5.3.4-頻率與概率教學(xué)設(shè)計

5.3.4頻率與概率頻率與概率是兩個不同的概念，但是二者又有密切的聯(lián)系．如何從二者的異同點中抽象出概率的定義是本課時的主要內(nèi)容．本節(jié)課蘊涵了具體與抽象之間的辯證關(guān)系．講授過程中對教材處理稍有不當(dāng)，可能直接影響學(xué)生對本節(jié)重點（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何設(shè)計合適的實例，怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解和總結(jié)是通過本節(jié)課教學(xué)，使學(xué)生能理清頻率和概率的關(guān)系，并能正確理解概率的意義，增強(qiáng)學(xué)生的對立與統(tǒng)一的辯證思想意識．處理好本節(jié)的關(guān)鍵，也是處理好本節(jié)教材的難點．由于頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地叫作這個事件的概率，因此本節(jié)課應(yīng)從具有大量重復(fù)試驗的實例入手．為加深學(xué)生的理解程度，可采用學(xué)生親自參與到試驗中去，從操作中去體會，去總結(jié)．概率可看作頻率理論上的期望值，從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。虼耍瑸殪柟虒W(xué)生總結(jié)出的知識，最后還要回歸到實例中去，讓學(xué)生去運用，以符合認(rèn)知過程．考點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)頻率與概率在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算概率的意義解釋實例會用概率的意義解釋生活中的實例直觀想象、數(shù)學(xué)建?！窘虒W(xué)重點】了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別，會用概率的意義解釋生活中的實例【教學(xué)難點】用概率的意義解釋生活中的實例我們知道，利用古典概型能夠方便地確定出有關(guān)隨機(jī)事件地概率，但是，因為不是所有的隨機(jī)試驗都能歸結(jié)為古典概型，因此還要尋求其他的確定隨機(jī)事件概率的方法.解答：情境與問題中的兩個問題，如果用古典概型來確定概率，顯然是不太合適的，但是我們可以用有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得出事件發(fā)生的概率的估計值.例如，可以重復(fù)做拋瓶蓋試驗若干次（設(shè)為n次），然后觀察蓋口朝下的次數(shù)（設(shè)為m次），最后用蓋口朝下的頻率作為蓋口朝下的概率的估計值.嘗試與發(fā)現(xiàn)：你覺得利用頻率估計概率的辦法可靠嗎？怎樣檢驗這種方法的可靠性？為了驗證這種確定事件發(fā)生的概率的方法的可靠性，歷史上很多學(xué)者做過成千上萬次拋均勻硬幣的試驗，得到的結(jié)果如下表所示：注：拋均勻硬幣觀察朝上的面時，利用古典概型可算的正面朝上的概率為，不難看出，以上學(xué)者們得到的頻率值，都可以較好地作為正面朝上的概率的近似值.知識點：頻率估計概率事實上，在大量重復(fù)的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且，試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大.（1）一般地,，如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為，則當(dāng)n很大時，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率的估計值為（2）不難看出，此時也有：（3）可以驗證，此時兩對立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性質(zhì)也成立.這種確定概率估計值的方法稱為頻率估計概率.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別聯(lián)系頻率本身是隨機(jī)的，在試驗之前無法確定，大多會隨著試驗次數(shù)的改變而改變．做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的頻率值也可能會不同(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率(2)在實際問題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計概率概率是一個[0，1]中的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變例1.為了確定某類種子的發(fā)芽率，從一大批這類種子種隨機(jī)抽取了2000粒試種，后來觀察到有1806粒發(fā)了芽，試估計這類種子的發(fā)芽率解：因為所以估計這類種子的發(fā)芽率為0.903注：（1）在用頻率估計概率時，不同的試驗結(jié)果可能會得到不同的估計值。（2）需要注意的是，即使我們估計出發(fā)芽率為0.903，我們也不能指望下一次種10000粒種子時，得到發(fā)芽的種子正好為9030粒，而只能說發(fā)芽的種子接近9030.例2.2013年，北京地區(qū)擁有科普人員48800人，其中科普專職人員7727人，其余均為科普兼職人員。2013年9月的科普日活動種，到清華大學(xué)附屬中學(xué)宣講科普知識的是科普人員張明，估計張明是科普專職人員的概率（精確到0.01）解：可以算得，2013年北京地區(qū)科普專職人員占所有科普人員的比例為：因此張明是科普專職人員的概率可估計為：0.16例3.某女籃運動員統(tǒng)計了她最近幾次參加比賽投籃的得分情況，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：注：每次投籃，要么得兩分，要么得三分，要么沒投中記該女籃運動員在一次投籃中，投中兩分為事件A，投中三個為事件B，沒投中為事件C，試估計P（A），P（B），P（C）解：因為所以可估計：注意到，而且A與B互斥，因此估計：例4.為了了解某次數(shù)學(xué)考試全校學(xué)生得得分情況，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)讀取了若干名學(xué)生的成績，并以為分組，作出了如圖所示的頻率分步直方圖，從該學(xué)校中隨機(jī)選取了一名學(xué)生，估計這名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績在內(nèi)的概率.解：由頻率分布直方圖可以看出，所抽取的學(xué)生成績中，在內(nèi)的頻率為：因為由樣本的分布可以估計總體的分布，所以全校學(xué)生的數(shù)學(xué)得分在內(nèi)的概率可以估計為0.1.根據(jù)用頻率估計概率的方法可知，隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的概率可以估計為0.1【解題方法】用頻率估計概率(1)概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?dāng)試驗的次數(shù)越來越多時，頻率越來越趨近于概率．當(dāng)次數(shù)足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率．(2)通過公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)計算出頻率，再由頻率估算概率．從概率的統(tǒng)計定義出發(fā)，我們先來考慮此題的簡化情形：在投擲一枚均勻硬幣的隨機(jī)試驗中，正面出現(xiàn)的概率是，這是否意味著投擲2次硬幣就會出現(xiàn)1次正面呢？根據(jù)經(jīng)驗，我們投擲2次硬幣有可能1次正面也不出現(xiàn)，即出現(xiàn)2次反面的情形，但是在大量重復(fù)擲硬幣的試驗中，如擲10000次硬幣，則出現(xiàn)正的次數(shù)約為5000次．買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗，結(jié)果可能是一次獎也沒中，或者中一次獎，或者多次中獎．所以“彩票中獎概率為”并不意味著買1000張彩票就一定能中獎．只有當(dāng)所買彩票的數(shù)量n非常大時，才可以將大量重復(fù)買彩票這個試驗看成中獎的次數(shù)約為（比如說買1000000張彩票，則中獎的次數(shù)約為1000），并且n越大，中獎次數(shù)越接近于.例5.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個病人都沒有治愈，第10個病人就一定能治愈嗎？解.如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是10%指隨著試驗次數(shù)的增加，有10%的病人能夠治愈．對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，但治愈的可能性是10%，前9個病人是這樣，第10個病人仍是這樣，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.【變式練習(xí)】有以下說法：①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報降水概率為95%”是錯誤的；②“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎；③做10次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為eq\f(3,10)；④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．其中錯誤說法的序號是________．解析：①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯誤；②中“彩票中獎的概率是1%”表示在設(shè)計彩票時，有1%的機(jī)會中獎，但不一定買100張彩票一定有1張會中獎，故②錯誤；③中正面朝上的頻率為eq\f(3,10)，概率仍為eq\f(1,2)，故③錯誤；④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2或3件…次品，故④正確．答案：①②③【解題方法】對概率的正確理解(1)概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．(2)任何事件的概率都是區(qū)間[0，1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越?。?3)小概率(概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．(4)必然事件M的概率為1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率為0，即P(N)＝0.1．下列關(guān)于概率的說法正確的是（）A．頻率就是概率B．任何事件的概率都是在(0，1)之間C．概率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)D．概率是隨機(jī)的，與試驗次數(shù)有關(guān)【答案】C【解析】事件A的頻率是指事件A發(fā)生的頻數(shù)與n次事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)比，一般來說，隨機(jī)事件A在每次實驗中是否發(fā)生時不能預(yù)料的，但在大量重復(fù)的實驗后，隨著實驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間的某個常數(shù)上，這個常數(shù)就是事件A的概率，故可得：概率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)，故選：C.2．某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了7次，則下列說法正確的是（）A．正面朝上的概率為0.7 B．正面朝上的頻率為0.7C．正面朝上的概率為7 D．正面朝上的概率接近于0.7【答案】B【解析】正面朝上的頻率是，正面朝上的概率是0.5.故選：B3．對以下命題：①隨機(jī)事件的概率與頻率一樣，與試驗重復(fù)的次數(shù)有關(guān)；②拋擲兩枚均勻硬幣一次，出現(xiàn)一正一反的概率是；③若一種彩票買一張中獎的概率是，則買這種彩票一千張就會中獎；④“姚明投籃一次，求投中的概率”屬于古典概型概率問題．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】隨機(jī)事件的概率與頻率不一樣，與試驗重復(fù)的次數(shù)無關(guān)，所以①錯誤；拋擲兩枚均勻硬幣一次，可能的結(jié)果：正正，正反，反正，反反，所以出現(xiàn)一正一反的概率是，所以②錯誤；若一種彩票買一張中獎的概率是，這是隨機(jī)事件，則買這種彩票一千張不一定會中獎，所以③錯誤；“姚明投籃一次，求投中的概率”，姚明投籃的結(jié)果中與不中概率不相等，不屬于古典概型概率問題，所以④錯誤．故選：A4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【解析】【詳解】設(shè)夾谷石，則，所以，所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.5．在一個不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個數(shù)可能是_________個.【答案】16【解析】【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個數(shù)為個；黑色球的個數(shù)為個；故白色球的個數(shù)為4個.故答案為：16.6．天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均為.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率:先利用計算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),用表示下雨，用表示不下雨，再以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表這三天的下雨情況，經(jīng)隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù):據(jù)此估計,這三天中恰有兩天下雨的概率近似為__________.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù),在組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有:,共組隨機(jī)數(shù),所求概率為.因此，本題正確答案是:7．容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為______，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為______.【答案】64.0.