2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章計數(shù)原理4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課件北師大版選擇性必修第一冊

4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)第五章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思知識點撥一、楊輝三角(a+b)n展開式的二項式系數(shù)在當n取正整數(shù)時可以表示成如下形式:上面的二項式系數(shù)表稱為楊輝三角.名師點析從上面的表示形式可以直觀地看出:在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等;在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.微練習(xí)如圖是一個類似楊輝三角的遞推式,則第n行的首尾兩個數(shù)均為

.

答案

2n-1解析

由于每行第1個數(shù)1,3,5,7,9…成等差數(shù)列,由等差數(shù)列的知識可知,an=2n-1.二、二項式系數(shù)的性質(zhì)

3.各二項式系數(shù)的和

名師點析求二項式系數(shù)的最大最小值時,一定要搞清楚n是奇數(shù)還是偶數(shù).微練習(xí)1在(a+b)n的展開式中,第2項與第6項的二項式系數(shù)相等,則n=(

)

答案

A微練習(xí)2在(1+x)2n+1的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是(

)A.第n項和第n+1項B.第n-1項和第n項C.第n+1項和第n+2項D.第n+2項和第n+3項答案

C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一與楊輝三角有關(guān)的問題例1如圖,在“楊輝三角”中,斜線AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,記其前n項和為Sn,求S19的值.反思感悟

解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路

變式訓(xùn)練1如圖,在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中,第

行中從左至右第14個與第15個數(shù)的比為2∶3.

答案

34探究二求展開式中各項系數(shù)的和例2若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.(4)∵(3x-1)7展開式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8

256-(-8

128)+(-1)=16

383.反思感悟

“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母不同值.一般地,要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系,令x=0可得常數(shù)項,令x=1可得所有項系數(shù)之和,令x=-1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差.變式訓(xùn)練2在二項式(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)之和;(2)各項系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和.探究三二項式系數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?(2)求二項式系數(shù)最大的項;(3)求系數(shù)最大的項;(4)求系數(shù)最小的項.又0≤k≤8且k∈N,∴k=5或k=6.故系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項.(2)二項式系數(shù)最大的項為中間項,即第5項,反思感悟

(1)求二項式系數(shù)最大的項:(3)把系數(shù)最大項問題通過分析運算得到正確結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練3寫出(x-y)11的展開式中:(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)項的系數(shù)絕對值最大的項;(3)項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項;(4)二項式系數(shù)的和;(5)各項系數(shù)的和.(3)由(2)知中間兩項系數(shù)絕對值相等,又∵第6項系數(shù)為負,第7項系數(shù)為正,素養(yǎng)形成易錯辨析——混淆系數(shù)最大和二項式系數(shù)最大而致錯典例在(1+2x)n的展開式中,最后三項的二項式系數(shù)和為56,則展開式中系數(shù)最大的項為第

項.

解得n=10或n=-11(舍去),所以展開式共11項,從而系數(shù)最大的項為第6項.錯因分析沒有將展開式中“系數(shù)最大”與“二項式系數(shù)最大”區(qū)別好.答案

8反思感悟

1.注意展開式中“系數(shù)最大”“二項式系數(shù)最大”以及“最大項”的區(qū)別.2.求展開式中各項的系數(shù)的最大值,在系數(shù)均為正的前提下,根據(jù)通項公式當堂檢測1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展開式中各項系數(shù)之和為(

)n+1n-1n+1-n+1-2答案

D解析

令x=1,則2+22+…+2n=2n+1-2.A.第6項 B.第3項C.第3項和第6項 D.第5項和第7項答案

D3.已知x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12·(x+2)12,則log2(a1+a3+…+a11)=

.

答案

7解析

令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.①令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,②①與②兩式左、右兩邊分別相減,得28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴l(xiāng)og2(a1+a3+…+a11)=log227=7.4.(x2-x-2)3的展開式中x3的系數(shù)為

.

答案

11解析

(x2-x-2)3=[(x+1)(x-2)]3=(x+1)3(x-2)3,5.已知

展開式中二項式系數(shù)之和比(2x+xlgx)2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和少112