專題01 勾股定理（五大類型）（題型專練）（解析版）-A4

第頁專題01勾股定理（五大類型）【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】【題型4作無理數(shù)的線段】【題型5勾股定理的證明】【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】1．（2023春?禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，則AB邊的長度是（）A．3 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4．故選：B．2．（2023春?張北縣校級期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，則AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或【答案】B【解答】解：∵∠A＝90°，∴BC是斜邊，∴＝＝．故選：B．3．（2023春?黃岡月考）直角三角形兩邊分別為5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．7【答案】C【解答】解：直角三角形兩邊分別為5和12，根據(jù)勾股定理可知，第三邊長為或，即第三邊長為13或，故選：C．4．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，∴BC＝16．故選：D．5．（2022秋?晉江市期末）我國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊為勾，另一條直角邊為股，斜邊為弦．若一勾股形中勾為9，股為12，則弦為（）A．21 B．15 C．13 D．12【答案】B【解答】解：弦為：，故選：B．6．（2022秋?內(nèi)江期末）如圖所示：求黑色部分（長方形）的面積為（）A．24 B．30 C．48 D．18【答案】B【解答】解：根據(jù)勾股定理，得直角三角形的斜邊是＝10，則矩形的面積是10×3＝30．故選：B．7．（2023?金水區(qū)開學(xué)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，則OA21的長為（）A．22 B． C．21 D．【答案】D【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，..．，∴OAn＝，∴OA21＝，故選：D．【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】8．（2023秋?朝陽區(qū)校級期末）圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm，則圖中A、B兩個正方形的面積之和為（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2【答案】C【解答】解：由圖形可知2個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和＝49cm2．故選：C．9．（2023秋?建湖縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分線交BC于點D，連接AD，則△ACD的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵AB的垂直平分線交BC于點D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周長為：4+3＝7．故選：A．10．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分線，則△CDE的周長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分線，∴AD＝DE，在Rt△BAD和Rt△BED中，，∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），∴BA＝BE＝3，∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝＝＝4，∴△CDE的周長＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．故選：A．11.（2023春?東西湖區(qū)期中）如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長是（）A．12.5 B．13 C．14 D．15【答案】C【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝7，∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7，∴AC×BC＝14，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC?BC＝62+2×14＝64，∴AC+BC＝8（負(fù)值舍去），∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝8+6＝14，故選：C．12．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴△ABC的周長＝3+4+5＝12，∵BD平分△ABC的周長，∴AB+AD＝BC+CD＝6，∴AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E，∴AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴DE＝，CE＝，∴BE＝，∴BD＝＝＝，故選：C．13．（2022秋?臨猗縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點．若DA＝DB＝10，△ABD的面積為40，則CD的長是（）A．5 B． C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵△ABD的面積為40，AD＝10，∴×10×BC＝40，解得BC＝8，在Rt△BCD中，CD＝＝＝6，故選：C．14．（2023春?涼城縣期末）如圖，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC邊上的中線，則△BCD的面積是（）A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2【答案】A【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC邊上的中線，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面積＝×5×6＝15（cm2），故選：A．15．（2023秋?青島期中）如圖，分別以Rt△ABC的三邊為直徑向外作半圓，斜邊AB＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π B．3π C．2π D．π【答案】A【解答】解：根據(jù)題意知：AC2+BC2＝AB2＝16．圖中陰影部分的面積＝π×（AC）2+π×（BC）2+π×（AB）2＝π（AC2+BC2+AB2）＝π×（16+16）＝4π．故選：A．16．（2023秋?昌江區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）A．18 B．36 C．65 D．72【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB＝＝，則正方形ABDE的面積為：（）2＝65．故選：C．17．（2023春?焦作期末）如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，b的面積分別為5和11，則c的面積為（）A．6 B．5 C．11 D．16【答案】A【解答】解：∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°∴∠ACB＝∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵，∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE，∵AC2＝AB2+BC2，∴b的面積＝a的面積+c的面積，∴c的面積＝b的面積﹣a的面積＝11﹣5＝6．故選：A．18．（2023秋?昭通期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，AB＝20，CD是AB邊上的高，則CD的長是（）A．4.8 B．7.2 C．8 D．9.6【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，∴×12×16＝×20×CD，解得：CD＝9.6，故選：D．19．（2023秋?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB邊上的高，則AD的長為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝30°，∵∠CDB＝90°，BC＝2，∠BCD＝30°，∴，∴AD＝AB﹣BD＝3，故選：B．20．（2023秋?彰武縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，連結(jié)AE，則△ABE的周長為14．【答案】14．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，∴BC＝＝＝8，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝6+8＝14，故答案為：14．21．（2023秋?鳳翔區(qū)期末）如圖Rt△ABC，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”：當(dāng)AC＝6，BC＝8時，則陰影部分的面積為24．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB＝＝＝10，所以陰影部分的面積S＝×π×32+×π×42+×6×8﹣?π×52＝24，故答案為：24．【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】22．（2023春?西城區(qū)校級期中）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為（）A． B． C．6 D．13【答案】A【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，∴斜邊為＝13，∵三角形的面積＝×5×12＝×13h（h為斜邊上的高），∴h＝．故選：A．23．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝2.4，故選：A．24．（2023春?代縣月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則邊BC的長為（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或14【答案】C【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC的長為BD+DC＝9+5＝14；（2）鈍角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC的長為DC﹣BD＝9﹣5＝4．綜上可得BC的長為14或4．故選：C．25．（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖是邊長為1的3×3的正方形網(wǎng)格，已知△ABC的三個頂點均在正方形格點上，則BC邊上的高是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解答】解：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝BC2＝10，∴△ABC是直角三角形，設(shè)BC邊上的高為h，則S，∴h＝＝，即BC邊上的高是，故選：A．26．（2023春?長沙期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD為AB邊上的高．（1）求斜邊AB的長；（2）求CD的長．【答案】（1）10；（2）4.8．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10；（2）∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，∴6×8＝10×CD，∴CD＝4.8．27．（2023春?靖西市期中）如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝8，BC＝6．（1）求AB的長；（2）求斜邊上的高CD的長．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）由勾股定理得：；（2）Rt△ABC中，∵CD為斜邊AB上的高，∴△ABC的面積＝，∴AB×CD＝AC×BC，∴．28．（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于點D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，則AD＝8，BD＝15；（2）若BC＝20，求CD的長．【答案】（1）8，15；（2）CD＝．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，∴BD＝＝＝15．故答案為：8，15；（2）設(shè)CD＝x，則BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴CD＝．【題型4作無理數(shù)的線段】30．如圖，正方形ABCD的頂點A，D在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為﹣1，點D表示的數(shù)為0，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AE＝AC，則點E所表示的數(shù)為（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．【答案】C【解答】解：由題意得，AC＝＝，∴AE＝AC＝，∴點E表示的數(shù)是﹣1+＝﹣1，故選：C．31．如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：由勾股定理，得圖中直角三角形的斜邊長為＝，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為﹣1．故答案為：﹣1．35．如圖所示，點C表示的數(shù)是．【答案】．【解答】解：根據(jù)勾股定理得：AB＝，AD＝，∴OC＝，故答案為：．32．如圖，已知長方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，BA＝BC，寫出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵BC＝＝，則AB＝BC＝，∵A在原點右側(cè)．則點A所表示的數(shù)是﹣1．故答案為：﹣1．33．如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣；故答案為：﹣．34．如圖，在數(shù)軸上作出表示的點（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：所畫圖形如下所示，其中點A即為所求；．【題型5勾股定理的證明】35．（2023春?渝北區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項不能證明勾股定理．故選：D．36．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【解答】解：設(shè)將CA延長到點D，連接BD，根據(jù)題意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴這個風(fēng)車的外圍周長是37×4＝148．故選：A．37．（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形．如圖所示，如果大正方形的面積是100，小正方形的面積為20，那么每個直角三角形的周長為（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80，則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180，∴每個直角三角形的周長為10+＝10+6，故選：A．38．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2【答案】D【解答】解：∵直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，∴，（a﹣b）2＝S2，∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，∴，∴a2+b2＝S2+4S1故選：D．39．（2023?攀枝花二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．40．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC與Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°