廣東省三校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

廣東省三校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過橢圓右焦點(diǎn)作x軸的垂線，并交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓與有2個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若數(shù)列{an}滿足……，則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）3．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）.A. B.C. D.5．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.6．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.7．已知兩個(gè)向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.88．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列9．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A. B.C. D.10．若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.411．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-1012．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，則的周長取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.14．已知.若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15．某商場對華為手機(jī)近28天的日銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時(shí)間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數(shù)據(jù)___________.16．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線垂直于直線.（1）求（2）求的單調(diào)區(qū)間20．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍22．（10分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A2、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí),兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí),所以，則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡可得解不等式可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A.3、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.4、A【解析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，做出關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)，利用連點(diǎn)之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，到準(zhǔn)線的距離為2，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D6、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，解?故選：B8、D【解析】由，化簡得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.9、C【解析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當(dāng)，即時(shí)，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，解之得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】求出，點(diǎn)A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點(diǎn)到平面的距離：故選：B.11、C【解析】根據(jù)向量共線可得滿足的關(guān)系，從而可求它們的值，據(jù)此可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故存在常?shù)，使得，所以，故，所以，故選：C.12、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因?yàn)椋?，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問題能力，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作點(diǎn)分別關(guān)于直線和的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性即可求出三角形周長的最小值，利用三點(diǎn)共線求出的坐標(biāo).【詳解】如圖所示：定點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)與直線和的交點(diǎn)分別為時(shí)，此時(shí)的周長取最小值，且最小值為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，即點(diǎn).故答案為：.14、【解析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?故答案為：15、1【解析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：116、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關(guān)系為相交三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出18、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問1詳解】記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.19、（1）；（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增【解析】（1）由題意求導(dǎo)可得，代入可得（1），從而求，進(jìn)而求切線方程；（2）的定義域?yàn)?，，從而求單調(diào)性【詳解】解：（1）因?yàn)樵谔幥芯€垂直于，所以（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.21、（1），（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為令，恒成立，討論二次函數(shù)系數(shù)，結(jié)合根的分布.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，則所以當(dāng)時(shí)所以（2）因?yàn)闀r(shí)，在上恒成立等價(jià)于即在上恒成立令，則①當(dāng)時(shí)，不恒成立，故舍去②當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)對稱軸若即或時(shí)，恒成立因?yàn)?，所以若即時(shí)，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解