新高考數(shù)學各地市期末好題分類匯編專題15數(shù)列解答題(原卷版+解析)

試卷第頁，共SECTIONPAGES頁專題15數(shù)列解答題一、解答題1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是數(shù)列的前n項和，，且．(1)證明：為常數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．2．（2022·河北保定·高三期末）在數(shù)列中，，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.3．（2022·河北張家口·高三期末）已知是數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.4．（2022·河北深州市中學高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前n項和為，證明：．5．（2022·山東萊西·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，為等差數(shù)列；數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)若對于，總有成立，求實數(shù)m的取值范圍.6．（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）已知數(shù)列的前項和，滿足：，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．7．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列滿足：；（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項和.8．（2022·山東臨沂·高三期末）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若，求數(shù)列的前n項和．9．（2022·山東淄博·高三期末）已知數(shù)列滿足．(1)設(shè)，求的通項公式；(2)若，求的通項公式．10．（2022·山東棗莊·高三期末）已知等差數(shù)列中，，公差，其前四項中去掉某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項．(1)求的值；(2)設(shè)中不包含的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項和為，求．11．（2022·山東泰安·高三期末）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三列中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一行，設(shè)數(shù)列的前項和為.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項按適當順序排列后，可以成等差數(shù)列.12．（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點在直線上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項的和.13．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：存在實數(shù)，使得；(2)求數(shù)列的通項公式.14．（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項，其前四項中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項.(1)求的通項公式；(2)設(shè)中不包含的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項和為，求.15．（2022·山東煙臺·高三期末）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和．16．（2022·山東濟南·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求.17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知數(shù)列中，，，且滿足.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.19．（2022·湖北襄陽·高三期末）設(shè)是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，是否存在實數(shù)、，使得前項和為，如果存在，求實數(shù)、的值，如果不存在，請說明理由．20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求前項和.21．（2022·湖北·高三期末）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前100項和．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．23．（2022·湖南婁底·高三期末）在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個根．(1)求，；(2)求的通項公式．24．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項的和．25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知數(shù)列的前項和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．26．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和.27．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前n項和．在這兩個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)28．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項的和.29．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前n項和為，若，均有，求實數(shù)的最小值．30．（2022·廣東清遠·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前項和為，從下面①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個成立．①，②，③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．31．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列滿足是的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.32．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，、、成等差數(shù)列.(1)求證：、、成等差數(shù)列；(2)若，是數(shù)列的前項積，求的最大值及相應(yīng)的值.33．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.34．（2022·江蘇海門·高三期末）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝17，a1，a2，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)將數(shù)列{an}與{3n}的相同的項按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．35．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.36．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.37．（2022·江蘇揚州·高三期末）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分別是數(shù)列{bn}的前3項．(1)求數(shù)列{bn}的公比q；(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．38．（2022·江蘇海安·高三期末）已知數(shù)列{an}滿足，且．(1)請你在①，②中選擇一個證明：①若，則{bn}是等比數(shù)列；②若，則{bn}是等差數(shù)列．注：如果選擇多個分別解答，按第一個解答計分．(2)求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn．39．（2022·江蘇如東·高三期末）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n頁和為Sn，且a1＝2，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和.40．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn.(1)求a2n；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和.41．（2022·江蘇蘇州·高三期末）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”．已知在數(shù)列中，，．(1)求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和．42．（2022·江蘇常州·高三期末）已知數(shù)列的前項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．43．（2022·江蘇無錫·高三期末）已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.專題15數(shù)列解答題一、解答題1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是數(shù)列的前n項和，，且．(1)證明：為常數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由已知得，即，利用與的關(guān)系化簡可得化簡即可得出結(jié)果.（2）由（1）可得，化簡可知，通過裂項求和可得出結(jié)果.(1)由已知得，即，時，由，，兩式相減得，則，又于是為常數(shù)列．(2)由（1）得．則，故．2．（2022·河北保定·高三期末）在數(shù)列中，，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列寫出通項公式即可；（2）由，利用裂項相消法求和即可.(1)因為數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，則.因為，所以，解得.故.(2)因為，所以.3．（2022·河北張家口·高三期末）已知是數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項求和法求得.(1)當時，由，得，則.當時，有，符合上式.綜上，.(2)由（1）得，，則.4．（2022·河北深州市中學高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)得到是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）首先求出，令，再利用裂項相消法求和即可得證；【詳解】解：（1）因為，，當時，當時，，所以，即，即，又，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即．（2）由（1）知，，令，則，所以．5．（2022·山東萊西·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，為等差數(shù)列；數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)若對于，總有成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得，繼而有，兩式相減得，由此得數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，求得，，再由此求得，運用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可求得.（2）由（1）將不等式轉(zhuǎn)化為，再令，作，判斷出當時，取得最大值，由此得，求解即可.(1)解：因為，，為等差數(shù)列，所以，所以，兩式相減得，即，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)解：由（1）得不等式為，整理得，令，則，所以當，時，，即，當，時，，即，所以當時，取得最大值，所以，即，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.6．（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）已知數(shù)列的前項和，滿足：，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)利用給定的遞推公式變形即可推理作答.(2)由(1)求出的表達式，再借助裂項相消法計算作答.(1)數(shù)列的前項和，由，有，而，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，，于是得，因此，，所以.7．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列滿足：；（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)（I）是，證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由新定義直接驗證即可證明（2）（I）由題意可得，先求出的通項公式，再由新定義直接驗證即可.(Ⅱ)由題意可得，由分組求和即可得出答案.(1)為“指數(shù)型數(shù)列”(2)（I）將兩邊同除得：，是以為首項，公比為的等比數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”（Ⅱ）因為，則8．（2022·山東臨沂·高三期末）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)化簡條件可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由求出首項即可得出等差數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式利用分組求和即可求解.(1)，是以2為公差的等差數(shù)列，，即，解得，(2)，.9．（2022·山東淄博·高三期末）已知數(shù)列滿足．(1)設(shè)，求的通項公式；(2)若，求的通項公式．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）分析可得，由前項和與通項的關(guān)系可求得數(shù)列的通項公式；（2）由已知可得，利用累加法與錯位相減法可求得數(shù)列的通項公式.(1)解：由已知可得.當時，則有，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，所以，，滿足，故.(2)解：由（1）可得，設(shè)，則，上述兩個等式作差可得，所以，，由已知可得，，，，累加得，所以，，因此，，因為符合上式，所以.10．（2022·山東棗莊·高三期末）已知等差數(shù)列中，，公差，其前四項中去掉某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項．(1)求的值；(2)設(shè)中不包含的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項和為，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）等差數(shù)列的前四項為2，，，，分別討論去掉第一項、去掉第二項、去掉第三項、去掉第四項，余下的三項成等比中項列可得答案；（2）由（1），，計算出，，，，得的前200項是由的前208項依次去掉的前8項得到的．再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和求和可得答案．(1)等差數(shù)列的前四項為2，，，，若去掉第一項，則有，解得，不符合題意，若去掉第二項，則有，即，由題意，這是不可能的，若去掉第三項，則有，解得（舍去），或，若去掉第四項，則有，解得，不符合題意，綜上，．(2)由（1），，等比數(shù)列的前三項為2，4，8，故的公比，所以，由，，，，知的前200項是由的前208項依次去掉的前8項得到的，于是．11．（2022·山東泰安·高三期末）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三列中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一行，設(shè)數(shù)列的前項和為.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項按適當順序排列后，可以成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）分別討論、、時與的值構(gòu)成的等比數(shù)列可得答案；（2）求出、、根據(jù)等差中項性質(zhì)可得答案.(1)當時，不論取7還是12都不能與或構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意當時，當且僅當時符合題意，當時，不論取7還是都不能與或構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意，∴，∴.(2)，∴，，∵，∴或成等差數(shù)列，∴數(shù)列中的任意連續(xù)三項按適當順序排列后可以成等差數(shù)列.12．（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點在直線上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項的和.【答案】(1)，(2)341【解析】【分析】(1)由與的關(guān)系式可得通項公式，再由點與直線的關(guān)系可得的通項公式；(2)找出滿足條件的共同項再求和即可.(1)，，，①，，，滿足①，所以是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所以.因為點在直線上，所以，，是首項為1公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)且滿足的中項一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，同時滿足，所以，，，，數(shù)列{cn}所有項的和為：.13．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：存在實數(shù)，使得；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）先假設(shè)存在，再通過變形論證存在即可；（2）通過（1）先得到，再變形為即可求解.(1)證明：由變形整理得：，所以，解得或，經(jīng)檢驗，或都滿足題意.故存在實數(shù)，使得.(2)由（1）不妨取，則有，而，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，設(shè)其可變形為，解得，即有，而，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，經(jīng)檢驗，也滿足上式，故.14．（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項，其前四項中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項.(1)求的通項公式；(2)設(shè)中不包含的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項和為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，從而求出通項公式；（2）先求出的前25項和，再減去前25項中含有數(shù)列中的項的和，求出答案.(1)等差數(shù)列中，，，其前四項，，，中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項.根據(jù)題意，當刪去數(shù)列中第三項時，滿足，解得；刪去時，滿足，此方程無解，不滿足題意，同理可證，刪除與時，均不滿足題意；故；所以，(2)已知等差數(shù)列中，，數(shù)列中的項為：4，8，16，32，64，128，256，…，所以.故數(shù)列的前25項和為，數(shù)列的前25項中含有數(shù)列中的項的和為，所以.15．（2022·山東煙臺·高三期末）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和．【答案】(1)證明見解析；，；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式依次計算并探求可得，求出即可得證，并求出通項公式.(2)由(1)求出，再按奇偶分組求和即可計算作答.(1)依題意，，而，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，.(2)由(1)知，，則有，又，則，于是有，因此，，所以.【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認真分析遞推公式并進行變形，有的可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系，有的可利用奇偶分析逐步計算探求項間關(guān)系而解決問題.16．（2022·山東濟南·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)(2)353【解析】【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項公式（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達式，分別求奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，相加得到(1)因為，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以(2)令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)由條件可得從而可證明，再根據(jù)累加法可求出的通項公式.(2)由錯位相減法求出的表達式，然后再解不等式從而得出答案.(1)由，得，所以是等比數(shù)列.所以從而所以，．(2)設(shè)即，所以，，于是，．因為，且，所以，使成立的最大正整數(shù)．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知數(shù)列中，，，且滿足.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項公式，可求得數(shù)列的通項公式，可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.(1)證明：，，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列.(2)解：由（1）可得：，所以，，整理可得，所以，數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，所以，，則，則所以，.19．（2022·湖北襄陽·高三期末）設(shè)是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，是否存在實數(shù)、，使得前項和為，如果存在，求實數(shù)、的值，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，，.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的通項公式即求；（2）由題可得，然后利用錯位相減法可得，再結(jié)合條件即得.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，則由，得，即，解得或（舍），又，所以，∴，即，解得，所以；(2)∵，∴于是，，兩式相減可得：，∴，又因為所以存在，，使得前項和為.20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）利用錯位相減法進行求解即可.(1)，，∴，又，，（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,∴，，（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.∴，∴，∴，∵，∴時，，∴，又，∴時，，，∴；(2)由（1）得，設(shè)①則②①②得，，∴21．（2022·湖北·高三期末）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前100項和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式，列出方程組，解出和公比，則可求出其通項公式；（2）由（1）可求得，且當時，，可依次求出的值，再求和即可.(1)由得，則，因為，則，，又，，則，所以.(2)（2）由題設(shè)及（1）得，且當時，，即，，所以．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項定義，求得首項和公差，進而求得的通項公式．（2）數(shù)列可以看成等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因而前n項和可用錯位相減法求解．【詳解】（1）由題意得，，故，所以的通項公式為．（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得，所以．【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式、等比中項的定義，錯位相減法在求和公式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2022·湖南婁底·高三期末）在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個根．(1)求，；(2)求的通項公式．【答案】(1)，或，(2)或【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差數(shù)列的公差即可.(1)因為，所以或14，所以，；或，．(2)設(shè)公差為d，若，，得，所以通項公式為；若，，則，所以通項公式為．故的通項公式：或.24．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項的和．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）在已知條件中分別取,可求得的值，當時利用和與項的一般關(guān)系得到，從而判定數(shù)列為等差數(shù)列，然后得到通項公式；（2）利用分段求和法、等差數(shù)列求和公式和裂項求和法求得數(shù)列前20項的和．(1)解：由題可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴數(shù)列是首項與公差都為2的等差數(shù)列,∴.(2)解：題可知，當時，,∴.當時，,∴,∴.25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知數(shù)列的前項和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由已知列式解方程組可得解.（2）裂項求和即可.(1)∵當，，兩式相減可得由，代入可得，滿足，所以為等比數(shù)列，∴，不妨設(shè)等差數(shù)列公差為，由條件可得，即，解得，所以(2)由（1）可知∴.26．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由條件可得，從而可解得，得到答案.（2）由（1）可得，則利用裂項相消法可得答案.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，依題意可得解得或，又因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以.從而可求得，所以，.(2)，【點睛】27．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前n項和．在這兩個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)【答案】(1)；(2)若選，；若選，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式進行求解即可；（2）若選，利用錯位相減法進行求解即可；若選，利用裂項相消法進行求解即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得：；(2)若選.因為，所以，因此，，兩個等式相減得：，，；若選，因為，所以，因此有：.28．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求解；（2）方法一：由題意得到，的各項為，再確定數(shù)列的項求解；方法二：由在數(shù)列中，前面（包括）共有項，令，確定數(shù)列的項求解.(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，即，整理得，解得.所以.(2)方法一：由題意可知，的各項為即，因為，且，所以，，，，，，會出現(xiàn)在數(shù)列的前200項中，所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，所以，方法二：在數(shù)列中，前面（包括）共有項，令，則，所以，，，，，，會出現(xiàn)在數(shù)列的前200項中，所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，所以，29．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前n項和為，若，均有，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）對遞推公式進行變形，利用等比數(shù)列的定義進行證明；（2）先利用（1）結(jié)論得到，再利用累加法和等比數(shù)列的前n項和公式求出，再求出，再分離參數(shù)，利用放縮法進行求解.(1)解：因為，所以，又因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1），得，所以，，…，（），所以（），經(jīng)檢驗當時，，亦滿足，所以()，所以，因為任意，均有，所以()，又因為()，所以，即實數(shù)的最小值為.30．（2022·廣東清遠·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前項和為，從下面①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個成立．①，②，③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】答案見解析【解析】【分析】（1）、若選①②作為條件證明③：由①推出的關(guān)系，由②進而求出數(shù)列的通項公式，進而推出③；（2）、若選①③作為條件證明②：由①推出的關(guān)系，求出數(shù)列的通項公式，進而求出的通項公式；由③求出數(shù)列的通項公式，進而推出②；（3）、若選②③作為條件證明①：由③求出數(shù)列的通項公式，由②求出的通項公式，求出數(shù)列的前n項和為,進而推出①；【詳解】（1）、若選①②作為條件證明③：因為，所以當時，．當時，，兩式相減得，所以，所以．因為，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．（2）、若選①③作為條件證明②：因為，所以當時，．當時，，兩式相減得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．因為，所以當時，；當時，．因為當時也滿足上式，所以，故．（3）、若選②③作為條件證明①：因為，所以當時，；當時，．經(jīng)檢驗當時滿足上式，所以.因為，所以，所以，故．31．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列滿足是的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)，將全部代換為與有關(guān)的形式，結(jié)合等差中項性質(zhì)化簡即可求解；（2）結(jié)合（1）可得，由錯位相減法可求.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，又，∴，，；(2)，①，②，①-②得：，.32．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，、、成等差數(shù)列.(1)求證：、、成等差數(shù)列；(2)若，是數(shù)列的前項積，求的最大值及相應(yīng)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)當或時，取得最大值.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，分析得出，利用已知條件可求得的值，再計算得出，即可證得結(jié)論成立；（2）分析可知是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，求得，解不等式，求得的取值范圍，可求得的最大值及其對應(yīng)的值.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為.當時，則，則，故，由已知可得，得，整理得，即，因為，可得，故，，所以，，因此，、、成等差數(shù)列.(2)解：，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，顯然，令，解得，故當或時，取最大值，且.33．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點采用分組求和法求解.【詳解】（1）當時，，當時，，將代入上式驗證顯然適合，所以.（2）因為，，，，所以，所以.【點睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.34．（2022·江蘇海門·高三期末）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝17，a1，a2，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)將數(shù)列{an}與{3n}的相同的項按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【答案】(1)an＝4n－3(2)【解析】【分析】（1）由及成等差數(shù)列建立等式求解即可；（2）根據(jù)條件求出數(shù)列，再求和即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d≠0，由條件得解之得所以數(shù)列的通項公式為an＝4n－3．(2)設(shè)4n－3＝3m，則n＝＝＝，當m＝2k，k∈N*時，(－1)m＋3＝4，所以N*，當m＝2k－1，k∈N*時，(－1)m＋3＝2，所以N*，所以，所以．35．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由數(shù)列前n項和與通項公式之間的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得數(shù)列的前n項和的解析式，求其最值后即可解決.(1)數(shù)列中，＝2，2()＝6－當時，2()＝6－則2()-2()＝6－－（6－），整理得當時，由2()＝6－，可得，滿足綜上，數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，(2)由（1）可知，等比數(shù)列的前n項和為當n為奇數(shù)時，，則當n為偶數(shù)時，，則綜上得，數(shù)列的前n項和的最大值為2，最小值為故M－m36．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對已知的式子變形得，則，從而可得數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，進而可求出的通項公式；（2）由（1）求出，從而可求出，進而可求出(1)由可知，，即，由可知，，所以是以12為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以的通項公式為.(2)由（1）知，，所以所以，所以的前20項和.37．（2022·江蘇揚州·高三期末）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分別是數(shù)列{bn}的前3項．(1)求數(shù)列{bn}的公比q；(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程解得公差d，再利用等比數(shù)列的定義可求得答案；（2）由（1）得，運用數(shù)列錯位相減法求和即可.(1)解：由題意得a62＝a3a12，即，解得d＝2或d＝0，因為d≠0，所以d＝2，所以．(2)解：由（1）可得，