2019高三數(shù)學(xué)文北師大版一輪課時分層訓(xùn)練38空間圖形的基本關(guān)系與公理

課時分層訓(xùn)練(三十八)空間圖形的基本關(guān)系與公理(對應(yīng)學(xué)生用書第254頁)A組基礎(chǔ)達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定3個平面．其中正確的序號是()A．① B．①④C．②③ D．③④A[顯然命題①正確．由三棱柱的三條平行棱不共面知，②錯．命題③中，兩個平面重合或相交，③錯．三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題④不正確．]2．(2018·秦皇島模擬)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若mα，nα，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行D[∵mα，nα，且A∈m，A∈α，∴n在平面α內(nèi)，m與平面α相交于點A，∴m和n異面或相交，一定不平行．]3．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定D[如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除選項A和C．若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定．]4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()【A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)B[連接DF，則AE∥DF，∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長為a，則D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).]5．(2018·泰安模擬)如圖7-3-9，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點圖7-3-9A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A1，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面D[連結(jié)A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝∴三點C1、M、O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，∴C1，M，O三點共線，∴選項A、B、C均正確，選項D錯誤．]二、填空題6.如圖7-3-10所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1圖7-3-10①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認為正確的結(jié)論序號都填上)【導(dǎo)學(xué)號：00090244】③④[由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.]7.(2017·佛山模擬)如圖7-3-11所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC 點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．圖7-3-1160°[取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]8．(2017·邵陽模擬)如圖7-3-12是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，圖7-3-12①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．②③④[如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故②③④正確．]三、解答題9.如圖7-3-13所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C 點．問：圖7-3-13(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：00090245】[解](1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN∥A1C1. 2分又因為A1A綊C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線. 5分(2)直線D1B和CC1是異面直線. 6分理由：因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，所以D1，B，C，C1∈α， 10分這與B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線. 12分10．如圖7-3-14所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：圖7-3-14(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3). 5分(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角). 8分在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4). 12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．下圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是() 【導(dǎo)學(xué)號：00090246】D[在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，所以P，Q，R，S共面；在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；D圖中PS與QR為異面直線，所以P，Q，R，S四點不共面．]2.如圖7-3-15，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且 AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為________．圖7-3-15eq\f(\r(3),6)[取DE的中點H，連接HF，GH. 由題設(shè)，HF綊eq\f(1,2)AD，∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).]3．已知三棱錐A-BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角．[解]如圖，取AC的中點P.連接PM，PN，又點M，N分別是BC，AD的中點， 則PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN為AB與CD所成的角(或其補角)．則∠MPN＝60°或∠M