湖北省黃岡市黃梅縣育才高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)9月月考卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合和，然后，利用交集的運(yùn)算可得答案.【詳解】，，.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)后可求，從而可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限，故選：D.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C4.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或7 D.7或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可求，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，故，故選：B.5.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類討論，可得答案.【詳解】的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，為增函數(shù)，，而時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，則，為減函數(shù)，，而時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，，則，整理得，，解得；綜上，時(shí)滿足題意.故選：A6.已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且.過(guò)點(diǎn)的直線與直線分別交于，設(shè)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，故即，故為中點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，故，而，因?yàn)椴还簿€，故即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故選：C.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化簡(jiǎn)得，結(jié)合題意得分母為偶函數(shù)，則，繼而即可求解.【詳解】，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依題意可得恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出，即可得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】令，則恒成立，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項(xiàng)即可得到結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知：，又因?yàn)?，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯(cuò)誤；即所以,故B正確；所以．對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC．10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數(shù)列及，判斷出，，再利用等差數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則，所以，即等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，對(duì)于A，由，知等差數(shù)列an前7項(xiàng)為正數(shù)，其余項(xiàng)為負(fù)數(shù)，故當(dāng)時(shí)，最大，故A正確；對(duì)于B，，故所以使得成立的最小自然數(shù)不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD11.已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，利用賦值法再結(jié)合偶函數(shù)即可求解；對(duì)B，先推出的周期，再結(jié)合中心對(duì)稱的結(jié)論即可求解；對(duì)C，利用周期性即可求解；對(duì)D，利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】對(duì)A，滿足，令，則，即f1=0又為偶函數(shù)，，故A對(duì)；對(duì)B，，，故的周期，再根據(jù)，即，∴fx的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故B對(duì)；對(duì)C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當(dāng)時(shí)，，即，即，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，滿足，∴fx關(guān)于1,0又當(dāng)時(shí)，∴fx在0,2當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，，故D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此類有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目，關(guān)鍵點(diǎn)在于要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換法，推出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知平面向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)椋?，即，解?故答案為：.13.已知，分別為直線和曲線上的點(diǎn)，則AB的最小值_______【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想可知直線與曲線相切的切點(diǎn)到直線的距離是最小值，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)A，由題意的最小值為切點(diǎn)A到直線的距離，如圖所示，對(duì)求導(dǎo)有，由可得，即，故最小值為.故答案為：.14.已知數(shù)列有30項(xiàng)，，且對(duì)任意，都存在，使得.（1）__________；（寫出所有可能的取值）（2）數(shù)列中，若滿足：存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項(xiàng)具有性質(zhì)，且這4項(xiàng)的和為20，則__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根據(jù)題意代入即可求解；②先根據(jù)題意分析出具有性質(zhì)的項(xiàng)，易知從開始是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列求和即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，或，或時(shí)有或，當(dāng)時(shí)，，或，或時(shí)有或，或時(shí)有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項(xiàng)具有性質(zhì)，且這4項(xiàng)的和為20，故，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，.故答案為：；1047.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義問(wèn)題的求解，涉及到根據(jù)新定義求解數(shù)列中的項(xiàng)、數(shù)列求和等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確理解所給的新定義，得到所給數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列之間的關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項(xiàng)和，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．小問(wèn)1詳解】由，則當(dāng)時(shí)兩式相減得，所以.將代入得，，所以對(duì)于，故an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】.，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)可得，分類討論的符號(hào)以及與0的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，且，（i）若，則，令f′x>0，解得；令f′可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令f′x>0，解得或；令f′x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)ln?a2令f′x>0，解得或x>ln?a可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再結(jié)合余弦定理解得，進(jìn)而可得面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.如圖，平面四邊形中，，對(duì)角線相交于．（1）設(shè)，且，（?。┯孟蛄勘硎鞠蛄浚唬áⅲ┤?，記，求的解析式．（2）在（ⅱ）的條件下，記△，△的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）（?。?；（ⅱ），；（2）.【解析】【分析】（1）（?。┯善矫嫦蛄康木€性運(yùn)算即可求解，（ⅱ）根據(jù)已知條件可得，將（?。┲械慕Y(jié)論兩邊同時(shí)平方再展開化簡(jiǎn)即可求解；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合（ⅱ）中的結(jié)論將面積之比表示為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）（?。┮?yàn)椋?，所以，即，所以，（ⅱ）因?yàn)?，，所以，因?yàn)榍?，所以，即，所以，整理可得：，即?（2）由（1）知：，由三角形面積公式可得：，記，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在1,+∞上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）帕德近似（Padeapproximation）是數(shù)學(xué)中常用的一種將三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)?對(duì)數(shù)函數(shù)等“超越函數(shù)”在一定范圍內(nèi)用“有理函數(shù)”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i）當(dāng)且時(shí)，試比較與的大??；（ii）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間（2）（3）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）采用分離常數(shù)的方法得（），設(shè)，求hx在1,+∞上的最小值即可.（3）（i）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及，比較與的大?。唬╥i）利用（i）的結(jié)論，進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則.所以的減區(qū)間為0,+∞，無(wú)增區(qū)間.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵?,+∞上恒成立，所以，所以（）設(shè)，則再設(shè)，則，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞單調(diào)遞增，所以，所以h′x>0在1,+∞上恒成立，所以所以.又在1,+∞上恒成立，所以.【小問(wèn)3詳解】（i）記，則，所以Fx在0,+∞上