湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024—2025—1學(xué)期麓山國陳高二第一次學(xué)情檢測試卷數(shù)學(xué)命題人：徐婭審題人：李建華時(shí)量：120分鐘滿分：150分第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助傾斜角與斜率的關(guān)系可得兩直線的傾斜角，即可得其夾角.【詳解】設(shè)兩直線傾斜角分別為，由，則，由，則，即，則兩直線夾角為.故選：B.2.在四面體中，為棱的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】,故選:A3.棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由求解即可．【詳解】，所以．故選：A．4.若點(diǎn)在圓（為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】由題意知，故，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實(shí)數(shù)范圍為.故選：C.5.直線與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率判斷直線的傾斜角進(jìn)而判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為，于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，檢驗(yàn)4個(gè)選項(xiàng)，知只有B選項(xiàng)滿足題意．故選：B.6.在所有棱長均為2的平行六面體中，，則的長為（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】先將用表示，然后再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，從而，即的長為．故選：C.7.已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點(diǎn)，則，又直線的斜率為，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為.故選：A.8.已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則b的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得.【詳解】因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)P，使得，所以，以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，又以為直徑的圓，圓心為O0,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，所以，即，即.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（

）A. B.在上的投影向量為C. D.向量共面【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量模長、投影向量求法、向量垂直的坐標(biāo)表示、向量共面的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，，，A正確；對于B，，在上的投影向量為，B正確；對于C，，與不垂直，C錯誤；對于D，，共面，D正確.故選：ABD.10.以下四個(gè)命題敘述正確的是（）A.直線在軸上的截距是1B.直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是C.設(shè)點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D.直線，若，則或2【答案】BC【解析】【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點(diǎn)到直線的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；對于B，由解得，即，則，解得，B正確；對于C，依題意，，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，直線重合，D錯誤.故選：BC11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.的面積最大值為1C.若原點(diǎn)始終在動弦上，則不是定值D.若動點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)的軌跡，然后利用圓的周長公式求解判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心為1,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，正確；對于B，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值為1，正確；對于C，當(dāng)弦垂直x軸時(shí)，，所以，當(dāng)弦不垂直x軸時(shí)，設(shè)弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，綜上，恒為定值，錯誤；對于D，設(shè)Px0,y0，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是又，所以，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，其周長為長度為，正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由方程表示的圖形的幾何意義以及所求代數(shù)式的幾何意義畫出圖形可求出最小值.【詳解】解：曲線表示的是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為：.13.如圖，已知正方體的棱長為1，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,則，令，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.14.過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，則點(diǎn)到直線距離的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】由得出點(diǎn)在以為直徑的圓上，通過兩圓方程相減得到直線的方程，從而可得直線所過的定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)閳A心，半徑為，故圓的方程為：，又圓，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以到直線距離的最大值即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得出點(diǎn)在以為直徑的圓上是解決本題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點(diǎn)斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)為，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【小問1詳解】由題意得，則直線的斜率為，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為：，即．【小問2詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以點(diǎn)直線上，故設(shè)點(diǎn)為，由可得：，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，則直線的方程為或．16.如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若點(diǎn)M是線段上的點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)M是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)在平面內(nèi)，證明見解析【解析】【分析】（1）連接、交于，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，計(jì)算出即可.（2）求出、、，即可得到，從而得到、、、四點(diǎn)共面，即可得證.【小問1詳解】連接、交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得平面，底面為正方形，則，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，則，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，，又，得，，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．17.已知圓的方程為．（1）若直線：，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）點(diǎn)在圓上，且，在圓上任取不重合于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，若直線和的斜率存在且互為相反數(shù)．試問：直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）相交（2）定值【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離與半徑比較，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）首先求出的坐標(biāo)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率．【小問1詳解】解：圓：的圓心為，半徑，圓心到直線距離，直線與圓相交；【小問2詳解】解：由點(diǎn)在圓上，即，解得，又，所以，即，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，代入圓，可得，是方程的一個(gè)根，，，則．由題意，，則直線的方程為，，，，直線的斜率是定值．18.如圖，直角梯形ACDE中，、M分別為AC、ED邊的中點(diǎn)，將△ABE沿BE邊折起到△A'BE的位置，N為邊A'C的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面A'BE；（2）當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面NBM與平面BEDC夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理在平面中找到和直線平行的直線，利用直線和平面平行的判定定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件利用等體積法，進(jìn)而求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面的法向量計(jì)算平面的夾角的正切值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，由題意知，，直角梯形中，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，平面，不在面內(nèi)，平面.【小問2詳解】連接，則，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，面，平面，，，，，為等邊三角形，則，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，，令，令，設(shè)平面與平面的夾角為，由題可知為銳角，，平面與平面的夾角的正切值為.19.某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為的筆直公路，其中.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為，圓心到地面的距離為，其最高點(diǎn)為點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)與公路的距離為.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計(jì)算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計(jì)）（1）如圖所示，甲位于摩天輪的點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公路所在直線為，過點(diǎn)作的垂線，垂直為,由得答案;（2）設(shè)甲位于圓上的點(diǎn)處,直線垂直于且交圓于點(diǎn)，射線可以看成是射線繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度得到.過點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)向作垂線，垂足為.取得最大值時(shí)，即為從乙看甲的最大仰角，,其中，表示點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的直線的斜率，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【小問1詳解】如圖所示，設(shè)公路所在直線為，過點(diǎn)作的垂線，垂直為，m.因?yàn)閳A的半徑為35m，圓心到地面的距離為40m，所以m.從甲看乙的最大俯角與相等，由題意得，則.【小問2詳解】如圖所示，設(shè)甲位于圓上的點(diǎn)處，直線垂直于且交圓于點(diǎn)