函數(shù)的極值課件 高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

復(fù)習(xí)引入1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，f'(x)>0→f(x)

在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增f'(x)<0→f(x)

在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減f(x)

在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增

→f'(x)≥0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減

→f'(x)≤0探究(圖一)

(圖二)一般地，設(shè)函數(shù)y=fx)在x?及其附近有定義，如果fx?)的值比

x?附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說Ax?)是函數(shù)y=fx)的一個(gè)極大

值；并把x?

稱為函數(shù)fx)的一個(gè)極大值點(diǎn).問題(1)函數(shù))=H)在點(diǎn)ac的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系?(3)在點(diǎn)a,c附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律?對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)fx),若x?滿足f'(x?)=0,

在

x?附近的左側(cè)f'(x)

>0

,

右

側(cè)

f(x)<0,那么x?是函數(shù)fx)

的一個(gè)極大值點(diǎn)，fx?)

是函數(shù)fx)

的一個(gè)極大值；問題：(2)函數(shù)y=fx)

在點(diǎn)a,c的導(dǎo)數(shù)值是多少?↑yf(x,)=0f(x)0

f'(x)<0a

Xo

b(圖三)0(圖一)x問題：

(圖一)(

4

)

函

數(shù)y=fx)

在點(diǎn)b,d的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系?(

5

)

函

數(shù)y=f(x)

在點(diǎn)b,d的導(dǎo)數(shù)值是多少?(

6

)

在

點(diǎn)b,c

附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律?函數(shù)的極值：概念生成一般地，設(shè)函數(shù)y=fx)

在x?及其附近有定義，如果fx?)

的值比x?附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，

我們說x?是函數(shù)fx)

的一個(gè)極小值點(diǎn)，fx?)是函數(shù)y=fx)的一個(gè)極小值.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),

若

x?

滿足f'(x?)=0,

在

x?附近的左側(cè)f(x)<0,

右

側(cè)f'(x)>0,

那

么x?

是函數(shù)fx)

的極小值點(diǎn)，fx?

)是函數(shù)fx)

的極極《值值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值

.在定義中，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。(1

)極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)是最大值或最小值；(2)

一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)；(3)函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系；(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值.2.對(duì)極值概念的再理解3.y=f

(x)的極值點(diǎn)x。與f(x?)=0

的關(guān)系一般來說，

“f'(x?)=0”是“函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x?處取得極值”的必要不充分條件

.若可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)

在點(diǎn)x=x?處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x=x?處取得極值，則f(x?)=0;反

之，若f'(x?)=0,

則x?

不一定是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x?

一定是導(dǎo)函數(shù)f(x)的變號(hào)零點(diǎn).概念辨析

《判斷(正確的打“

√

”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)極大值就是函數(shù)的最大值；(×)(2)函數(shù)的極大值比極小值大；(×)(

3)一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)；(√)(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；(

)(5)若函數(shù)Ax)在(a,b)

內(nèi)有極值，則Ax)在(a,b)

內(nèi)一定不單調(diào)

.

((

6)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)

·

×)提示：不一定，如f(x)=x3,f'(0)=0,但f'(x)=3x2≥0,因此0不是f(x)=x3

的極值點(diǎn)

.

典型例題一、函數(shù)圖像與極值的關(guān)系例

1(

1

)(多選)如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，則

(BC)A.

在x=—2時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極值B.

在

x=1

時(shí)，函數(shù)y=f(x)取得極值C.y=f(x)的圖象在

x=0

處切線的斜率小于零

D,函

數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(一2,2)上單調(diào)遞增例

1.

(2)(多選)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象，則A.

在x=-2

時(shí)，函數(shù)

y=f(x)取得極值B.

在x=1

時(shí)，函數(shù)

y=f(x)取得極值C.y=f(x)

的圖象在x=0

處切線的斜率小于零D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一2,2)上單調(diào)遞增1.函數(shù)y

=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)

的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是(

)

CA.在(-2,1)上f(x)是增函數(shù)B.在(1,3)上f(x)是減函數(shù)C.當(dāng)x=2

時(shí)

，f(x)取得極大值D.當(dāng)x=4

時(shí)

，f(x)取得極大值2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a,b)

上的極大值點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為(B).A.1

B.2

C.3

D.4[解析]由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，f'(x)在(a,b)上

與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故0不是

函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè).、

不含參數(shù)的函數(shù)求極值例2

.求函數(shù)

4x+4

的極值.X(-0,-2)-2(-2,2)2(2,+十00十極大極小值二、不含參數(shù)的函數(shù)求極值例2.求函數(shù)

的極值.解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2)令f'(x)=0,

解得：x?=-2,x?=2當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x),的變化情況如下表所以，當(dāng)x=-2

時(shí)有極大值總結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)fx)的極值的步驟如下：(1).求函數(shù)定義域，導(dǎo)數(shù)f'(x);(2).求方程f'(x)=

0的根；(3).討論f'(x)在這些根左右的符號(hào)，常常列三行多列的表格進(jìn)行說明；X(-0,-3)-3(-3,3)1-

3(3,+00)十00十119-9新知運(yùn)用例

1求函數(shù)y=3x3-x+1

的極值.[解析]y

=9x2-1,

令

y'=0,

解得當(dāng)x變化時(shí)，y

'和y的變化情況如表所示：1心時(shí)

，y

有極大值，極大值為時(shí)y有極小值，極小值為二、不含參數(shù)的函數(shù)求極值因此當(dāng)7●

f●四

、不含參數(shù)的函數(shù)求極值變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)=x2e-×;[解析](1)函數(shù)f(X)

的定義域?yàn)镽,f(x)=2xe-×+x2·e-×.(-x)'=2xe-×-x2e-×=x(2-x)e-×

.

令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0或x=2.當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)

的變化情況如表所示：X(-o,0)0(0,2)2(2,+0)f'(x)一0十0f(x)0入4e-2因時(shí)

，f(x)取得極小值，且極小值為f(0)=0;當(dāng)x=2時(shí)，f(x)

取得極大值，且極大值為

心X(0,e)e(e,+0)f'(x)十0f(x)1e(

的定義域?yàn)?0,+00),且令f'(x)=0,解得x=e.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如表所示：故當(dāng)-

時(shí)，函數(shù)(x)取得極大值，且極大值為●①當(dāng)a

≤0時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+0)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；②當(dāng)a>0

時(shí)，令f'(x)=0,解得x=a,

又當(dāng)x∈(0,a)

時(shí)

，f'(x)<0,當(dāng)x∈(a,+0)時(shí)，f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在x=a

處取得極小值，且極小值為f(a)=a-aln

a,無極大值綜上所述，當(dāng)a≤0

時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0

時(shí)，函數(shù)f(x)在x=a

處取得極

小值a-alna,

無極大值.《3求含參函數(shù)的極值例2

已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R)

,求函數(shù)f(x)的極值.方法總結(jié)求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時(shí)，有時(shí)需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對(duì)f'(x)的零點(diǎn)有影響，若有影響，則需要分類討論

二

是看f(

x)在其零點(diǎn)附近的符號(hào)的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論.已知函數(shù)f(x)=Inx-ax+a.(

1

)

若a=1,求函數(shù)f(x)的極值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.[解析](1

)當(dāng)a=1

時(shí)，f(x)=Inx-x+1(x>0),則令f(x)>0,

解得0<x<1;令f'(x)<0,

解得x>1.所以f(x)

在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+0)上單調(diào)遞減，故f(x)

在x=1處取得極大值，極大值為f(1)=0,無極小值.《3求含參函數(shù)的極值變式訓(xùn)練●處取(2)因?yàn)?X)=1n6-ax+a(x>0),所當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，無極值.當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)>0,解得

;令f'(x)<0,

解得因此，f(x)

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)在

得極大值，極大值為,無極小值.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)

，f(x)無極值；當(dāng)a>0

時(shí)

，f(x)有極大值，極大值為a-Ina-1,無極小值.事探究4函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例

3(20

23·云南昆明五華區(qū)質(zhì)檢)已知曲線x=0

處切線的斜率為-2.(1

)

求a的值及f(x)的極小值；(2)討論方程f(x)=m(m∈R)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).[解析](1)f(x)=x2+x-a,

因?yàn)樵趚=0處切線的斜率為-2

,所以f(0

)=-a

=-2,

解得a=2,所以f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1).

令f'(x)=0,解得x=-2或x=1.當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如表所示.X(一0,-2)-2(-2,1)1(1,+0)f'(x)十00十f(x)入16故f(×的極小值為●綜上所述

時(shí)，方程f(x)=m

有1個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程f(x)=m

有2個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程f(x)有3個(gè)實(shí)數(shù)解.(2)由(1)知，f(x)在(-00,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上

單調(diào)遞增，且當(dāng)(x→+0)時(shí)，(f(x)→+0);當(dāng)(x→-)

時(shí)

，(f(x)→-)方法總結(jié)(

1)研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)=g(x)的根就

是函數(shù)f(x)與

g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(

2)事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,

當(dāng)

a=0,b=-3時(shí)，討論方程f(x)=m

的根的個(gè)數(shù)[解析]因

為f(x)=x3+ax2+bx+a2,

所以f'(x)=3x2+2ax+b,

當(dāng)a=0,b=-3

時(shí)，f'(x)=3x2-3,f(x)=x3-3x.

令f'(x)=0,

解得x=-1

或x=1,所以當(dāng)x

∈(-00,-1)U(1,+0)時(shí)

，f(x)>0,f(x)在(-00,-1),(1,+0)上單調(diào)遞

增；當(dāng)

x∈(-1,1)時(shí)，f(x)<0,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.故f(x)的極大值為f(一1)=-1+3=2

,f(x)的極小值為f(1)=1-3=-2.故當(dāng)m=-2或m=2時(shí)

，f(x)=m有兩個(gè)根；當(dāng)m>2

或m<-2時(shí)，f(x)=m有一個(gè)根；當(dāng)m∈(-2,2)時(shí)，f(x)=m有三個(gè)根1.函數(shù)的極值點(diǎn)、極值；

2.如何利用導(dǎo)數(shù)求極值；(1)求函數(shù)定義域，導(dǎo)數(shù)f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根；(3)列表討論f'(x)在這些根左右的符號(hào)；(4)寫結(jié)論

.

3.已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的值或范圍.yf'(x?)=0f'(x)>0課堂小結(jié)yf'(x

<0f'(x,)=0

f(x)

>0a

Xo

ba

Xof'(x)<0b

xxX(-0,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,+0)0十不確定十0極小值不取極值極大值變式T設(shè)函數(shù)f(x)在R

上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且函數(shù)

y

=(

x-1f(x)的圖象如