微積分-經(jīng)管類(lèi)-上冊(cè)3.7 習(xí)題課

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二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、微分中值定理及其應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第3章

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

泰勒中值定理

柯西中值定理2.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論3.有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法利用逆向思維

,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理

.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.4.

設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證:

令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.解決最值問(wèn)題

目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化

最值的判別問(wèn)題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.例1.

證明在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉格朗日定理,故當(dāng)

x>0時(shí),從而在上單調(diào)增.得7.

求數(shù)列的最大項(xiàng).證:設(shè)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得令得因?yàn)樵谥挥形ㄒ坏臉O大值點(diǎn)因此在處也取最大值.又因中的最大項(xiàng).極大值列表判別:例2.

證明證:

設(shè),則故時(shí),

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