人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十二章 全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）

第十二章全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP角平分線?？妓姆N輔助線：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系出現(xiàn)。0303題型歸納題型一全等圖形識(shí)別例題：（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．

2．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（

）A． B． C． D．3．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．題型二全等三角形的概念例題：（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）形狀相同的兩個(gè)三角形是全等形；（2）全等圖形的周長(zhǎng)都相等；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B．全等三角形的面積相等C．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形 D．等邊三角形都全等2．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等3．（23-24八年級(jí)上·陜西安康·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形 B．兩個(gè)全等三角形的面積不一定相等C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形題型三全等三角形的性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)下·四川資陽(yáng)·期末）如圖，已知點(diǎn)A在上，，

(1)試說(shuō)明：；(2)若，，求的長(zhǎng)鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，，其中點(diǎn)A、E、B、D在一條直線上．

(1)若，求的大小；(2)若，求的長(zhǎng)．2．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長(zhǎng)之和．3．（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖所示，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．

(1)若，，求線段的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．題型四添加一個(gè)條件使兩三角形全等例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．題型五用SAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知，，．求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，、相交于點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

題型六用ASA證明兩三角形全等例題：（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．題型七用AAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：鞏固訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．題型八用SSS證明兩三角形全等例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．題型九用HL證明兩直角三角形全等例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)例題：（2024上·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．2．（2024上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)一池塘的長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，繪制如下圖，點(diǎn)在直線l上（點(diǎn)F、C之間的距離為池塘的長(zhǎng)度），點(diǎn)A、D在直線l的異側(cè)，且，，測(cè)得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長(zhǎng)度．3．（2023上·廣西來(lái)賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積；(3)猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．題型十一角平分線的性質(zhì)定理例題：（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）如圖，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，，垂足為，若，則點(diǎn)到邊的距離是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，在中，平分，．若，，則．2．（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個(gè)加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

3．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，中，和的平分線交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，已知，的面積是5，則周長(zhǎng)是．題型十二角平分線的判定定理例題：（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，是AD中點(diǎn)，平分．

(1)若，求證：平分．(2)若，求證：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·山東威海·期中）如圖，在中，D是的垂直平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)，．求證：點(diǎn)D在的平分線上．

2．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，于E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：平分；(2)若，求的長(zhǎng)．3．（23-24七年級(jí)上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，在外作和，使，且，連接相交于P點(diǎn)．(1)求證：；(2)______（用含的代數(shù)式表示）；(3)求證：點(diǎn)A在的平分線上．

第十二章全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP角平分線?？妓姆N輔助線：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系出現(xiàn)。0303題型歸納題型一全等圖形識(shí)別例題：（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了全等圖形．根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．

【答案】B【分析】本題考查圖形全等，涉及全等圖形的定義，根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記全等圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可知，只有這兩個(gè)圖形能夠完全重合，故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等圖形的概念，形狀和大小完全相同的圖形是全等圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的概念，只有B選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形形狀和大小完全相同，是全等圖形，故選：B．3．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等形的定義，掌握能夠完全重合的圖形是全等形成為解題的關(guān)鍵．運(yùn)用全等形的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：A、兩只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)圖形能夠完全重合，故本選項(xiàng)正確C、兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)不相等，不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圓內(nèi)兩條相交的線段不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．題型二全等三角形的概念例題：（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）形狀相同的兩個(gè)三角形是全等形；（2）全等圖形的周長(zhǎng)都相等；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了全等圖形的判定與性質(zhì)，利用全等圖形的判定與性質(zhì)即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：（1）形狀相同的兩個(gè)三角形不一定是全等形，故錯(cuò)誤；（2）全等圖形的周長(zhǎng)都相等，故正確；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形不一定是全等形，故錯(cuò)誤；（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等，故正確；故選：B鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B．全等三角形的面積相等C．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形 D．等邊三角形都全等【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的定義和性質(zhì)，掌握全等形的概念、全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個(gè)三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、全等三角形的面積相等，該選項(xiàng)正確；C、面積相等的兩個(gè)三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【分析】本題考查三角形全等的概念及性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的概念和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：形狀和大小完全相同的兩個(gè)三角形全等，故形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：全等的兩個(gè)三角形面積相等，但面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等，本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D選項(xiàng)：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：C3．（23-24八年級(jí)上·陜西安康·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形 B．兩個(gè)全等三角形的面積不一定相等C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、形狀相同大小相等的三角形能夠完全重合，是全等三角形，故本選項(xiàng)正確；B、兩個(gè)全等三角形的面積一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、周長(zhǎng)相等的三角形，形狀不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、所有的等邊三角形形狀都相同，大小與邊長(zhǎng)有關(guān)，邊長(zhǎng)不相等，則不能夠重合，所以不一定是全等三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．題型三全等三角形的性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)下·四川資陽(yáng)·期末）如圖，已知點(diǎn)A在上，，

(1)試說(shuō)明：；(2)若，，求的長(zhǎng)【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，，然后利用線段的和差即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，又∵，∴．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，，其中點(diǎn)A、E、B、D在一條直線上．

(1)若，求的大??；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)垂直以及直角三角形兩銳角互余求出，再利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得到的大??；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到，則，即可得到．【詳解】（1）解：∵∴，∵，∴，∵∴（2）∵，∴∴，∴2．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長(zhǎng)之和．【答案】(1)(2)31【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵，∴，∴，即，∴．（2）解：∵，∴，，∴與的周長(zhǎng)和，．3．（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖所示，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．

(1)若，，求線段的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；（1）由，得到，而，即可得到的長(zhǎng)；（2）由，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：解：，∴.（2）解：，.題型四添加一個(gè)條件使兩三角形全等例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個(gè)三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對(duì)角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補(bǔ)充的條件是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，點(diǎn)在一條直線上，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（）、兩邊及一邊（）即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴可添加條件為：可證明或可證明．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：,特別是不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根據(jù)，或添加條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，則有邊角兩個(gè)條件，要添加一個(gè)條件分三種情況，（1）根據(jù)“”，則可添加：，（2）根據(jù)“”，則可添加：或，（3）根據(jù)“”，則可添加：，故答案為：或或或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．題型五用SAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知，，．求證：．

【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】證明：在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，、相交于點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得到，根據(jù)，得到，結(jié)合，則可根據(jù)判定．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】由得到，根據(jù)可得，又由，根據(jù)即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意找到證明全等需要的條件是解題的關(guān)鍵．題型六用ASA證明兩三角形全等例題：（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用等式的性質(zhì)可得，然后再利用判定即可．【詳解】證明：∵，，，，即，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．鞏固訓(xùn)練1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結(jié)合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點(diǎn)B為中點(diǎn)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點(diǎn)B為中點(diǎn)，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．題型七用AAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，即可利用“”證明．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八用SSS證明兩三角形全等例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，在和中，，【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．題型九用HL證明兩直角三角形全等例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．【答案】見解析【分析】由即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先說(shuō)明，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知，再利用平角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，∴．（2）解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)例題：（2024上·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)題意可得，在中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，是的外角，．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．（1）根據(jù)平分，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件即可證明和全等，從而可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義可以得到的度數(shù)，進(jìn)而求解的度數(shù)．【詳解】（1）證明：平分，，在和中，；（2）解：，，，平分，，，，，．2．（2024上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)一池塘的長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，繪制如下圖，點(diǎn)在直線l上（點(diǎn)F、C之間的距離為池塘的長(zhǎng)度），點(diǎn)A、D在直線l的異側(cè)，且，，測(cè)得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明詳見解析；(2)44m．【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用第（1）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴池塘的長(zhǎng)為．3．（2023上·廣西來(lái)賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積；(3)猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)證明見解析(2)48(3)猜想，證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的確定全等三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）連接，直接利用證明，可得，再證明，即可得到結(jié)論；（2）由，可得，從而可得四邊形的面積；（3）先證明，，可得，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，

在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，（2）由（1）得，，∵，，，∴；（3）猜想，證明：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴．題型十一角平分線的性質(zhì)定理例題：（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）如圖，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，，垂足為，若，則點(diǎn)到邊的距離是．【答案】5【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，作，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出即可得出答案．【詳解】解：過(guò)P作于點(diǎn)E，∵點(diǎn)P是平分線上一點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)P到邊的距離是5．故答案為：5．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，在中，平分，．若，，則．【答案】9【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，過(guò)D作于F，利用角平分線的性質(zhì)定理求出，然后利用三