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第6章定積分積分學(xué)不定積分定積分第1節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

第6章一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個(gè)小段過(guò)的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限二、定積分定義(P23)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和可積的充分條件:取定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為注注注.當(dāng)n較大時(shí),此值可作為的近似值[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則推論2.證:即7.

設(shè)則例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

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