5.1.2-數(shù)據(jù)的數(shù)字特征第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（2）本節(jié)課是《5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征》的第2課時(shí)，在上節(jié)課學(xué)習(xí)了樣本的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解不同數(shù)字特征的不同意義和作用，結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)不同的要求選擇不同的統(tǒng)計(jì)量表達(dá)數(shù)據(jù)的信息，通過對數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)，并理解它們的意義和作用數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析方差、標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并理解它們的意義和作用數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【教學(xué)重點(diǎn)】熟練掌握樣本的最值、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念，并理解它們的意義和作用【教學(xué)難點(diǎn)】樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義與作用復(fù)習(xí)回顧：一.平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.1.平均數(shù)來刻畫一組數(shù)據(jù)的平均水平(或中心位置)．如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，簡記為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i.如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.2.如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)，如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．3．一組數(shù)的P%(P∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．4.一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).二.極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度.1．一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．2．如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則方差為s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2.如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.3．方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.題型1：中位數(shù)與百分位數(shù)例1.某中學(xué)從高一年級中抽取了30名男生，測量其體重，數(shù)據(jù)如下(單位：千克)：626059595958585757575656565656565555555454545353525251504948(1)求這30名男生體重的25%,75%分位數(shù)；(2)估計(jì)本校高一男生體重的第80百分位數(shù)．解.將上述數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得484950515252535354545455555556565656565657575758585959596062(1)由25%×30＝7.5,75%×30＝22.5，可知它們的25%,75%分位數(shù)是第8,23項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為53,57.(2)由80%×30＝24，可知第80百分位數(shù)為第24項(xiàng)與第25項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(1,2)(58＋58)＝58.據(jù)此可以估計(jì)本校高一男生體重的第80百分位數(shù)為58.【解題方法】計(jì)算第p百分位數(shù)的步驟:(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．(2)計(jì)算i＝n×p%.(3)若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).題型2：平均數(shù)與方差例2.如果數(shù)據(jù)、、、的平均值為，方差為，則數(shù)據(jù)：、、、的平均值和方差分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均值為，方差為，由題意，得，由方差公式得，.所以，數(shù)據(jù)、、、的平均值為，方差為.故選：A.【變式練習(xí)】1.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90．在對錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分別根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得的值，即可得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為， 則，，故．選A．2.甲、乙、丙三名同學(xué)在軍訓(xùn)的實(shí)彈中射擊各射擊10發(fā)子彈，三人的射擊成績?nèi)绫恚?，，分別表示甲、乙、丙三名同學(xué)這次射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則環(huán)數(shù)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲的頻數(shù)2332乙的頻數(shù)1441丙的頻數(shù)3223A． B． C． D．【答案】A【解析】解：解法一：設(shè)分別為甲，乙，丙射擊成績的平均數(shù)，，，，同理可得，，，，或者觀察法：乙的數(shù)據(jù)比較集中，方差最小，丙的數(shù)據(jù)比較離散，方差最大，故選：A．【解題方法】1.平均數(shù)與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)在實(shí)際問題中的應(yīng)用平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平,在實(shí)際應(yīng)用中,平均數(shù)常被理解為平均水平.方差(標(biāo)準(zhǔn)差)反映的是數(shù)據(jù)的離散程度的大小,反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小表明樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越集中;反之,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散.在實(shí)際應(yīng)用中,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)常被理解為穩(wěn)定性,常常與平均數(shù)結(jié)合起來對樣本數(shù)據(jù)作出評判.2.平均數(shù)與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的性質(zhì):(1)數(shù)據(jù)組x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,方差為s2,標(biāo)準(zhǔn)差為s,則數(shù)據(jù)組ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b為非零常數(shù))的平均數(shù)為ax+b,方差為a2s2,標(biāo)準(zhǔn)差為as;(2)方差s2的取值范圍是[0,+∞).題型3：數(shù)字特征綜合應(yīng)用例3.甲、乙兩班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，參賽學(xué)生的競賽得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：班級參賽人數(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲4583868582乙45838485133某同學(xué)分析上表后得到如下結(jié)論：①甲、乙兩班學(xué)生的平均成績相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)少于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（競賽得分分為優(yōu)秀）；③甲、乙兩班成績?yōu)?5分的學(xué)生人數(shù)比成績?yōu)槠渌档膶W(xué)生人數(shù)多；④乙班成績波動(dòng)比甲班小.其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】①從表看出甲、乙兩班學(xué)生的平均成績相同，正確；②因?yàn)橐野嗟闹形粩?shù)比甲班的小，所以正確；③根據(jù)甲、乙兩班的眾數(shù)，所以正確；④因?yàn)橐野嗟姆讲畋燃椎拇螅圆▌?dòng)比甲班大，所以錯(cuò)誤故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了樣本中的數(shù)字特征，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式練習(xí)】已知樣本：、、、、，該樣本的平均數(shù)為7，樣本的方差為4，且樣本的數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值是__________.【答案】10【解析】由題意，、、、、，該樣本的平均數(shù)為7，則。樣本的方差為4，則.如圖，表示1,2,3,4,5個(gè)點(diǎn)分別位于7的上下兩側(cè)，那么，所以，設(shè)，那么，必然存在樣本數(shù)據(jù)相等，不滿足題意。設(shè)，那么，不妨設(shè)，，，，且滿足。所以在最大值為10時(shí)存在5個(gè)數(shù)都為整數(shù)滿足題意。例4.氣象意義上的春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①【答案】B【解析】試題分析：由統(tǒng)計(jì)知識(shí)①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為可知①符合題意；而②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為中有可能某一天的氣溫低于，故不符合題意，③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為．若由有某一天的氣溫低于則總體方差就大于，故滿足題意，選C【變式練習(xí)】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3C．丙地：總體均值為2，總體方差為3 D．丁地：總體均值為1，總體方差大于0【答案】C【解析】【分析】通過反例可排除；中，若有一天數(shù)據(jù)超過，在均值為的情況下，方差必然大于，可知正確.【詳解】中，若連續(xù)天數(shù)據(jù)為，滿足均值為，中位數(shù)為，但不符合標(biāo)志，則錯(cuò)誤；中，若連續(xù)天數(shù)據(jù)為，滿足中位數(shù)為，眾數(shù)為，但不符合標(biāo)志，則錯(cuò)誤；中，當(dāng)總體平均數(shù)是，若有一個(gè)數(shù)超過，則方差總體方差為說明連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人，則正確；中，若連續(xù)天數(shù)據(jù)為，滿足總體均值為，方差大于，但不符合標(biāo)志，則錯(cuò)誤.故選：【解題方法】1.平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)取值的平均水平,方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映一組數(shù)據(jù)取值的離散程度,它們從不同的方面刻畫一組數(shù)據(jù)的取值特點(diǎn)