《直線和圓的方程》總體設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《直線和圓的方程》總體設(shè)計(jì)直線和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過(guò)的圖形，本章用解析幾何的方法進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn).本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置和圓的幾何要素；然后用代數(shù)方法刻畫直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離.在此基礎(chǔ)上，建立直線和圓的方程；用方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，初步感悟平面解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.以上是《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)本章內(nèi)容的整體定位，也是本章編寫的指導(dǎo)思想.一、本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.直線的方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（3）能根據(jù)斜率判斷兩條直線平行或垂直.（4）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式.（5）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).（6）探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.2.圓的方程（1）回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.（2）能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.（3）能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.二、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖三、內(nèi)容安排本章內(nèi)容包括兩部分.第一部分是直線的方程，包括“2.1直線的傾斜角與斜率”“2.2直線的方程”“2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”3節(jié)；第二部分是圓的方程，包括“2.4圓的方程”“2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”2節(jié).本章第1節(jié)“直線的傾斜角與斜率”，主要內(nèi)容是直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜率之間的關(guān)系，過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，以及運(yùn)用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系，為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問(wèn)題，教科書首先探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法表示這些幾何要素.通過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線，引入直線傾斜角刻畫直線的傾斜程度（方向）；然后通過(guò)具體實(shí)例，由具體到一般，通過(guò)向量法，用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫傾斜角；把傾斜角的正切值表示為這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差與橫坐標(biāo)的差的商，進(jìn)而引出直線斜率的概念；建立過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.由于兩條直線平行或垂直取決于它們的方向，所以由它們斜率的關(guān)系可以判斷兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系.直線的方程是在直角坐標(biāo)系中對(duì)直線的代數(shù)刻畫.第2節(jié)“直線的方程”包括直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式方程，斜截式、截距式方程分別是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程的特例.點(diǎn)斜式方程是其他所有方程的基礎(chǔ)，它是在經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的基礎(chǔ)上，利用給定的點(diǎn)和斜率建立直線上任意一點(diǎn)所滿足的代數(shù)關(guān)系.它一方面表示直線上的點(diǎn)滿足這個(gè)關(guān)系式，另一方面表示滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在這條直線上.兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的“變式”表達(dá)或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率.而一般式方程揭示了任意一個(gè)二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程都可以化為一般式方程.第3節(jié)“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式”是運(yùn)用直線的方程，判斷兩條直線的位置關(guān)系，求出兩條直線相交時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)；推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離公式.距離問(wèn)題是歐氏幾何的基本問(wèn)題之一，在歐氏幾何中，把兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度定義為距離.而兩點(diǎn)間的距離公式與過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式是平面解析幾何中兩個(gè)最基本的公式.教科書用向量方法得出平面上兩點(diǎn)間的距離公式.對(duì)于點(diǎn)到直線的距離公式，教科書給出了兩種推導(dǎo)方法，兩種方法各有所長(zhǎng)，在比較中可以體會(huì)坐標(biāo)法與向量法的異同.而兩條平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求出，是點(diǎn)到直線的距離公式的“推論”.圓是本章研究的第二類圖形.雖然圓與直線是兩類圖形，但研究方法是一致的，即根據(jù)確定圓的幾何要素，建立圓的方程，運(yùn)用圓的方程研究與圓有關(guān)的幾何性質(zhì).第4節(jié)“圓的方程”包括圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程兩部分內(nèi)容，教科書從確定圓的幾何要素：圓心、半徑出發(fā)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，得到圓的一般方程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程是圓的方程的兩種形式，它們各有自己的特點(diǎn)，而且兩者之間可以互化.本章最后一節(jié)是“直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”.本節(jié)綜合運(yùn)用直線和圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際間題.圖形之間的位置關(guān)系，既可以直觀定性描述，也可以嚴(yán)格定量刻畫.定量刻畫的方法既可以完全運(yùn)用代數(shù)的方法，通過(guò)運(yùn)算求解，得到圖形之間的位置關(guān)系；也可以綜合運(yùn)用幾何方法和代數(shù)方法，這種綜合是充分借助圖形的幾何性質(zhì)，一定程度上簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，最后得到圖形之間的位置關(guān)系.本章還安排了“方向向量與直線的參數(shù)方程”“笛卡兒與解析幾何”“坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化”等選學(xué)內(nèi)容，目的是拓展學(xué)生的知識(shí)面，讓學(xué)生從多種角度認(rèn)識(shí)直線方程的表示形式，了解解析幾何產(chǎn)生的過(guò)程，以及我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊先生運(yùn)用坐標(biāo)法進(jìn)行幾何定理機(jī)器證明的杰出貢獻(xiàn).本章中，過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式是建立直線方程的基礎(chǔ)，兩點(diǎn)間的距離公式是建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)，兩個(gè)公式是本章內(nèi)容的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上建立的直線的方程、圓的方程，以及運(yùn)用它們研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等，它們是本章的重點(diǎn).用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，以及對(duì)直線與直線的方程，圓與圓的方程之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，學(xué)生理解可能會(huì)有一定的困難，它們是本章的難點(diǎn).本章研究直線、圓及其相關(guān)問(wèn)題，用的是坐標(biāo)法.坐標(biāo)法是解析幾何最基本的研究方法，它建立了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.四、課時(shí)安排本章教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）2.1直線的傾斜角與斜率約2課時(shí)2.2直線的方程約3課時(shí)2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式約4課時(shí)2.4圓的方程約2課時(shí)2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系約3課時(shí)小結(jié)約2課時(shí)五、本章編寫思考1.突出坐標(biāo)法，讓學(xué)生初步感悟用坐標(biāo)法研究幾何圖形性質(zhì)的程序性和普適性幾何圖形的性質(zhì)主要指圖形的形狀、大小和位置關(guān)系等.研究幾何圖形的性質(zhì)有很多方法.在以往的學(xué)習(xí)中，常常通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法研究它們.這種借助圖形的直觀，在一些基本名詞（如點(diǎn)、直線、平面等）基礎(chǔ)上，以一些公理與公設(shè)為依據(jù)，運(yùn)用同一律、矛盾律和排中律，以及大前提、小前提、結(jié)論的“三段論”式的邏輯規(guī)則，經(jīng)過(guò)一定的推理，導(dǎo)出一系列命題的研究方法，常常稱為綜合法.本章采用了一種新方法坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì).在用坐標(biāo)法研究幾何圖形性質(zhì)的過(guò)程中，常常把圖形看成點(diǎn)的集合或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素，在平面直角坐標(biāo)系中，用有序數(shù)對(duì)表示，一個(gè)有序數(shù)對(duì)表示唯一的一個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)，點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng).直線和圓是平面上最簡(jiǎn)單的非封閉圖形和“曲線型”封閉圖形.實(shí)際上，從更高的觀點(diǎn)（圖形分類）、更廣闊的角度（射影幾何）看，直線和圓是一類圖形：直線是半徑“無(wú)窮大”的圓，直線和圓上任意一點(diǎn)的曲率相同，只不過(guò)，直線上任意一點(diǎn)的曲率為0，圓上任意一點(diǎn)的曲率是其半徑的倒數(shù).用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫直線和圓的兒幾何特征，就得到它們的點(diǎn)（x，y）滿足的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律用代數(shù)表達(dá)式表示，就建立了直線和圓的方程.由直線（圓）上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線（圓）上，確立了直線（圓）與其方程之間的關(guān)系：直線（圓）可以由方程表示，相應(yīng)的方程表示直線（圓）.從而，可以由直線和圓的方程研究與它們相關(guān)的幾何性質(zhì).這種研究幾何圖形性質(zhì)的過(guò)程，教科書用一個(gè)非常形象的詞“三步曲”第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.“三步曲”說(shuō)的是坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的程序性.普適性是指一旦直線和圓的方程確定，那么它們的主要幾何性質(zhì)，如距離、角度等原則上可以由它們的方程得到，而綜合法處理這些問(wèn)題時(shí)有時(shí)需要很強(qiáng)的技巧，往往“就事論事”.例如，“2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”中的“例6已知圓O的直徑AB=4，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的倍，試探究點(diǎn)M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.”（圖1）這是典型的用坐標(biāo)法通過(guò)求軌跡方程，“翻譯”軌跡方程，從而判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡形狀的問(wèn)題.雖然直觀上可以判斷軌跡的形狀是條封閉的曲線，但很難想到是一個(gè)圓，更無(wú)法想到這個(gè)圓的圓心以及半徑長(zhǎng).坐標(biāo)法為解決這類問(wèn)題提供了普適的方法，而且這種方法完全是程序性的.用綜合法解決這一問(wèn)題需要應(yīng)用三角形內(nèi)角、外角平分線以及圓周角的性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性很強(qiáng)，有一定難度.2.強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)間的距離公式、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的基礎(chǔ)地位距離和角度是歐氏幾何中兩個(gè)基本的度量.平面解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形，刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務(wù).兩點(diǎn)間的距離公式、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式是平面解析幾何中刻畫距離和角度的兩個(gè)基本公式，這兩個(gè)公式在平面解析幾何的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)地位，它們是幾何圖形代數(shù)化的起點(diǎn)和重要工具.用坐標(biāo)法刻畫兩點(diǎn)間的距離，本質(zhì)上是把二維平面中線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一維數(shù)軸上線段的長(zhǎng)度來(lái)解決.通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，把關(guān)于直角三角形的勾股定理用坐標(biāo)表示，得到兩點(diǎn)間的距離公式.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）.動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中，不變的是定長(zhǎng)（半徑），這個(gè)定長(zhǎng)就是兩點(diǎn)間的距離.刻畫這個(gè)距離的過(guò)程實(shí)際上就是建立圓的方程的過(guò)程.運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，就是規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是圓的幾何特征：半徑保持不變.以后學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，建立它們的方程，關(guān)鍵也是利用兩點(diǎn)間的距離公式.一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線，而方向可以用角度刻畫.在平面直角坐標(biāo)系中研究直線，直線的幾何特征是經(jīng)過(guò)其上任意兩點(diǎn)，直線的傾斜角不變，這就是直線上的點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持不變的東西.而傾斜角無(wú)法直接用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫，這時(shí)需要轉(zhuǎn)化，傾斜角的正切值可以用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫.這種定量刻畫為研究直線帶來(lái)方便.教科書把直線傾斜角的正切值定義為直線的斜率.這樣，斜率完全刻畫了直線的幾何特征，并用表示這條直線的一個(gè)方向向量.因?yàn)槔脙蓷l直線斜率的關(guān)系可以判斷它們平行或垂直的位置關(guān)系，為了突出過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的基礎(chǔ)地位，教科書在建立直線方程之前先安排用它判斷兩條直線平行或垂直的問(wèn)題.3.突出點(diǎn)斜式方程在直線方程中的核心地位推導(dǎo)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式本質(zhì)上是建立直線的點(diǎn)斜式方程的過(guò)程，而點(diǎn)斜式方程是建立其他所有形式直線方程的基礎(chǔ)，其他形式的直線方程都可以作為點(diǎn)斜式方程的“變式”或推論.誠(chéng)如前面所述，直線的斜率完全刻畫了直線的幾何特征，但它還不是直線上的點(diǎn)滿足規(guī)律的一般表達(dá).我們需要建立直線上任意一點(diǎn)中x與y之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是斜率公式的一個(gè)“變式”或推論.因?yàn)榻?jīng)過(guò)直線上任意兩點(diǎn)的直線是同一條直線，它們的斜率相等.由確定直線位置的幾何要素，一點(diǎn)和斜率唯一確定一條直線.教科書由此出發(fā)，把變形，得到過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線的方程，也就是直線的點(diǎn)斜式方程.直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特例，它的形式與初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)解析式完全類似.在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們只知道是常數(shù)，但是并沒(méi)有說(shuō)明它們的幾何意義.現(xiàn)在教科書給出了的幾何意義：表示直線的斜率，表示直線在y軸上的截距.兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的“變式”表達(dá)或推論，變化的依據(jù)是兩點(diǎn)確定一條直線可以轉(zhuǎn)化為一點(diǎn)和斜率唯一確定一條直線，而斜率可以由過(guò)這兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是處理直線上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)與兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，即用兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而建立直線的兩點(diǎn)式方程.在兩點(diǎn)式方程中，截距式方程是其特例，其特別之處在于這兩點(diǎn)是直線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，它在具體問(wèn)題中用途廣泛.無(wú)論是點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程，其表達(dá)式都具有明顯的幾何意義，由方程的形式能夠直接發(fā)現(xiàn)直線所過(guò)定點(diǎn)、斜率，以及兩個(gè)已知點(diǎn).另外，它們都是二元一次方程.為了在一般意義下研究直線的方程，教科書探討了二元一次方程的一般表達(dá)式與直線的關(guān)系.一方面，任意一個(gè)二元一次方程，當(dāng)時(shí)，都可以寫成點(diǎn)斜式方程的形式；當(dāng)時(shí)，表示垂直于x軸的直線，從而任意一個(gè)二元一次方程都表示一條直線.另一方面，由于二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以這個(gè)方程的全體解組成的集合，就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的集合組成一條直線.這樣，在平面直角坐標(biāo)系中，任意一個(gè)二元一次方程表示直角坐標(biāo)平面上一條確定的直線：反之，直角坐標(biāo)平面上的任意一條直線可以用一個(gè)確定的二元一次方程表示.4.充分發(fā)揮平面向量及其方法在研究幾何圖形性質(zhì)方面的作用向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量方法的運(yùn)用突出了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用.本章通過(guò)直線的方向向量引入直線的傾斜角概念；通過(guò)向量方法由具體到一般討論直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線傾斜角的正切值之間的關(guān)系，進(jìn)而得到過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式；建立直線斜率k與其方向向量，或（其中）之間的關(guān)系；運(yùn)用直線的方向向量與斜率的關(guān)系推導(dǎo)兩條直線垂直與它們的斜率之積等于-1的關(guān)系；特別是運(yùn)用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.在“探究與發(fā)現(xiàn)方向向量與直線的參數(shù)方程”中，教科書通過(guò)直線的方向向量，建立了直線的參數(shù)方程，明確參數(shù)方程中參數(shù)的意義.5.在強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，充分利用圖形的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算多邊形和圓是初中階段學(xué)習(xí)的兩類基本圖形，通過(guò)直線和圓的方程，原則上可以研究有關(guān)多邊形和圓的距離、角度等所有幾何性質(zhì)方面的問(wèn)題.但是，有時(shí)完全運(yùn)用代數(shù)方法，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，很難一路通暢地解決問(wèn)題，這時(shí)需要充分利用圖形的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.在用方程研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題中尤其如此.在直線與圓的位置關(guān)系的研究中，教科書通過(guò)表示直線的二元一次方程與表示圓的二元二次方程聯(lián)立，通過(guò)方程組的解判斷它們之間的位置關(guān)系；也可以通過(guò)圓心到直線的距離判斷它們之間的位置關(guān)系.一個(gè)依據(jù)的是兩類圖形公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，另一個(gè)依據(jù)的是半徑與圓心到直線距離的大小關(guān)系，兩種方法殊途同歸，都可以判斷直線與圓的位置關(guān)系.只不過(guò)第一種方法需要用二次方程解決，第二種方法只需要運(yùn)用一次方程，一次方程的運(yùn)算量一般來(lái)說(shuō)小于二次方程的運(yùn)算量.在圓與圓的位置關(guān)系的研究中，利用圓的幾何性質(zhì)的方法更加明顯，如圓心距、兩圓相交時(shí)兩圓圓心所在直線垂直平分兩園的公共弦，等等，利用這些性質(zhì)都可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.在直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的研究中，教科書還重點(diǎn)關(guān)注了相切這一特殊的位置關(guān)系.相切常常與優(yōu)化問(wèn)題有關(guān)，很多優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題，如最短距離、最大角度，等等.六、本章教學(xué)建議1.在建立直線的方程、圓的方程的過(guò)程中認(rèn)識(shí)曲線與方程之間的關(guān)系一般地，在解析幾何中把研究的圖形稱為曲線，曲線用方程表示，曲線與方程之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是解析幾何的基石.雖然教科書正文中沒(méi)有明確提出曲線與方程的關(guān)系，但是兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系在直線的點(diǎn)斜式方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程中都有所體現(xiàn).如用過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式得到關(guān)于直線l的代數(shù)關(guān)系式后，教科書指出，直線l上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足關(guān)系式；反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)滿足關(guān)系式的每一個(gè)點(diǎn)都在直線l上.同樣，用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于圓的代數(shù)關(guān)系式后，教科書指出，若點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程；反過(guò)來(lái)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程，就說(shuō)明點(diǎn)M與圓心間的距離為r，即點(diǎn)M在圓上.從大的范圍看，曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)反映了數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的關(guān)系，有了這種關(guān)系，就可以用方程表示曲線，對(duì)曲線進(jìn)行“運(yùn)算”；建立方程的幾何直觀表達(dá)，把方程“形象化”，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2.關(guān)注直線、圓的方程的一般形式與特殊形式的互相轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)直線和圓的方程形式多種多樣，但直線的方程都是二元一次方程，圓的方程都是二元二次方程，它們都是關(guān)于x，y的二元方程.在直線各種形式的方程中，當(dāng)斜率存在或表達(dá)式有意義時(shí)，一般式方程與其他形式的方程可以互化.一般式方程幾何意義不明顯，其他形式的方程正如其名稱一樣，具有明顯的幾何特征，它們反映了確定直線位置的幾何要素.轉(zhuǎn)化的目的是發(fā)現(xiàn)確定直線位置的幾何要素：一點(diǎn)和斜率，或兩個(gè)點(diǎn)；認(rèn)識(shí)方程表示一條直線，是直線方程的一般形式圓的一般方程中，的系數(shù)相等，不含xy二次項(xiàng).由于方程可化為，當(dāng)時(shí)，它表示以為圓心，為半徑的圓.圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程雖然形式不同，但本質(zhì)上是一致的，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以直接得到圓心的位置和圓的半徑，而圓的一般方程無(wú)法直接得到其圓心位置和半徑，要得到其圓心位置和半徑，需要把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)方程.圓的一般方程代數(shù)特征明顯，但是圓的兩個(gè)典型幾何特征：圓心、半徑無(wú)法直接體現(xiàn).在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化中，涉及配方等二次式的恒等變形，這對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算提出了較高的要求，而代數(shù)式的恒等變形，是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要表現(xiàn).3.注意復(fù)習(xí)平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)解析幾何的內(nèi)容比較綜合，它通過(guò)方程的運(yùn)算和幾何圖形性質(zhì)的研究發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，需要綜合運(yùn)用平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等知識(shí).多邊形和圓是義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的兩類基本圖形，對(duì)這兩類圖形的研究，當(dāng)時(shí)是從圖形的形出發(fā)，建立圖形的概念，運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法，獲得這些圖形的性質(zhì)，即組成這些圖形的要素之間的關(guān)系，如線段的大小、平行或垂直關(guān)系，等等.解析幾何的研究對(duì)象與平面幾何完全一樣，都是幾何圖形.因此在本章教學(xué)和學(xué)習(xí)中，需要復(fù)習(xí)多邊形、圓這兩類圖形的知識(shí)，其中三角形的高、中線、角平分線、三邊的垂直平分線，三角形的外接圓、內(nèi)切圓，垂徑定理，圓的切線等知識(shí)是復(fù)習(xí)的重點(diǎn).另外，解析幾何與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的平面幾何的研究方法不一樣，解析幾何是在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形，通過(guò)點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，建立曲線的方程，通過(guò)方程定量地研究曲線的性質(zhì).如在平面幾何中，只知道兩條相交直線相交，但是不知道具體在何處相交；而在平面直角坐標(biāo)系中，可以完全量化這個(gè)交點(diǎn)，得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定交點(diǎn)的位置.從這個(gè)側(cè)面說(shuō)明，通過(guò)解析幾何的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步加深和鞏固對(duì)于多邊形、圓兩類基本圖形的認(rèn)識(shí)，兩者是相輔相成的.本章中角度也是重要的研究問(wèn)題，角度常常涉及三角函數(shù)，如用直線傾斜角的正切值定義直線的斜率.另外，在本章，建立直線的方程，推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，反復(fù)運(yùn)用直線的方向向量、平面向量的投影、數(shù)量積運(yùn)算，等等，這些都涉及向量的知識(shí).因此，三角函數(shù)、向量等知識(shí)是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也需要不斷復(fù)習(xí)鞏固.4.既重視幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，也關(guān)注代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀數(shù)形結(jié)合一方面是幾何圖形的代數(shù)表達(dá)，另一方面是代數(shù)表達(dá)式的幾何直觀.它們是數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面，兩者都不可或缺.如教科書中的問(wèn)題：（1）已知λ為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)λ變化時(shí)，方程表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？從式子的特點(diǎn)不難看出，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，而使同時(shí)成立的是這兩個(gè)方程表示的直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，這樣上述方程的幾何意義就很明顯了：經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)的所有直線.（2）已知.求證：，并求使等式成立的條件；說(shuō)明上述不等式的幾何意義.同樣，由代數(shù)表達(dá)式①容易想到，是平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)定點(diǎn)，它們可以表示邊長(zhǎng)為1的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)；由于，所以是這個(gè)正方形內(nèi)的任意一點(diǎn)，上式表示該點(diǎn)與正方形四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和大于或等于的點(diǎn)的特征.從幾何