安徽省“皖南八校”2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

安徽省“皖南八校”2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.2．某地為響應(yīng)總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線(xiàn)距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米3．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒(méi)有次品 D.至少一件次品4．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定5．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬考試，成績(jī)分別記為，，，…，，為研究該生成績(jī)的起伏變化程度，選用一下哪個(gè)數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；6．已知一個(gè)乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來(lái)高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是（）A. B.C. D.7．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.28．已知曲線(xiàn)，則“”是“C為雙曲線(xiàn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.10．已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.12．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)_____.14．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.15．函數(shù)，若，則的值等于_______16．已知雙曲線(xiàn)，（，）的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與圓相切，與雙曲線(xiàn)在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則直線(xiàn)的斜率是___________，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點(diǎn)在線(xiàn)段上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，連接（1）若為的中點(diǎn)，直線(xiàn)與平面交于點(diǎn)，確定點(diǎn)位置，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）若折成二面角大小為，是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)與平面所成的角為，若存在，確定出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x≤2，或x＞6，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶(hù)，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶(hù)中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率20．（12分）已知直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的方程為（1）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，求與圓相交所得的弦長(zhǎng)；（2）設(shè)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率，請(qǐng)?jiān)購(gòu)南旅鎯蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成下面的問(wèn)題：①橢圓C過(guò)點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上（只能從①②中選擇一個(gè)作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，M，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對(duì)于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無(wú)窮多個(gè)？(直接寫(xiě)出結(jié)論)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由曲線(xiàn)方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.2、C【解析】應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線(xiàn)距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C3、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒(méi)有次品“故選：C4、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號(hào)即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B5、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小估計(jì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過(guò)的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過(guò)的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過(guò)的路程為，所以經(jīng)過(guò)的總路程是.故答案為：C.7、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A8、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷可得選項(xiàng)【詳解】解：當(dāng)時(shí)，表示雙曲線(xiàn)，當(dāng)表示雙曲線(xiàn)時(shí)，則，所以“”是“C為雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件.故選A9、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.10、B【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.11、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A12、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線(xiàn)定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：14、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問(wèn)1詳解】已知?jiǎng)t的最小正周期為：則的最大值為：【小問(wèn)2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：15、【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，化簡(jiǎn)即可求出的值.【詳解】函數(shù).故答案為：.16、①.②.【解析】由題意，不妨設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，由可得，代入雙曲線(xiàn)方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，，由于代入進(jìn)入，可得，漸近線(xiàn)方程為故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）是的延長(zhǎng)線(xiàn)與延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，且（2）存在，使得直線(xiàn)與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過(guò)延長(zhǎng)、以及全等三角形確定點(diǎn)的位置并求得線(xiàn)段的長(zhǎng).（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷符合題意的點(diǎn)是否存在.【小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，由于，所以，所以.所以是的延長(zhǎng)線(xiàn)與延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)，且.【小問(wèn)2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于直線(xiàn)與平面所成的角為，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直線(xiàn)與平面所成的角為，且.18、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時(shí)對(duì)應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿(mǎn)足，∴2＜x＜4，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)應(yīng)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值、頻率的關(guān)系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）（2）或【解析】（1）、由題意可知直線(xiàn)的方程為，圓的圓心為，半徑為，求出圓心到直線(xiàn)的距離，根據(jù)勾股定理即可求出與圓相交所得的弦長(zhǎng)；（2）、設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋趫A上，將，坐標(biāo)代入圓方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)的方程【小問(wèn)1詳解】由題意：直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的方程為，圓的方程為圓的方程可化為：圓的圓心為，半徑為圓的圓心到直線(xiàn)：的距離為，與圓相交所得的弦長(zhǎng)為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，為的中點(diǎn)，又，均在圓上，或直線(xiàn)方程或21、（1）（2）證明見(jiàn)解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線(xiàn)MN的方程為，設(shè)，，，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線(xiàn)的方程，令，求出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問(wèn)1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設(shè)圓與圓相交于點(diǎn)Q.由題意知：.又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，∴.又因?yàn)?，∴，?所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題易知直線(xiàn)MN斜率存在且不為0，因?yàn)?，故設(shè)直線(xiàn)MN方程為，設(shè)，，，∴，∴，，因?yàn)辄c(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，所以直線(xiàn)方程為，令，∴.又，∴.所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以面積的最大值為.22、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2），；（3）有限個(gè).【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有