湖北省小池濱江高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

湖北省小池濱江高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．3．已知等差數(shù)列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-324．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．5．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題：①在拋物線上滿足條件的點僅有一個；②若是拋物線準線上一動點，則的最小值為；③無論過點的直線在什么位置，總有；④若點在拋物線準線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A． B．C． D．7．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．集合，，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．10．已知實數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．811．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．12．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知F為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），則△PMF周長的最小值是_____.14．若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則________.15．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.16．公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.20．（12分）已知為坐標(biāo)原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標(biāo)為，.（1）求動點的軌跡曲線的標(biāo)準方程及拋物線的標(biāo)準方程；（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.22．（10分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求邊上的高.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，需掌握復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.4、D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.5、C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標(biāo)；②：做關(guān)于準線的對稱點為，通過分析可知當(dāng)三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；③：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理，可知焦點坐標(biāo)的關(guān)系，進而可求，從而可判斷出的關(guān)系；④：計算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于①，設(shè)，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故①不正確；對于②，不妨設(shè)，則關(guān)于準線的對稱點為，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，故②正確；對于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設(shè)方程為：，設(shè)與拋物線的交點坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補，所以，故③正確.對于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.6、A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.7、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點共線?(為平面內(nèi)任一點,)8、A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.9、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．10、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.12、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當(dāng)，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

△PMF的周長最小，即求最小，過做拋物線準線的垂線，垂足為，轉(zhuǎn)化為求最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，F(xiàn)為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），拋物線C：x2＝8y的焦點為F（0，2），準線方程為y＝﹣2.過作準線的垂線，垂足為，則有，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以△PMF的周長最小值為55.故答案為：5.【點睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.14、【解析】

設(shè)，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設(shè)，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

依題意可得，再根據(jù)求模，求數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.16、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項和公比，再代入等比數(shù)列的通項公式，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，求出在上的最小值即可，利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最小值．【詳解】解：（1）或或解得或或無解綜上不等式的解集為．（2）時，，即所以只需在時恒成立即可令，由解析式得在上是增函數(shù)，∴當(dāng)時，即【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查不等式恒成立問題，解決絕對值不等式的問題，分類討論是常用方法．掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理算出，進而算出；（Ⅱ）由二倍角公式算出，代入兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）bsinB﹣asinA＝asinC，所以由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理得：，又，所以；（Ⅱ），.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，運用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值，考查了學(xué)生的運算求解能力.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20、（1）曲線的標(biāo)準方程為.拋物線的標(biāo)準方程為.（2）見解析【解析】

（1）由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判斷動點P的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標(biāo)準方程，根據(jù)平面向量數(shù)量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準方程；（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，再表示出點N和Q的坐標(biāo)，根據(jù)題意求出的值，即可判斷結(jié)果是否成立．【詳解】（1）由題知，，所以，因此動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，又知，，所以曲線的標(biāo)準方程為.又由題知，所以，所以，又因為點在拋物線上，所以，所以拋物線的標(biāo)準方程為.（2）設(shè)，，由題知，所以，即，所以，又因為，，所以，所以為定值，且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查拋物線的幾何性質(zhì)及點在曲線上的代換，也考查了推理與運算能力，是中檔題．21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時，的正負，進而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時，令，則；令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為，可知，，令，得.設(shè)，則.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，即.當(dāng)時，沒有實根，且，在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時，，所以有唯一實根，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，，即的取值范圍為.【點睛