2024屆江蘇省鹽城市東臺市高三（一模）仿真卷（B卷）數學試題試卷

2024屆江蘇省鹽城市東臺市高三（一模）仿真卷（B卷）數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．42．已知函數，集合，，則（）A． B．C． D．3．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．4．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．115．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且6．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點到達點的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．8．我國著名數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內容是“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”（注：如果一個大于的整數除了和自身外無其他正因數，則稱這個整數為素數），在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，則的概率是（）A． B． C． D．9．如圖網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．11．已知函數，下列結論不正確的是（）A．的圖像關于點中心對稱 B．既是奇函數，又是周期函數C．的圖像關于直線對稱 D．的最大值是12．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統計如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（）A．元 B．元 C．元 D．元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于_____.14．在正奇數非減數列中，每個正奇數出現次.已知存在整數、、，對所有的整數滿足，其中表示不超過的最大整數.則等于______.15．（5分）已知為實數，向量，，且，則____________．16．某大學、、、四個不同的專業(yè)人數占本?？側藬档谋壤来螢?、、、，現欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總人數中抽取人調查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專業(yè)應抽取_________人．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.19．（12分）已知在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．21．（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據統計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數學期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）年，山東省高考將全面實行“選”的模式（即：語文、數學、外語為必考科目，剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試）.為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調查.統計顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”；（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現從名男同學和名女同學（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學和名女同學參加座談會，記參加座談會的人中喜歡物理的人數為，求的分布列及期望.，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線在y軸的截距加上1，根據圖像知，當x+y=2時，且x∈-13,1時，故選：C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.2、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.3、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．4、B【解析】

根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.5、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.6、A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系．通過數量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉化成或的二次函數，利用二次函數的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線，設點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉化與化歸思想的運用．7、C【解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進而可知，當最大時，取得最大值，取的中點，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因為，所以平面，所以，當最大時，取得最大值，取的中點，則，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上（不在左右頂點），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.8、B【解析】

先列舉出不超過的素數，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，滿足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數有：、、、、、，在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種情況，其中，事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，且”包含的基本事件有：、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.9、C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.10、C【解析】

根據可得四邊形為矩形,設,,根據橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.11、D【解析】

通過三角函數的對稱性以及周期性，函數的最值判斷選項的正誤即可得到結果．【詳解】解：，正確；，為奇函數，周期函數，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調遞增，在和上單調遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【點睛】本題考查三角函數周期性和對稱性的判斷，利用導數判斷函數最值，屬于中檔題．12、A【解析】

根據2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用，再根據年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，得到年的就醫(yī)費用，然后由年的就醫(yī)費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，所以年的就醫(yī)費用元，而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【點睛】本題主要考查統計中的折線圖和條形圖的應用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數項的值．【詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數項等于，故答案為1．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．14、2【解析】

將已知數列分組為（1），，共個組.設在第組，，則有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.15、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．16、【解析】

求出專業(yè)人數在、、、四個專業(yè)總人數的比例后可得．【詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數的比例為，故專業(yè)應抽取的人數為．故答案為：1．【點睛】本題考查分層抽樣，根據分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數量是按比例抽取的．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1）∵，點為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分別為，的中點，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，∵，∴，，，，∴，，，設平面的法向量為，由，得，令，得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質定理的應用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）對范圍分類整理得：，分類解不等式即可．（2）利用已知轉化為“當時，”恒成立，利用絕對值不等式的性質可得：，問題得解．【詳解】當時，，當時，由得，解得；當時，無解；當時，由得，解得，所以的解集為（2）的解集包含等價于在上恒成立，當時，等價于恒成立，而，∴，故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法，還考查了轉化能力及絕對值不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．19、（1）（2）或【解析】

（1）根據橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設，由得，應用韋達定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長公式求得弦長，原點到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據題意設橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.（2）據得設，則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時采取設而不求思想，即設交點坐標為，直線方程與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得，把這個結論代入題中條件求得參數，用它求弦長等等，從而解決問題．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面的性質定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，,得，，而，設平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面