天津市靜海區(qū)獨流中學(xué)四校聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

天津市靜海區(qū)獨流中學(xué)四校聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的點，直線交雙曲線于另一個點（為坐標原點），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．若是函數(shù)的極值點，則函數(shù)（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值3．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或4．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或5．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.6．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點，BE，DH的交點為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.7．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.8．若圓與圓相外切，則的值為（）A. B.C.1 D.9．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.10．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.11．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.12．若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值為______.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______15．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________16．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項和.18．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）已知橢圓的焦點為，且該橢圓過點（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求的值20．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設(shè)為圓上的點，求的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點為，且過點，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由給定條件寫出點A，F(xiàn)坐標，設(shè)出點B的坐標，求出線段FC的中點坐標，由三點共線列式計算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點，因直線平分線段，即點D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A2、A【解析】對求導(dǎo)，根據(jù)極值點求參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A3、C【解析】計算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.4、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以為上的增函數(shù)又因為，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.5、B【解析】運用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B6、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點，，，故選：D7、C【解析】先令函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當；當，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C8、D【解析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因為兩圓相外切，所以，解得，故選：D9、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).10、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B11、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒12、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】利用“1”的妙用，運用基本不等式即可求解.【詳解】∵，即，∴又∵，，∴，當且僅當且，即，時，等號成立，則的最小值為4.故答案為：.14、77【解析】依題意利用等差中項求得，進而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標準方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）16、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項公式.當①②時，設(shè)數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選②③時，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫出的通項公式，可得數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選①③時，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因為，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時，設(shè)數(shù)列公差為，因為，所以，因為，所以時，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時，設(shè)數(shù)列公差為，因為，所以，即，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時，設(shè)數(shù)列公差為，因為，所以時，，所以.又因為，，成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而無解，所以等差數(shù)列不存在，故不合題意.【點睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力與方程思想，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別表示出B、D、E、F點的坐標，然后通過計算向量數(shù)量積來進行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標系，分別表示出對應(yīng)點的坐標，然后計算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，，分別為，，的中點，則，，證明：因為，，所以，所以【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為19、（1）（2）【解析】（1）利用兩點間距離公式求得P到橢圓的左右焦點的距離，然后根據(jù)橢圓的定義得到a的值，結(jié)合c的值，利用a,b,c的平方關(guān)系求得的值，再結(jié)合焦點位置，寫出橢圓的標準方程（2）利用向量的數(shù)量積，求得點滿足的條件，再結(jié)合橢圓的方程，解得的值【小問1詳解】解：設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，因為所以，即，又因為c=2，所以，又因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，所以該橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：因為，所以，即，又，所以，即.20、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.22、（1）（2）為定值，該定值為2【解析】（1）先根據(jù)焦點形式設(shè)出橢圓方程和焦距