安徽省合肥市2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省合肥市2025屆高二上數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或2．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的方程為，則下列關于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為4．函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值5．已知關于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.46．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.7．若變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)最大值為（）A.1 B.-5C.-2 D.-78．如圖為學生做手工時畫的橢圓(其中網(wǎng)格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為，則（）A. B.C. D.9．已知等差數(shù)列前項和為，且，，則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項10．已知集合，，則（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.12．設、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與直線互相垂直，則___________.14．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測一般性的結論為______.15．已知，，則___________.16．下列是某廠1~4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，由其散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關系，其線性回歸方程是，則_______.月份1234用水量4.5432.5三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最??；（2）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.18．（12分）已知直線與拋物線交于兩點（1）若，直線過拋物線的焦點，線段中點的縱坐標為2，求的長；（2）若交于，求的值19．（12分）已知拋物線，直線交于、兩點，且當時，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實數(shù)，使得.20．（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線交AC于點D，，求CD的長21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線：，點，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點：當l與拋物線的對稱軸垂直時，（1）求拋物線的標準方程；（2）若點A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值22．（10分）已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為，且（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點，與拋物線相交于，兩點．若，分別是線段，的中點，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由韋達定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項公式性質得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點睛】本題考查等比數(shù)列中兩項積與另一項的比值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用2、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當且僅當時等號成立，故只需即可.故選：C3、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯誤；焦距為，故B錯誤；漸近線方程為，故D正確；焦點到漸近線的距離為，故C錯誤；故選：D.4、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調性與導數(shù)之間的關系及極值的定義結合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的圖象可得，當時，，故函數(shù)在和上遞減，當時，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.5、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當且僅當取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】本題主要考查均值不等式，關鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關系，再將所求的式子運用不等式的性質降低元的個數(shù)，運用均值不等式，是中檔題.6、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A7、A【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可【詳解】解：由得作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分平移直線，由圖象可知當直線，過點時取得最大值，由，解得，所以代入目標函數(shù)，得，故選：A8、D【解析】根據(jù)圖知分別得到橢圓、、的半長軸和半短軸，再由求解比較即可.【詳解】由圖知橢圓的半長軸和半短軸分別為：，橢圓的半長軸和半短軸分別為：，橢圓的半長軸和半短軸分別為：，所以，，，所以，故選：D9、C【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項為正，第7項及后面的項為負，又，則，則在數(shù)列中絕對值最小的項為，選C.10、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運算求.【詳解】∵，，∴故選：B11、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點】本題考查雙曲線的基本性質，考查學生的化歸與轉化能力.12、A【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由直線垂直的性質求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：14、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個不等式左端有項，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項為3，公差為2，因此第個不等式（）故答案為：（）15、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：16、25【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出，代入，即可求出.【詳解】解：由題意知：，，將代入線性回歸方程，即，解得：.故答案為：5.25.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標準方程，由半徑最小則周長最小；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進行討論即可得解.進一步，利用圓的幾何性質可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當時，圓的半徑有最小值2，此時圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當直線與軸垂直時，，此時直線與圓相切，符合條件；當直線與軸不垂直時，設為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點的距離，則切線長度為.18、（1）6（2）2【解析】（1）通過作輔助線，利用拋物線定義，結合梯形的中位線定理，可求得答案；（2）根據(jù)題意可求得直線AB的方程為y=x+4，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關系，由OA⊥OB，得，根據(jù)數(shù)量積的計算即可得答案.【小問1詳解】取AB的中點為E，當p=2時，拋物線為C：x2=4y，焦點F坐標為F（0，1），過A，E，B分別作準線y=-1的垂線，重足分別為I，H，G，在梯形ABGI中（圖1），E是AB中點，則2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因為AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小問2詳解】設，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（圖2），得kOD=-1，kAB=1，則直線AB的方程為y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將代入拋物線的方程，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的等式，即可解得正數(shù)的值；（2）將代入，列出韋達定理，求出兩切線方程，進而可求得點的坐標，分、兩種情況討論，在時，推導出、、重合，可得出；在時，求出的中點的坐標，利用斜率關系可得出，結合平面向量的線性運算可證得結論成立.【小問1詳解】解：將代入得，設、，則，由韋達定理可得，則，解得或（舍），故.【小問2詳解】解：將代入中得，設、，則，由韋達定理可得，對求導得，則拋物線在點處的切線方程為，即，①同理拋物線在點處的切線方程為，②聯(lián)立①②得，所以，所以點的坐標為，當時，即切線與交于軸上一點，此時、、重合，由，則，又，則存在使得成立；當時，切線與軸交于點，切線與軸交于點，由，得的中點，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在實數(shù)使得成立.綜上，命題成立.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進而得；（2）根據(jù)題意得，進而在中，由余弦定理即可得答案.【小問1詳解】解：因為，所以由正弦定理可得，所以，即，因為，所以，故，因為，所以【小問2詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得21、（1）.（2）8.【解析】（1）將點代入拋物線方程可解得基本量.（2）設直線AB為，代入聯(lián)立得關于的一元二次方程，運用韋達定理，得到關于的函數(shù)關系，再求函數(shù)最值.【小問1詳解】當l與拋物線的對稱軸垂直時，，，則代入拋物線方程得，所以拋物線方程是【小問2詳解】設點，，直線AB方程為，聯(lián)立拋物線整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，則，即，∴，可得，又O到AB的距離，∴，而，∴，，當，，單調遞減；，，單調遞增；∴的最小值為,此時，.22、（1）；（2）8.【解析】(1)寫出拋物線E的準線，利用拋物線定義求出p即可作