高階譜-第2章-雙譜估計

PAGEPAGE8第2章雙譜估計2.1雙譜密度函數(shù)性質·三階累積量性質設是三階零均值平穩(wěn)過程，則(2.1)三階累積量具有如下對稱性(2.2)[第1章累積量性質（2）表明，階累積量具有種對稱形式。所以3階累積量有6種對稱形式]1°證明：∵設，即則原式2°證明：∵令，即則原式圖2.1三階累積量的對稱區(qū)·雙譜定義(2.3)存在條件·雙譜性質1°其中幅度，相位，雙譜通常是復數(shù)。2°是以為周期的雙周期函數(shù)3°具有如下對稱性(2.4)證明：1°設：，2°將雙譜的定義區(qū)域分成12個扇形區(qū)，如圖2.2所示。于是，由雙譜性質3知，只要知道三角區(qū)內的雙譜，就能夠完全描述所有的雙譜。在實際應用中，通常是計算該三角區(qū)的雙譜，然后使用對稱關系(2.4)求出其他扇形區(qū)內的雙譜。Pflug等指出，一實信號的三譜具有96個對稱去！圖2.2雙譜的對稱區(qū)2.2雙譜密度函數(shù)的估計設是零均值三階平穩(wěn)過程的一次實現(xiàn)，則的三階累積量估計為(2.5)其中：，上下限長度受采樣區(qū)間限制(2.6)此估計不是好估計，方差很大，是一個漸近無偏估計，不是一致估計。同基于相關函數(shù)的功率譜估計要使用窗函數(shù)一樣，為了得到更好的高階譜估計，也有必要使用維窗函數(shù)。二維窗函數(shù)的使用對于雙譜估計的頻率分辨率的提高起著關鍵的作用。若加矩形窗，容易漏泄?！ざS譜窗函數(shù)發(fā)生器是一有界非負函數(shù)，必須滿足以下條件：1°體積為12°能量有限或23°和具有相同對稱性（12個區(qū)間對稱）。時域窗（傅里葉反變換）(2.7)應與具有相同的對稱性（6個區(qū)間對稱）?！るp譜估計表達式（加窗平滑后的估計值）:頻域卷積(2.8)其中：值選擇，?定義：(2.9)(2.10)均方誤差：(2.11)偏差：(2.12)?1°2°或2?BrillingerandRosenblatt偏差公式若且為則偏差為(2.13)其中(2.14)?方差公式(2.15)其中：?均方誤差公式(2.16)2.3最佳窗設集合定義在（橢圓）域上。屬于類窗。?最佳定理設是任一個屬于類非負二維窗，且滿足(2.17)則（窗口能量最?。?2.18)所謂最佳，指達到最小，由前述與成正比，而最佳使最小，則最小。證明：設(2.19)上式積分等式左方和右方第1項為1，所以(2.20)把(2.19)式代入(2.17)式，得(2.21)(2.19)式兩邊平方，再取積分要證需證于是：而則?時域最佳窗(2.22)其中2.4乘積窗?乘積窗（由一維窗構造二維窗）(2.23)為一維延遲窗，屬于類窗。?有效指數(shù)?最小均方誤差簡化有效指數(shù) 越小，均方誤差越小，性能最好。DainicallTukey-HammingParzenBartlett-Priestly3.294.54121.970.50.360.170.841.651.632.041.65優(yōu)化1.031.431.47?截斷點選擇大好小好1°公式法：有效指數(shù)公式計算。2°經驗法：1）值小于抽樣點數(shù)的平方根。2）雙譜估計值一般小于功率譜估計值。例：高斯白噪聲過程，相互獨立且通過系統(tǒng)（非線性）產生時間序列（1）估計功率譜取用Parzen窗，圖2.3例題的功率譜曲線?功率譜不