2025屆福建省閩侯第四中學高二上數學期末聯考模擬試題含解析

2025屆福建省閩侯第四中學高二上數學期末聯考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．正三棱柱各棱長均為為棱的中點，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.13．箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，設事件=“至少有一件次品”，則的對立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品4．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.5．已知實數x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．（5分）已知集合A={x|?2<x<4}，集合B={x|(x?6)(x+1)<0}，則A∩B=A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}C.{x|?2<x<?1} D.{x|?1<x<4}8．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸的概率為80%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%9．設是虛數單位，則復數對應的點在平面內位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.11．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數，則（）A. B.C. D.12．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人有樓房一棟，室內面積共計，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費150元；裝修大房間每間需要3萬元，裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費的最大值為___________元.14．若直線與直線互相垂直，則___________.15．已知直線：和：，且，則實數__________，兩直線與之間的距離為__________16．秦九韶出生于普州（今資陽市安岳縣），是我國南宋時期偉大的數學家，他創(chuàng)立的秦九韶算法歷來為人稱道，其本質是將一個次多項式寫成個一次式相組合的形式，如可將寫成，由此可得__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）18．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現為調查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數（中位數結果保留一位小數）；（2）現用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率19．（12分）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.20．（12分）數列{}的首項為，且（1）證明數列為等比數列，并求數列{}的通項公式；（2）若，求數列{}的前n項和21．（12分）已知：，有，：方程表示經過第二、三象限的拋物線，.（1）若是真命題，求實數的取值范圍；（2）若“”是假命題，“”是真命題，求實數的取值范圍.22．（10分）已知橢圓過點，且離心率（1）求橢圓的方程；（2）設點為橢圓的左焦點，點，過點作的垂線交橢圓于點，，連接與交于點①若，求；②求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.2、C【解析】建立空間直角坐標系，利用點面距公式求得正確答案.【詳解】設分別是的中點，根據正三棱柱的性質可知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，.設平面的法向量為，則，故可設，所以點到平面的距離為.故選：C3、C【解析】利用對立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，可能出現：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據對立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對立事件為：“兩件正品”，即”沒有次品“故選：C4、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.5、B【解析】實數，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是故選：B【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.6、B【解析】先判定兩圓的位置關系為相離的關系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.7、D【解析】由(x?6)(x+1)<0，得?1<x<6，從而有B={x|?1<x<6}，所以A∩B={x|?1<x<4}，故選D8、A【解析】根據甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.9、A【解析】計算出復數即可得出結果.【詳解】由于，對應的點的坐標為，在第一象限，故選：A.10、B【解析】根據雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.11、B【解析】根據“拐點”的概念可判斷函數的對稱中心，進而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數關于點對稱，，，故選：B.12、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3600【解析】先設分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的整數點時，從而得到值即可【詳解】解：設裝修大房間間，小房間間，收益為萬元，則，目標函數，由，解得畫出可行域，得到目標函數過點時，有最大值，故應隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360014、4【解析】由直線垂直的性質求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：15、①.-4；②.2【解析】根據兩直線平行斜率相等求解參數即可；運用兩平行線間的距離公式計算兩直線之間的距離可得出答案.【詳解】解：直線和，，，解得；∴兩直線與間的距離是：.故答案為：；2.16、【解析】利用代入法進行求解即可.【詳解】故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問1詳解】解：因為，所以，解得，所以不等式的解集是；【小問2詳解】因為，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.18、（1）；這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數為，利用頻率分布直方圖中位數定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數，從而列出所有樣本點，再根據題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率19、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據給定條件設出的方程，與橢圓C的方程聯立，求出直線PA的方程并求出點M的坐標，求出點N的坐標，再利用斜率推理作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率，而，即，直線的斜率，直線的方程：，則點，直線的斜率，直線的斜率，，而，即，所以三點共線.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】(1)利用給定的遞推公式變形，再利用等比數列定義直接判斷并求出通項得解.(2)由(1)的結論求出，再利用裂項相消法計算作答.【小問1詳解】數列{}中，，則，由得：，所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，則有，即，所以數列{}的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，，則，所以數列{}的前n項和.21、（1）（2）【解析】（1）將問題轉化為不等式對應的方程無解，進而根據根的判別式小于0，計算即可；（2）根據且、或命題的真假判斷命題p、q的真假，列出對應的不等式組，解之即可.【小問1詳解】由條件知，恒成立，只需的.解得.【小問2詳解】若為真命題，則，解得.若“”是假命題，“”是真命題，所以和一真一假若真假，則，解得.若假真，則，解得.綜上，實數的取值范圍是.22、（1）（2）①,②【解析】（1）由題意