據(jù)比例線段的性質(zhì)，讓最小的數(shù)和最大的數(shù)相乘，另外兩個(gè)數(shù)相乘，看它們的積是否相等即得答案．

本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質(zhì)是關(guān)鍵．3.【答案】B

【解析】解：直線，

，

，，，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．

本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.【答案】A

【解析】解：，，，

，，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，即可得出答案．

本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．5.【答案】C

【解析】解：，

當(dāng)或，可根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷∽；

當(dāng)時(shí)，可根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷∽

故選：

和有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．6.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD為平行四邊形，

，

∽

：：2，

，

故選：

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合DE：：2，即可得出與的面積之比，此題得解．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查兩三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法有：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，解答此題先根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，然后看三邊是否成比例即可.

【解答】

解：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為1，則給出的三角形三邊長(zhǎng)分別為，，

A.三角形三邊分別是2，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.三角形三邊，，4，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.三角形三邊2，4，，與給出的三角形的各邊成比例，故D選項(xiàng)正確．8.【答案】C

【解析】解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作，垂足為E，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，

由題意得：

，，，

，

，

，

，，

∽，

，

，

解得：，

蠟燭火焰的高度是，

故選：

過(guò)點(diǎn)O作，垂足為E，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得：，，，，然后利用平行線的性質(zhì)可得：，從而可得∽，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.【答案】

【解析】解：，

，

故答案為：

根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.【答案】4cm

【解析】解：已知a，b，c，d是成比例線段，

根據(jù)比例線段的定義得：，

代入，，，

解得：，

則

故答案為：

如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義，將a，b及c的值代入即可求得

本題考查了比例線段的定義：若四條線段a，b，c，d有a：：d，那么就說(shuō)這四條線段成比例．11.【答案】

【解析】解：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，，

，

故答案為：

根據(jù)黃金分割的定義得，代入AB的長(zhǎng)計(jì)算即可．

本題主要考查了黃金分割的定義，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．12.【答案】

【解析】解：，，

∽，

，

，，，，

，

，

故答案為：

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹(shù)高

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形的模型．13.【答案】3或

【解析】解：當(dāng)時(shí)，

，

∽，

，

當(dāng)時(shí)，

，

∽，

，

綜上，或，

故答案為：3或

先得到，再分與兩種情況討論即可解答．

本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的運(yùn)用及熟練掌握相似三角形的判定定理．14.【答案】

【解析】解：在圖2中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，MN交CD于點(diǎn)N，則，，

，

∽，

，

即，

故答案為：

在圖2中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，MN交CD于點(diǎn)N，則，，由，可得出∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出x的值．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記“相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．15.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意作圖，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案為：

先根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖，然后可根據(jù)條件得到，最后利用相似比即可得解．

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．16.【答案】6

【解析】解：

過(guò)D作交AB于M，

是的中線，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：

過(guò)D作交AB于M，求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，即可得出，代入求出即可．

本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出17.【答案】證明：，BD相交于的點(diǎn)O，

，

又，

∽

【解析】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．

此題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似解答．18.【答案】解：設(shè)

，，

設(shè)，

，，

，

，解得，

【解析】本題考查了比例性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

設(shè)，則，，然后把它們代入中進(jìn)行分式的運(yùn)算即可；

設(shè)，則，，，則利用可求出t，然后利用求解．19.【答案】解：根據(jù)網(wǎng)格可知：

三邊的長(zhǎng)分別為：，，，

三邊的長(zhǎng)分別為：，，，

，

∽

【解析】分別計(jì)算兩個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三邊成比例的兩三角形相似可得結(jié)論．

此題考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解決此題的關(guān)鍵．20.【答案】解：，，

∽，

，

，，

，

【解析】根據(jù)，為公共角，可證∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，，代入即可求解．

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握證明三角形的方法和相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21.【答案】證明：，

，

，

，，

，

∽

解：∽，

，

，

，，

，

，

【解析】根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可．

利用相似三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．22.【答案】解：根據(jù)題意，易得，，

則∽，

所以，即，

解得：，

答：建筑物AB的高度為

【解析】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運(yùn)用相似比即可解答．根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出∽，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等求得答案．23.【答案】證明：四邊形ABCD是正方形，

，，，

，

又，

，

，

∽；

解：四邊形ABCD是正方形，，，

，，

，

是AM的中點(diǎn)，

，

∽，

，

即，

【解析】由正方形的性質(zhì)得出，，，得出，再由，即可得出結(jié)論；

由勾股定理求出AM，可求出AF，由∽得出比例式，即可求出AE的長(zhǎng)．

本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．24.【答案】證明：四邊形ABCD為平行四邊形，

，即，

，，

∽；

解：四邊形ABCD為平行四邊形，

，，

，即

∽，

，即

，

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出，從而得出，，即證明∽；

由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，即得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，即，最后結(jié)合，即可求出DF的長(zhǎng)．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25.【答案】證明：，，

，

，

，

，

，

∽

解：，，，

，

，

∽，

=，

=，

，

的長(zhǎng)是.

【解析】由，，得，由，得，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明∽

先根據(jù)勾股定理求得，則，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程得=，即可求得.

此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，