湖南省長(zhǎng)沙市師大附中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

湖南師大附中2024—2025學(xué)年意高二第一學(xué)期第一次大徐習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求出答案.【詳解】由題意得，故選：A2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由絕對(duì)值不等式解出集合，再由對(duì)數(shù)的單調(diào)性得到集合，最后求并集即可；【詳解】由題意可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.3.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)軸截面面積求出r，結(jié)合圓錐側(cè)面積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為2r，又軸截面面積為，故，則該圓錐的表面積為，故選：B4.若角滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求出，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式法求值.【詳解】由，得，即，則所以.故選：B5.已知平面上三個(gè)單位向量滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將平方后求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由題意知平面上三個(gè)單位向量滿(mǎn)足，則，即，則，故，故選：C6.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則稱(chēng)為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義確定的值域?yàn)?，結(jié)合每段上的函數(shù)的取值范圍列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)椋忠驗(yàn)楹瘮?shù)是“函數(shù)”，故其值域?yàn)椋欢?，則值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C7.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)和兩直線(xiàn)垂直得到點(diǎn)的軌跡，再設(shè)，結(jié)合輔助角公式求出即可；【詳解】由題意可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，且兩直線(xiàn)的斜率之積為，所以?xún)芍本€(xiàn)相互垂直，所以點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.8.已知點(diǎn)P在橢圓τ：(a>b>0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，設(shè)直線(xiàn)AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)，由題意可得的坐標(biāo)，再由向量的關(guān)系求出的坐標(biāo)，求出的斜率，設(shè)坐標(biāo)，在橢圓上，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程，兩式相減所以可得，再由可得的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．詳解】設(shè)，則，，則，設(shè)，則兩式相減得到：，即，故，即，故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2，則實(shí)數(shù)可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑以及，再結(jié)合題意列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】圓即圓,需滿(mǎn)足，則圓心為，半徑為圓心到直線(xiàn)的距離為，要使圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2，需滿(mǎn)足，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知6，7，8符合題意，故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.D.的一個(gè)周期為8【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可推出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷AB；利用賦值法求出的值，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可求，判斷C；結(jié)合函數(shù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性可推出函數(shù)的周期，判斷D.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，即，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，A正確；又為奇函數(shù)，則，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B正確；由于，令，則，又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故，C錯(cuò)誤；又，，則，故，即，則，即的一個(gè)周期為8，D正確，故選：ABD11.在棱長(zhǎng)均為1的三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，則下列說(shuō)法一定正確的有（）A.當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，的最大值為2D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】將用表示，再結(jié)合求出，即可判斷A；將平方，將代入，再結(jié)合基本不等式即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，再根據(jù)，求出，再根據(jù)即可判斷C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，，所以，又因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，則，又因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，所以，所以的最大值?，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)知，，在方向上的投影為，所以點(diǎn)到的距離，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到的距離的最小值為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，再根據(jù)，求出，是解決C選項(xiàng)的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)事件滿(mǎn)足，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的和事件的概率計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知，故,則，故答案為：13.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】分別求得上下底面所在平面截球所得圓半徑，找到球心，求得半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果．【詳解】由題意設(shè)三棱臺(tái)為，如圖，上底面所在平面截球所得圓的半徑是，為上底面截面圓的圓心下底面所在平面截球所得圓的半徑是，為下底面截面圓的圓心由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，其外接球的球心在直線(xiàn)上，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，軸截面中由幾何知識(shí)可得，無(wú)解；當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，可得，解得，因此球的表面積是．故答案為：14.已知2024是不等式的最小整數(shù)解，則的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合分式不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互換的性質(zhì)變形不等式，再分大于零和小于零時(shí)分類(lèi)討論即可；【詳解】由題意可得，變形不等式可得，當(dāng)時(shí)，有，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的互化并整理可得，即，解得或（舍去），從而，又時(shí)，所以要使2024是不等式的最小整數(shù)解，有，解得，所以，當(dāng)時(shí)，注意到，此時(shí)，不等式的分子大于零，不符合題意，綜上，的取值范圍為.故答案：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性，小于或等于的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．（1）當(dāng)漏診率時(shí)，求臨界值和誤診率；（2）已知一次調(diào)查抽取的未患病者樣本容量為100，且該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)檢查完全符合上面頻率分布直方圖（圖2），臨界值，從樣本中該醫(yī)學(xué)指標(biāo)在上的未患病者中隨機(jī)抽取2人，則2人中恰有一人為被誤診者的概率是多少？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由圖1，根據(jù)漏診率列式求出，再由圖2求出誤診率；（2）根據(jù)圖2求出100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在中的人數(shù)以及被誤診者的人數(shù)，再利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】依題可知，圖1第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得，．【小問(wèn)2詳解】由題可知，100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在中的有人，其中被誤診者有人，記隨機(jī)抽取的2人恰有一人為被誤診者為事件A．分別用a，b，c，d，E，F(xiàn)表示這6人，E，F(xiàn)代表被誤診的2人，樣本空間，事件，故，，，故2人中恰有一人為被誤診者的概率是．16.已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若的面積為2，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)Mx,y，求出圓心坐標(biāo)，利用的數(shù)量積為零求出軌跡方程即可；（2）設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，由三角形面積公式求出，再利用弦長(zhǎng)公式求解即可；【小問(wèn)1詳解】由可得點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)Mx,y，圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑，所以，因?yàn)椋?，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，的面積為2，，所以，即，解得，由弦長(zhǎng)公式可得.17.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，點(diǎn)M，N分別是棱，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為Q，連接，，由平面幾何知識(shí)可得且，進(jìn)而可得，由線(xiàn)面平行的判定即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，作交CD于點(diǎn)F，連接，取的中點(diǎn)為O，連接，建立空間直角坐標(biāo)系后，求出平面的一個(gè)法向量為、直線(xiàn)的方向向量，利用即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為Q，連接，，如圖：又點(diǎn)N是的中點(diǎn)，則且，又點(diǎn)M是的中點(diǎn)，底面是矩形，則且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，作交CD于點(diǎn)F，連接，則，，∴平面，又平面，∴平面平面，∵，，，∴，，，.設(shè)平面平面，可知，∵平面平面，∴，∴，取的中點(diǎn)為O，連接、，則平面，，∴、、兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,，如圖所示，則，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，令可得.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行的判定及利用空間向量求線(xiàn)面角，考查了空間思維能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18.已知P(，)是橢圓C：(a>b>0)上一點(diǎn)，以點(diǎn)P及橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形面積為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F2作斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，M是l1與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，N是l2與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn)，求△MNF2面積的最大值．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)由橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形的面積可得，，之間的關(guān)系，求出，的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由題意設(shè)直線(xiàn)的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進(jìn)而求出交點(diǎn)的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理求出的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，換元由函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值．【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得：，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】由(1)可得右焦點(diǎn)，由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，，，，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，整理可得：，，∴，同理可得直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴，設(shè)，令，則，令，，，，恒成立，∴在，單調(diào)遞增，∴．∴面積的最大值為：．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式為．由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．基本不等式可以推廣到一般的情形：對(duì)于個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)（注：）不小于它們的幾何平均數(shù)（注：），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（1）已知，求的最小值；（2）已知且．（?。┣笞C：；（ⅱ）當(dāng)，求的最小值，其中．【答案】（1）（2）（?。┳C明見(jiàn)解析（ⅱ）【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可證明，再構(gòu)造取到等號(hào)的例子即可；（2）（?。┦褂眠m當(dāng)?shù)脑驮挡坏仁?，再將所得結(jié)果相乘即可；（ⅱ）先研究函數(shù)的性質(zhì)，再利用相應(yīng)性質(zhì)得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由均值不等式得.而當(dāng)，時(shí)，有，.所以的最小值是.【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）由于，，故對(duì)，由均值不等式有，.將二者相乘，得.再將該不等式對(duì)相乘，即得.（ⅱ）對(duì)，設(shè).則，.對(duì)，設(shè)，.則，，所以在上遞增.所以對(duì)有，對(duì)有.這表明在上遞減，在上遞增，所以由有.這就得到，同理有，即再設(shè)，.則，.所以在上遞減.而，.所以一定存在，