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數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題共58分)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè),為單位向量,則的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知復(fù)數(shù)(,為虛數(shù)單位),則“”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)全集為,定義集合與的運(yùn)算:且,則()A. B. C. D.4.已知,,,,則()A. B. C. D.5.如圖,將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分,其中一個(gè)部分為長(zhǎng)方體,四個(gè)部分為直三棱柱,四個(gè)部分為四棱錐.已知每個(gè)直三棱柱的體積為3,每個(gè)四棱錐的體積為1,則該正四棱臺(tái)的體積為()A.36 B.32 C.28 D.246.小李買(mǎi)了新后了,,,4個(gè)APP,已知桌面上每排可以放4個(gè)APP,現(xiàn)要將它們放成兩排,且和放在同一排,則不同的排列方式有()A.288種 B.336種 C.384種 D.672種7.已知直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn),,,且,則以下能作為直線的方向向量的坐標(biāo)是()A. B. C. D.8.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于,兩點(diǎn),若為的內(nèi)角平分線,則面積的最大值為()A. B. C. D.16二、選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè),是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,且,,,則()A.,相互獨(dú)立 B.C. D.10.如圖,多面體由正四棱錐和正四面體組合而成,其中,則()A.該幾何體的表面積為B.該幾何體為七面體C.二面角的余弦值為D.存在球,使得該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上11.已知函數(shù)與,記,其中,且,則()A.一定為周期函數(shù) B.若,則在上總有零點(diǎn)C.可能為偶函數(shù) D.在區(qū)間上的圖像過(guò)3個(gè)定點(diǎn)第Ⅱ卷(非選擇題共92分)三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)12.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是120,則______.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與軸相交于點(diǎn),與在第一象限的交點(diǎn)為,若,,則的離心率為_(kāi)_____.14.若對(duì)于,,使得不等式恒成立,則整數(shù)的最大值為_(kāi)_____.四、解答題(本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(13分)已知函數(shù).(1)若是的一個(gè)極值點(diǎn),求的值;(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,其中,求的取值范圍.16.(15分)在四棱錐中,平面底面,.(1)是否一定成立?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)給出理由;(2)若是正三角形,且是正三棱錐,,求平面與平面夾角的余弦值.17.(15分)10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一,資格賽比賽規(guī)則如下:每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈,總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢涵h(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲的射擊頻數(shù)11102424乙的射擊頻數(shù)32103015丙的射擊頻數(shù)24101826假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.(1)若丙進(jìn)入決賽,試判斷甲是否進(jìn)入決賽,并說(shuō)明理由;(2)若甲、乙各射擊2次,估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率;(3)甲、乙、丙各射擊10次,用分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù),其中,寫(xiě)出一個(gè)的值,使,并說(shuō)明理由.18.(17分)已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)是圓心),定點(diǎn),線段的中垂線交直線于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡;(2)設(shè)上點(diǎn)(不在軸上)處的切線是,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作平行于的直線,交直線,分別于點(diǎn),,求的取值范圍.19.(17分)已知為有窮正整數(shù)數(shù)列,其最大項(xiàng)的值為,且當(dāng)時(shí),均有.設(shè),對(duì)于,定義,其中表示數(shù)集中最小的數(shù).(1)若,寫(xiě)出,的值;(2)若存在滿足,求的最小值;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)所有.

參考答案及解析一、選擇題1.C 2.A 3.B 4.A5.C 6.D 7.C 8.B二、選擇題9.ABD 10.AC 11.ABD三、填空題12.2 13. 14.0四、解答題15.解:(1)易知,又是的一個(gè)極值點(diǎn),所以,即,所以,此時(shí),令,,所以在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是的極小值點(diǎn),即符合題意,因此的值為.(2)因?yàn)?,且有兩個(gè)極值點(diǎn),,所以方程在上有兩個(gè)不同的根,即方程有兩個(gè)不同的正數(shù)根,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則,令,解得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,,故作出的圖像如圖所示:由圖像可知滿足題意,即,即的取值范圍為.16.解:(1)過(guò)點(diǎn)作的垂線,交于點(diǎn),又平面底面,平面底面,平面,所以底面,若,則點(diǎn)與點(diǎn)重合,即底面,所以垂直平面內(nèi)任意直線,即與無(wú)論何種位置關(guān)系,都有,所以不一定成立.(2)因?yàn)槭钦切?,則為的中點(diǎn),由(1)知底面,又底面,所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,又是正三棱錐,即為等邊三角形,設(shè),則為的中點(diǎn),作,則底面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向?yàn)?,,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,,.設(shè)平面的法向量為,則?。O(shè)平面的法向量為,則?。?,所以平面與平面夾角的余弦值為.17.解:(1)甲進(jìn)入決賽,理由如下:丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為,甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為,因?yàn)?,所以用樣本?lái)估計(jì)總體可得甲進(jìn)入決賽.(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù):“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為,“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為,“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為,“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為,所以估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率為.(3)或(寫(xiě)出其中一個(gè)即可).根據(jù)題中數(shù)據(jù):(當(dāng)時(shí),在每次射擊中,甲擊中大于6環(huán)的概率為,在每次射擊中,乙擊中大于6環(huán)的概率為,在每次射擊中,丙擊中大于6環(huán)的概率為,由題意可知,,,此時(shí),,,不滿足.)當(dāng)時(shí),在每次射擊中,甲擊中大于7環(huán)的概率為,在每次射擊中,乙擊中大于7環(huán)的概率為,在每次射擊中,丙擊中大于7環(huán)的概率為,由題意可知,,,此時(shí),,,滿足.當(dāng)時(shí),在每次射擊中,甲擊中大于8環(huán)的概率為,在每次射擊中,乙擊中大于8環(huán)的概率為,在每次射擊中,丙擊中大于8環(huán)的概率為,由題意可知,,,此時(shí),,滿足.(當(dāng)時(shí),在每次射擊中,甲擊中大于9環(huán)的概率為,在每次射擊中,乙擊中大于9環(huán)的概率為,在每次射擊中,丙擊中大于9環(huán)的概率為,由題意可知,,,此時(shí),,,不滿足.)18.解:(1)由中垂線的性質(zhì)得,所以,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,設(shè)該橢圓的方程為,則,,因此曲線的方程為.(2)解法一:因?yàn)?,設(shè),,,則,.因?yàn)榈男甭蚀嬖?,設(shè)為,所以直線的方程為,聯(lián)立可得消去得,①由已知,方程①的判別式,所以,所以,②方程②的判別式,又,即,所以,所以方程②的解為,又,所以,所以直線的方程為,所以.③又直線,④聯(lián)立③④,消可得,解得,代入得,同理可得,所以,又,所以.解法二:由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知,是的外角平分線(如圖標(biāo)識(shí)),即,因?yàn)?,所以,所以,結(jié)合,所以由正弦定理可知,即,從而,因?yàn)?,所以,由,可知,所以?9.(1)解:由,則,故,,故,,故.(2)解:由題意知,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?,所以,因?yàn)?,且,均為正整?shù),所以或,所以,因?yàn)?,,是互不相等的正整?shù),所以必有一項(xiàng)大于2,所以,所以,不合題意,當(dāng)時(shí),對(duì)于數(shù)列,有,綜上,的最小值為4.(3)證明:因?yàn)?,所以?/p>

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