923 平面向量的數(shù)量積 同步習題 高中數(shù)學新蘇教版必修第二冊2022年

9.2.3平面向量的數(shù)量積

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.下列命題正確的是（）

A單位向量都相等

B若五b=a-cKa工0?則方=c

C\a+b\=\a-b\f則4?方=0

D.若麗與瓦是單位向量，則匹.瓦=1

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查單位、共線、相等向量的概念，向量的模，向量的數(shù)量積，為基礎題.

由單位向量與向量相等的定義，判斷4是錯誤的：由零向量與任意向量方向相同，若石是零向量，則B錯誤；

由|互+方|=|五-&|，兩邊同時平方可推出△方=0,判斷。是正確的；由單位向量與數(shù)量積的定義，判斷

力是錯誤的.

【解答】

解：對于4,單位向量是模長為1的向量，它們的方向是任意的，，單位向量不一定相等，A錯誤：

對于B,???零向量與任意向量方向相同，都共線，若石是零向量，則五與口不一定共線，錯誤：

對于C,若|五+』|=—則胃2+2ab+b2='a-2a-K+b2?4a-b=0?即2?方=0,..C正確;

對于。，而與瓦是單位向量，且夾角為仇.,.五°?瓦=1x1xcos6=cosO<1,二。錯誤.

綜上，正確的命題是C.

故選C.

2.已知單位向量區(qū)另的夾角為60。，則在下列向量中，與了垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件，屬于基礎題.

由五力二|蒼ll'cos60°=1,逐一驗證選項即可.

【解答】

解：；R?日=|2||B|cos60°=1

???力選項：b(a+2b')=ba+2f=1+2=1

8選項:K-(2a+K)=2ba+b2=1+1=2

C選工烝b(a-2b>)=ba-2f=^-2=

。選項：b'(2a—b)=2ba—b=1-1=0

得山（2H-7）,

故選D.

3.加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動,

處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為

400M則該學生的體重（單位：kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為。=

10m/s2,75*1.732）

A.63

R69

C.75

D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了向量在物理中的應用問題，是基礎題.

由題意知|瓦|=|引=400（N）,夾角。=60。，計算至=一（耳+耳）的模長，得到體重.

【解答】

解：由題意，設胳膊的拉力為耳，E，兩只胳膊的夾角為仇

則I同=|引=400(N),夾角6=60°,

所以G+耳+至=5>

即刁=一(耳+用)；

2

所以G=(瓦+用)2

=4002+2X400X400xcos600+4002=3x4002；

即|9|=400VJ(N),

則該學生的體重(單位：W)約為4075=40X1.732?69(kg),

故選：B.

4.已知向量與與方的夾角為點且|磯=1,|2匯+方|=夕，則同等于（）

A遮B.V2C.1D.巫

2

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積、向量的模，屬于基礎題.

由|蒼|=1,|2五+b|=47得出4『+4a-K+b=7?即|b|+2同—3=0,進而即可求出結果.

【解答】

解：因為向量左與方的夾角為?|五|=1，\2a+b\=V7，

所以（2元+n2=7,

即4Z^+4W.b+5=7,

所以4+4X1.|引x；+『=7,即同2+2同一3=0，

解得囚=一3（舍去）或|同=1,

故選C.

5.如圖，在中，ADLAB,初=七商+"前（跖》￡R）,\AD\=2＞且而?而=12,則2%+y=

（）

A1B.3C.3D.-74

【答案】c

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量基本定理及向量的線性運算，平面向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.

利用向量線性運算求出而=（%+1）而+丫就，求出y=a又B,D,。共線，所以x+l+y=l,即可

求出答案.

【解答】

解：因為瓦5=%ZS+y3?,

所以而一而二%而+、蕉

則同=(%+1)而+yJT，

ADAD=ADl)AB+yAC]

=(x-1)AD~AB+y~ADACy

因為|而|=2，且而?荷=12,ADLAB,

所以4=12y,所以y二；,

又B,D,C共線，

則％4-1+y=1,x=

所以2x+y=-j.

故選C.

6.設非零向量優(yōu)方滿足im+IhR—Tl，則（）

AalbB.同=13IC.a//bD.|a|>\b\

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查兩個向量的關系的判斷，屬于基礎題.

由已知得a+方）2=0—石￥，從而乙另=0,由此得到瓦,隊

【解答】

解：??,非零向量a,了滿足?五+,=|五一辦

(a+K)2=(a-?)2,

即五24-fe2+2a*K=a2+K2-2a-K?

整理得44?方=0,

解得五?z>=0?

???alb-

故選人

7.如圖所示，△48C是頂角為120。的等腰三角形，且48=1,則而?萌=()

A

A--fB.當C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積的應用，向量在幾何中的應用，是基本知識的考查.

利用已知條件求出向量的長度以及向量的夾角，然后求解向量的數(shù)量積即可.

【解答】

解：△ABC是頂角為120。的等腰三角形，且48=1,則4c=1,

則N4BC=30°,BC=V5，

則通\AB\\fi?|cos(180°-^ABC'\

=lxV3x(-f)=-1.

故選：C.

8.在△4BC中，|同+前|二|而一而43=3,AC=4,則就在g?方向上的投影為（）

A.4B.3C.-4D.5

【答案】C

【解析】

【分

本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題，也考查了數(shù)形結合思想的應用問

題，是基礎題目.

根據(jù)平面向量的數(shù)量積，化簡|荏+於|=|而一衣|，得由四_L配；再結合圖形求

出成在C5方向上的投影即可.

【解答】

解：如圖所示，△48C中，??,|而+而|=|南一而

.-.AB2+2ASA^+A^2=AS2-2ASAV+AV2^

AS?AC—o?

而J_AC，^-BAC=90。，

4

又48=3,AC=4,則BC=5,cos^ACB=

.?.就在不方向上的投影是

|前|*cos<CA>=|FC|,COS(TT—乙ACB)

=—|FC|?cos乙4cB

=—4：

故選：C.

二、多項選擇題（本大題共4小題，共2。.0分）

9.關于平面向量落ac,下列說法不正確的是

A.若a〃瓦b//c,則五〃E

B.(ab)-c=a-(b-c)

C.若五.0+23)=3,且同=|同=1,則五〃3

D.若五?方=了?己則:

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的基本概念、相等向量、向量共線、數(shù)量積的運算等知識，是基礎題.

根據(jù)向量平行的條件即可判斷選項A錯誤，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，向量相等的概念，判斷B,C,D.

【解答】

解：當方=6時，4不成立，

因為@范)々表示一個與3共線的向量，而五?(??？)表示一個與五共線的向量，而3與五不一定共線，故選項8

錯誤，

a?(a+2b)=a2+2a-b=l+2cos(a,b)=3,cos(a,b)=1,

即伍后=0,即五〃故選項。正確，

當方=U時，。不成立

故選ABD.

10.關于菱形A8CO的說法中，正確的是()

A.AB//CDB.(AB+BC)1(BC+CD)

C.(AB-AD)-(BA-BC)=0D.ABAD=BCCD

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的幾何運用，考查平面向量垂直和平行的性質.運用平面向量的三角形法則以及向量平行

垂直的性質，對選項分別分析，做出判斷.

【解答】

解：因為四邊形4BCO為菱形，

所以4B〃CD,所以而〃而，A正確；

因為對角線4c與3?；ハ啻怪?，且都+就=而，+CD='BD

所以配J.前，即（荏+定）_L（I?+而），8正確；

因為而一而=方5，BA-BC=~CA>又因為方豆_L的，即說曰=0,

所以（而一而）（瓦^一瓦:）=0，C正確；

易知〈而，AD>=180°-<BC，訪〉且近|二|同|

=\BC\=\CD\

所以而?而=一命?擊，。錯誤.

故選ABC.

11.已知向量區(qū)石滿足|五|=1.|石|=2.|不+石|=0,則下列結論中正確均是（）

A.ab=-2B.alfa+b）

C.|a-d|=V7D.6與方的夾角為？

【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積及應用，求向量的模與夾角，判斷垂直，屬于基礎題.

首先將I五+'=75平方得日了=-1,再利用平面向量數(shù)量積的變形公式，逐項判斷即可.

【解答】

解：由|五+b|=V5得

\a+b\2=（a+K）2

.2—t—42—

=a+2ab+b=l+2a?b+4=3，

故/b=—It

故A錯誤；

B.a-(a+K)=a2+ad=0,

故a1（5+1）,

故8正確；

C.\a-b\2=（a—b）2

2

-2ab+b=l-2a-S+4=7>

故14一方1=6故c正確；

D8S標㈤=篇=言7,

故五與方的夾角為筌，故。錯誤；

V

故選BC.

12.點O在團ABC所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.若現(xiàn)+加+/=d.則點O為團力修?的重心

B.若鼐,（前-湍1）=麗?（潦T劇）=0,則點。為圖4BC的雍心

C.若（云+而）?麗=（而+枇）?灰=0,則點O為團A8C的外心

D.若鼐?礪=而衣=而嬴，則點。為團ABC的內心

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查了向量的幾何應用，向量的數(shù)量積，是中檔題.

根據(jù)題意，逐項判斷即可.

【解答】

解：對于4:由于函=一（而+被）=一2而，其中。為8C的中點，可知。為BC邊上中線的三等分點（靠

近線段BC）,所以。為△ABC的重心，故A正確.

對于B,向量筑，盤分別表示在AC和AB上取單位向量石和加，石一市是向量前;，當力?（雋-

j==j）=0,即041B'C時，則點。在的平分線上，

同理由麗?（讖?一高）=0，知點。在乙48c的平分線上，故。為△A8C的內心，故錯誤;

對于C,函+而是以M，前為邊的平行四邊形的一條對角線，而南是該四邊形的另一條對角線，AB-

（刃+萌）=0表示這個平行四邊形是菱形，即|函|=|而|，

同理有|前|=|能所以O為4ABe的外心.故正確；

對于D,由瓦？?麗=兩?瓦'=被罰，得（耐-5?）廂=0,即5??萌=0,所以HC1OB.同理可得

ABLOC,所以。為2L48C的垂心，故錯誤；

故選人C.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知|菊=1,=2,心而勺夾角為60。，3是與五同向的單位向量，貝則+方在五上的投影向量為

【答案】2e

【解析】

【分析】

本題考查了向量數(shù)量積的運算及計算公式，投影的計算公式，以及投影向量的定義，考查了計算能力，屬

于基礎題.

根據(jù)條件可求出0+勵?窗進而根據(jù)投影的計算公式即可得出投影向量.

【解答】

解：由題意，得0+S）W=W+W/=1+1X2X2=2.

設向量五+9號R的夾角為6，

則向量五+方在往上的投影向量為怔+E|cose1=色薩1=2落

故答案為2充

14.若久，孩是夾角為60。的兩個單位向量，向量e=2匹+可，則|初=.

【答窠】V7

【解析】

【分析】

本題考查單位向量的概念，向量的數(shù)量積運算及計算公式，向量模的求法.

根據(jù)條件即可求出百=：，52=瓦2=1，從而可以求出五2=7,進而得四五|=V7.

【解答】

解：瓦,孩=：，百2=芭2=1，

??.a2=(2否+五)2

2__.2

=4大+4司?瓦+弓=44-2+1=7,

.0.|a|=>/7.

故答窠為a.

15.已知尸是邊長為2的正△ABC邊8c上的動點，則而?(都+前)=

【答案】6

【解析】

【分析】

本題考查向量的加減法運算及向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題目.

設四=心芯=方,喬二亡就，再利用向量的數(shù)量積計算即可.

【解答】

解：設近=五，前=方,喬=￡就，

則就=而一而=方一方，

\a\=\b\=2,a-b=|a||b|cos60°=2,

AP=AB+BP=(l-t)a+tb,

因此"-(Z5+BC)=[(l-t)a+tb]-(a+b)

2

=(l-t)|a|2+[(l-t)+t]ab+t\b\

=(1—t)|a|2+a-b+t\b\

=4(l-t)+2+4t=6,

故答案為6.

16.已知點M是邊長為2的正團4BC內一點，且初=2存+〃而，若；1+〃=:則而?祝的最小值

為?

【答案】;

【解析】

【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積最值得求法，首先根據(jù)已知建立坐標系，設M(%y),然后表示出各個點的坐標，

根據(jù)初=4而+〃宿若2+可以得出、=一房一爭xG[-14],然后表示出麗?就，利用二

次函數(shù)求出最值，屬于中檔題.

【解答】

解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標系，

因為ABC為邊長為2的等邊三角形

所以4(-1,0),F(l,0)C(0,V3),設M(%,y)

則初=(%+l,y),荏=(2,0),/=(1,>/3)

又因為祠=4而+〃而，若4+

所以祠=4荏+(；-2)而，即(％+l,y)=A(2,0)+(1-A)(1,V3)

[x+1=A+1萬

所以｛L八3消去；(可得y=—Q%一乎…W[T1]，

1，=礎-a)3

則Mg-MC=x2—x+y2—y/3y=4x2+4x+；

=4(^+I)+€[-1,1]，

所以當％=時，而?就有最小值土

故答案*.

四、解答題(木大題共6小題，共72.0分)

17.己知44243力4力5。是一個正六邊形，將下列向量的數(shù)量積按從小到大的順序排列：不瓦?五不，否瓦?

4]42，4145，'i"2'"1'G，

【答案】解：設邊長為磯。>0).

4聞?一—=|――|-14一|cos300=a?V3a?—=-a2;

4聞?4A；=|AjA^I-144；|cos600=a-2a-^=a2;

4；:；-4H=|力]A?I,I-A：|cos90。=0;

不可.研二|五石|.|研|cosl2(r=Qa.(-；)=d

由上述各式可知否瓦?<無石?彳:彳<彳為-彳兀<而豆?彳石.

【解析】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題，依據(jù)題意逐項計算數(shù)量積.

設出邊長a(a>0),找到兩個向量的夾角是解題關鍵，由數(shù)量積的定義可解得.

18.已知△A3C是邊長為3的等邊三角形，旗=24瓦彳，/=aI?GV；lV1),過點尸作DFJ.BC,交4c

邊于點。，交BA的延長線于點E.

(1)當;1=;時，設瓦(=乙就=另，月向量落3表示身；

(2)當a為何值時，荏?定取得最大值？

【答案】解：(1)由題意可知：晶=孤且面|=3X：2，|的=4，故前=翔=冢,

EF=BF-BE=--4aT+-2bT

33

(2)由題意，I前1=34|命1=3一3入，|旗|=6ZI應I=64-3，

——.279

AEFC=(6A-3)(3-31)cos60。=-9A24--X--

27

當“=一看7=；e1)時'4E-FC有最大值

【解析】本題考查平面向量基本定理，向量共線定理，向量的數(shù)量積，二次函數(shù)最值等知識,

(l)Rzl=a,BC=b/通過向量的線性運算,用向量之,力表示前：

(2)用幾表示應與京的模，然后求解數(shù)量積，利用二次函數(shù)的最值求解即可.

19.已知|五|二4,|1|=8,；與;的夾角為第

⑴求|五+例;

(2)求上為何值時，e+2b)_L(%M—b).

【答案】解：(1)|蒼+司=]@+力2

=J片+,+2五?.

—J16l64l2x4x8x(—")=>/48—4y/3.

(2)由題意0+2方).(k五一方)=0,

即攵/-2片+(2/c-l)a-K=0,

即16k+(2k-1)(-16)-128=0,

所以a=-7.

【解析】本題考查了數(shù)量積定義及其運算性質、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力,

屬于基礎題.

(1)利用數(shù)量積定義及其運算性質即可得出；

(2)由于0+2方)，(上蒼一方)，(a+2by(ka-b)=0>展開即可得出.

20.已知同=1,|K|=V2.

(1)若向量a與向量下的夾角為135。，求|五+方|及加在&上的投影向量;

(2)若向量己一方與向量五垂直，求向量五與方的夾角.

【答案】解：(1)由已知得|五+司2=@+&2=f+2五.1+片

=l+2xlxV2x(-^)+2=1,

|a4-Z?|=1；

了在萬上的投影向量為B|cos135°a=V2x(-^)a=-a.

(2)由已知得0一萬).五=o，即f一五.]=0,「.4.方=1.

_一a-b1V2

8sMM=而同=』二了，

-(a,b)e[0,n],

?響量五與1的夾角狀.

【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積及夾角的計算，投影向量的求解，屬于中檔題.

(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求出伺+同，再根據(jù)投影向量公式求出方在五上的投影向量;

(2)根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，即可得到方7=1,再根據(jù)夾角公式計算可得.

21.如圖，在平行四邊形A8CO中，APJ-0D,垂足為P.

(1)若KAN3=18，求人尸的長；

(2)設|的|=6，|曲|=8，N^4C=j,求/3行正，求1的值.

困需=2商=18

【答案】解：(1)N,衣=筋|,阿|coeNP4C=|勵卜

解得強|=3.

⑵;今=?豺日前=?加+癡⑦，且8,P,。三點共線,

-x+2y=1①，

又?.?屣|=6,屈向，ZBACg

二放於=網中阿coeZB3=