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第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算教學(xué)設(shè)計本節(jié)課重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化,有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)是根式的概念,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化主要讓學(xué)生理解1、n次方根及n次根式的概念;掌握n次根式的性質(zhì),并能運(yùn)用它進(jìn)行化簡,求值。2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化;新課中通過對有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行類比,歸納實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比的能力,滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識??键c(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)根式的概念及運(yùn)算性質(zhì)理解n次方根及根式的概念.正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象實(shí)數(shù)指數(shù)冪學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化,掌握用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】1、通過對有理指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪(a>0,且,a≠1,x∈R)含義的認(rèn)識,了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。【教學(xué)難點(diǎn)】1、指數(shù)冪的含義及根式的互化。預(yù)習(xí)教材P3-P8的內(nèi)容,思考以下問題:1.n次方根是怎樣定義的?2.根式的定義是什么?它有哪些性質(zhì)?3.有理指數(shù)冪的含義是什么?怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪?4.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律?5.如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡?國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,我國科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,我國科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長:2013年為221.59億元,2014年、2015年、2016年的年增長率分別為16.84%,14.06%,14.26%。你能根據(jù)這三個年增長率的數(shù)據(jù),算出年平均增長幸,并以2013年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ),預(yù)測2017年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎?為了解決類似情境中的問題,我們需要對指數(shù)運(yùn)算有更多的了解.有理指數(shù)冪初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的知識,例如25=2×2×2×2×2=32,30=一般地,an中的a稱為底數(shù),n稱為指數(shù)①。整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的運(yùn)算法則有aman=am+n,(am)n=amn,(ab)m=ambm.另外,初中我們還學(xué)習(xí)了平方根和立方根:(1)如果x2=a,則稱x為a的平方根(或二次方根):當(dāng)a>0時,a有兩個平方根,它們互為相反數(shù),正的平方根記為,負(fù)的平方根記為-;當(dāng)a=0時,a只有一個平方根,記為;當(dāng)a<0時,a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根。例如,=二次根式的運(yùn)算法則有(2)如果x3=a,則x稱為a的立方根(或三次方根),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),任意實(shí)數(shù)a有且只有一個立方根,記作。例如,=【嘗試與發(fā)現(xiàn)】類比二次方根和三次方根,給出四次方根和五次方根的定義。類比二次方根和三次方根,給出四次方根和五次方根的定義。一般地,給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a,如果存在實(shí)數(shù)x,使得xn=a,則x稱為a的n次方根。①本章中,所有字母的取值范圍均默認(rèn)為使式子有意義的取值范圍。例如,因?yàn)榉匠蘹4=81的實(shí)數(shù)解為3與-3,因此3與-3都是81的4次方根:因?yàn)?5=32,而且x5=32只有一個實(shí)數(shù)解,所以32的5次方根為2根據(jù)方程xn=a解的情況不難看出:(1)0的任意正整數(shù)次方根均為0,記為.(2)正數(shù)a的偶次方根有兩個,它們互為相反數(shù),其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根,記為,負(fù)的方根記為-;負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在,即當(dāng)a<0且n為偶數(shù)時,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義。(3)任意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個,記為。而且正數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個負(fù)數(shù).當(dāng)有意義的時候,稱為根式,n稱為根指數(shù),a稱為被開方數(shù).注意,雖然我們不知道等的精確小數(shù)形式(計算器和計算機(jī)上給出的值都是近似值),但是按照定義,我們知道的一些性質(zhì),比如等.一般地,根式具有以下性質(zhì):(1)(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,當(dāng)n為偶數(shù)時,例如,【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能想出一個新的二次根式符號的表示方法,使你能想出一個新的二次根式符號的表示方法,使成為(am)n=amn的特例,成為ambm=(ab)m的特例嗎?現(xiàn)在來將整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算,也就是給出等的定義.同以前一樣,我們希望推廣后,有關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)仍然能保持,比如(am)n=amn在m,n都是分?jǐn)?shù)時仍然成立,因此,應(yīng)該滿足這表示應(yīng)該是5的平方跟,但是5的平方根有兩個,即和-,為了方便起見,我們規(guī)定=.這樣一來,嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題也就解決了.一般地,如果n是正整數(shù),那么:當(dāng)有意義時,規(guī)定當(dāng)沒有意義時,稱沒有意義.例如,,,而沒有意義,因?yàn)闆]有意義.這樣一來,可以看成,也可以看成,即==對于一般的正分?jǐn)?shù),也可作類似規(guī)定,即但值得注意的是,這個式子在不是既約分?jǐn)?shù)(即m,n有大于1的公約數(shù))時可能會有歧義.例如,是有意義的,而是沒有意義的。因此,以后如果沒有特別說明,一般總認(rèn)為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)都是既約分?jǐn)?shù)。負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪類似,即若s是正分?jǐn)?shù),as有意義且a≠0時,規(guī)定a-s=現(xiàn)在我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪推廣到了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(即有理數(shù)指數(shù)冪).一般情況下,當(dāng)s與都是有理數(shù)時,有運(yùn)算法則:aasat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs例如,【典型例題】例1求證:如果a>b>0,n是大于1的自然數(shù),那么證明假設(shè),即或根據(jù)不等式的性質(zhì)與根式的性質(zhì),得a<b或a=b.這都與a>b矛盾,因此假設(shè)不成立,從而利用例1的結(jié)論,可以證明(留作練習(xí)):(1)如果a>s>0,s是正有理數(shù),那么as>bs;(2)如果a>1,s是正有理數(shù),那么as>1,a-s<1;(3)如果a>1,s>t>0,且s與t均為有理數(shù),那么as>at二、實(shí)數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪還可以推廣到無理數(shù)指數(shù)冪,下面我們通過一個例子來描述其中的思想。應(yīng)該怎樣理解2π這個數(shù)呢【嘗試與發(fā)現(xiàn)】根據(jù)前面的知識,猜測根據(jù)前面的知識,猜測2π與23的相對大小,以及2π與24的相對大小不難猜出,23<2π<24.就像在計算圓的面積時,我們常常取π為3.14一樣,在精度要求不高的前提下,我們可以認(rèn)為2π≈23.14=因?yàn)棣?3.141592653...是一個無理數(shù)(即無限不循環(huán)小數(shù)),我們寫不出他的精確的小數(shù)形式,但是因?yàn)?.1<π<3.2,所以23.1<2π<23.2,同樣3.14<π<3.1523.14<2π<23.153.141<π<3.14223.141<2π<23.1423.1415<π<3.141623.1415<2π<23.14163.14159<π<3.1416023.14159<2π<23.14160也就是說,兩個序列3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,...;3.2.,3.15,3.142,3.1416,3.14160,...中的數(shù),隨著小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)的增加,都越來越接近,從而兩個序列23.1,23.14,23.141,23.1415,23.14159,...;23.2,23.15,23.142,23.1416,23.14160,...;中的數(shù),隨著指數(shù)的變化,也都會越來越接近一個實(shí)數(shù),這個實(shí)數(shù)就是2π一般地,當(dāng)a>0且t是無理數(shù)時,at都是一個確定的實(shí)數(shù),我們可以用與上述類似的方法找出它的任意精度的近似值。因此,當(dāng)a>0,t為任意實(shí)數(shù)時,可以認(rèn)為實(shí)數(shù)指數(shù)冪at都有意義.可以證明,對任意實(shí)數(shù)s和t,類似前述有理指數(shù)釋的運(yùn)算法則仍然成立。【典型例題】例2計算下列各式的值:()(()))(2)例3化簡下列各式:(1)(2)三、用信息技術(shù)求實(shí)數(shù)指數(shù)冪實(shí)數(shù)指數(shù)冪的值可以通過計算器或計算機(jī)軟件方便地求得.在GeoGebra中,在“運(yùn)算區(qū)”利用符號“?”,就可以得到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的精確值或近似值.如下圖所示,前面三個是在符號計算模式下的輸入和所得到的結(jié)果,后面兩個是在數(shù)值計算模式下得到的結(jié)果。下面我們來求本節(jié)情境與問題中的年平均增長率。假設(shè)年平均增長率為x,則應(yīng)該有(1+16.84%)(1+14.06%
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