2025版高考數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第四講隨機事件的概率學案新人教版

PAGE第四講隨機事務的概率學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一隨機事務和確定事務(1)在條件S下，__必定要發(fā)生__的事務，叫做相對于條件S的必定事務，簡稱必定事務．(2)在條件S下，__不行能發(fā)生__的事務，叫做相對于條件S的不行能事務，簡稱不行能事務．(3)必定事務和不行能事務統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事務，簡稱確定事務．(4)在條件S下，__可能發(fā)生也可能不發(fā)生__的事務，叫做相對于條件S的隨機事務，簡稱隨機事務．學問點二概率與頻率(1)概率與頻率的概念：在相同的條件S下重復n次試驗，視察某一事務A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事務A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務A出現(xiàn)的__頻數(shù)__，稱事務A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務A出現(xiàn)的__頻率__．(2)概率與頻率的關系：對于給定的隨機事務A，由于事務A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用__頻率fn(A)__來估計概率P(A)．學問點三互斥事務與對立事務事務的關系與運算定義符號表示包含關系若事務A__發(fā)生__，則事務B__確定發(fā)生__，這時稱事務B包含事務A(或稱事務A包含于事務B)__B?A____(或A?B)__相等關系若B?A，且__A?B__，則稱事務A與事務B相等__A＝B__并事務(和事務)若某事務發(fā)生__當且僅當事務A發(fā)生或事務B發(fā)生__，則稱此事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)__A∪B____(或A＋B)__交事務(積事務)若某事務發(fā)生__當且僅當事務A發(fā)生且事務B發(fā)生__，則稱此事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)__A∩B____(或AB)__互斥事務若A∩B為__不行能__事務，則稱事務A與事務B互斥__A∩B＝?__對立事務若A∩B為__不行能__事務，A∪B為__必定事務__，則稱事務A與事務B互為對立事務__A∩B＝?，____且A∪B＝Ω__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：__0≤P(A)≤1__．(2)必定事務的概率：P(A)＝__1__．(3)不行能事務的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事務A與事務B互斥，則P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)對立事務的概率：若事務A與事務B互為對立事務，則A∪B為必定事務．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事務發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(3)兩個事務的和事務是指兩個事務都得發(fā)生．(×)(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能的．(×)(5)對立事務確定是互斥事務、互斥事務不確定是對立事務．(√)題組二走進教材2．(P121T4)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務“至少有一次中靶”的對立事務是(D)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶[解析]“至少有一次中靶”的對立事務是“兩次都不中靶”．故選D．3．(P133T4)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為__eq\f(5,6)__．[解析]擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6×6＝36(種)可能的結果，其中點數(shù)相同的結果共有6種，所以點數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)．題組三走向高考4．(2024·課標全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(B)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7[解析]設事務A為“不用現(xiàn)金支付”，事務B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”，事務C為“只用現(xiàn)金支付”，則P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故選B．5．(2024·新課標Ⅰ)設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為(A)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)[解析]O，A，B，C，D中任取3點，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種，即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十種，其中共線為A，O，C和B，O，D兩種，故取到的3點共線的概率為P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故選A．考點突破·互動探究考點一隨機事務的關系——自主練透例1(1)(2024·遼寧六校協(xié)作體期中)從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務是(C)A．“至少有1個白球”和“都是紅球”B．“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”C．“恰有1個白球”和“恰有2個白球”D．“至多有1個白球”和“都是紅球”(2)(2024·中山模擬)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事務中，是對立事務的是(C)A．① B．②④C．③ D．①③(3)設條件甲：“事務A與事務B是對立事務”，結論乙：“概率滿意P(A)＋P(B)＝1”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)對于選項A，“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事務，不符合題意；對于選項B，“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的，而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球，或者2個都是白球，二者不是互斥事務，不符合題意；對于選項C，“恰有1個白球”表示取出2個球1個紅球1個白球，與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事務，符合題意；對于選項D，“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球，或者2個都是紅球，與“都是紅球”不是互斥事務，不符合題意．故選C．(2)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種狀況：一奇一偶，2個奇數(shù)，2個偶數(shù)．其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個奇數(shù)這兩種狀況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事務．又①中的事務可以同時發(fā)生，不是對立事務，故選C．(3)若事務A與事務B是對立事務，則A∪B為必定事務，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投擲一枚硬幣3次，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不確定是對立事務，如：事務A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事務B：“出現(xiàn)3次正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事務，故甲是乙的充分不必要條件．名師點撥(1)精確把握互斥事務與對立事務的概念：①互斥事務是不行能同時發(fā)生的事務，但也可以同時不發(fā)生；②對立事務是特殊的互斥事務，特殊在對立的兩個事務不行能都不發(fā)生，既有且僅有一個發(fā)生．(2)判別互斥事務、對立事務一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事務為對立事務，對立事務確定是互斥事務．〔變式訓練1〕(2024·寧夏檢測)抽查10件產品，設事務A為“至少有2件次品”，則事務A的對立事務為(B)A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品[解析]∵“至少有n個”的反面是“至多有n－1個”，又∵事務A“至少有2件次品”，∴事務A的對立事務為“至多有1件次品”．考點二隨機事務的概率——多維探究角度1頻率與概率例2(2024·北京高考)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更．那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結論)[解析](1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50．故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025．(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372．故所求概率估計為1－eq\f(372,2000)＝0.814．(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率．角度2統(tǒng)計與概率例3(2024·云南名校適應性月考)下邊莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成果，其中有一個數(shù)字被污損，則甲的平均成果超過乙的平均成果的概率是(A)甲乙9883372109●9A．eq\f(4,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(9,10) D．eq\f(7,10)[解析]記其中被污損的數(shù)字為x，由題知甲的5次綜合測評的平均成果是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次綜合測評的平均成果是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(442＋x,5)，令90＞eq\f(442＋x,5)，解得x＜8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成果超過乙的平均成果的概率是eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)．故選A．名師點撥概率和頻率的關系概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事務發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事務的概率．〔變式訓練2〕(1)(2024·黑龍江大慶質檢)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B兩個城市出差，每人只去1個城市，且每個城市必需有人去，則A城市恰好只有甲去的概率為(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)(2)(2024·吉林模擬)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××①估計顧客同時購買乙和丙的概率；②估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；③假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ [解析](1)總的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6種(或Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種))，A城市恰好只有甲去有一種，故所求概率P＝eq\f(1,6)．(2)①從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2．②從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3．③與①同理．可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1．所以，假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．考點三互斥事務、對立事務的概率——師生共研例4(1)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得．1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A、B、C．求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1張獎券的中獎概率；③1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．(2)(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)從5個同類產品(其中3個正品，2個次品)中，隨意抽取2個，下列事務發(fā)生概率為eq\f(9,10)的是(C)A．2個都是正品 B．恰有1個是正品C．至少有1個正品 D．至多有1個正品[解析](1)①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20)．②因為事務A，B，C兩兩互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000)．故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000)．③P(eq\x\to(A∪B))＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000)．故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000)．(2)從5個產品中任取2個的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10種，其中2個都是正品的取法有Ceq\o\al(2,3)＝3種，故2個都是正品的概率P1＝eq\f(3,10)；其對立事務是“至多有1個正品”，概率為P2＝1－P1＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)．恰有1個正品的取法有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＝6種，故恰有1個正品的概率P3＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．至少有1個正品的概率P4＝P1＋P3＝eq\f(3,10)＋eq\f(6,10)＝eq\f(9,10)．名師點撥求困難的互斥事務的概率的兩種方法(1)干脆求解法，將所求事務的概率分解為一些彼此互斥的事務的概率的和，運用互斥事務的概率求和公式計算．(2)間接求法，先求此事務的對立事務的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運用逆向思維(正難則反)．特殊是“至多”“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便．〔變式訓練3〕(1)(2024·西安二模)2024年某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．某同學已選了物理，記事務A：“他選擇政治和地理”，事務B：“他選擇化學和地理”，則事務A與事務BA．是互斥事務，不是對立事務B．是對立事務，不是互斥事務C．既是互斥事務，也是對立事務D．既不是互斥事務也不是對立事務(2)依據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3．則該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種的概率為__0.8__；該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為__0.2__．[解析](1)2024年某省新高考將實行“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．某同學已選了物理，記事務A：“他選擇政治和地理”，事務B：“他選擇化學和地理”，則事務A與事務B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事務A和B(2)記A表示事務：該車主購買甲種保險；B表示事務：該車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事務：該車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種；D表示事務：該車主甲、乙兩種保險都不購買．①由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因為D與C是對立事務，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名師講壇·素養(yǎng)提升用正難則反的思想求對立事務的概率例5(1)(2024·浙江湖州期末，改編)現(xiàn)有5個不同編號的小球，其中黑色球2個，白色球2個，紅色球1個，若將其隨機排成一列，則相同顏色的球都不相鄰的概率是__eq\f(4,5)__．(2)(2024·洛陽模擬)經統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？[解析](1)“相同顏色的球不都相鄰”的對立事務為“相同顏色的球都相鄰”，記為事務A．因5個不同編號的小球排列有Aeq\o\al(5,5)＝120種排法，“相同顏色的球都相鄰”的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24種排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－eq\f(24,120)＝eq\f(4,5)．(2)記“無人排隊等候”為事務A，“1人排隊等候”為事務B，“2人排隊等候”為事務C，“3人排隊等候”為事務D，“4人排隊等候”為事務E，“5人及5人以上排隊等候”為事務F，則事務A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．①記“至多2人排隊等候”為事務G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：記“至少3人排隊等候”為事務H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．解法二：記“至少3人排隊等候”為事務H，則其對立事務為事務G，所以P(H)＝1－