高考文科數(shù)學人教B版講義第一章集合與常用邏輯用語13

§1.3充分條件、必要條件與命題的四種形式最新考綱考情考向分析1.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.命題的真假判斷和充分必要條件的判定是考查的主要形式，多與集合、函數(shù)、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系相交匯，考查學生的推理能力，題型為選擇、填空題，低檔難度.1．充分條件、必要條件與充要條件(2)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件．p是q的充要條件又常說成q當且僅當p，或p與q等價．2．命題的四種形式及真假關(guān)系互為逆否的兩個命題等價(同真或同假)；互逆或互否的兩個命題不等價．知識拓展從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為：(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(×)(2)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√)(3)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(√)(4)若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件．(√)題組二教材改編2．下列命題是真命題的是()A．矩形的對角線相等B．若a＞b，c＞d，則ac＞bdC．若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題答案A3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要題組三易錯自糾4．命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是()A．若x<y，則x2<y2 B．若x≤y，則x2≤y2C．若x>y，則x2>y2 D．若x≥y，則x2≥y2答案B解析根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．5．設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析x＞y?x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，但當x＞|y|時，能有x＞y.∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分條件．6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2.題型一命題及其關(guān)系1．某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，這句話的等價命題是()A．不擁有的人們會幸福B．幸福的人們不都擁有C．擁有的人們不幸福D．不擁有的人們不幸福答案D2．原命題為“△ABC中，若cosA<0，則△ABC為鈍角三角形”，關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．真，假，假答案B解析若cosA<0，A為鈍角，則△ABC為鈍角三角形，所以原命題為真，則逆否命題也為真；△ABC為鈍角三角形，可能是B或者C為鈍角，A可能為銳角，cosA>0.所以逆命題為假，則否命題也為假．故選B.3．設(shè)m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是____________．答案若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0思維升華(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意：①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可．(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．題型二充分必要條件的判定典例(1)“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cosx＋m－1有零點”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析方法一若0≤m≤1，則0≤1－m≤1，∴cosx＝1－m有解．要使函數(shù)f(x)＝cosx＋m－1有零點，只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故選A.方法二函數(shù)f(x)＝cosx＋m－1有零點，則|m－1|≤1，解得0≤m≤2，∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．∴“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cosx＋m－1”有零點的充分不必要條件．(2)已知條件p：x>1或x<－3，條件q：5x－6>x2，則綈p是綈q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選A.思維升華充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題．(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題．跟蹤訓練(1)(2018屆莆田一中月考)王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的()A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件答案D解析非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分條件．(2)設(shè)a，b∈R，則“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若“(a－b)a2＜0”，則“a＜b”，是真命題；而若“a＜b”，則“(a－b)a2＜0”當a＝0時不成立，是假命題．故選A.題型三充分必要條件的應(yīng)用典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．引申探究若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．解若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程組無解，即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．思維升華充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．跟蹤訓練(1)(2017·山西五校聯(lián)考)已知p：(x－m)2＞3(x－m)是q：x2＋3x－4＜0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析p對應(yīng)的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，q對應(yīng)的集合B＝{x|－4＜x＜1}，由p是q的必要不充分條件可知，BA，∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.(2)設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，則n＝1,2,3,4.當n＝1,2時，方程沒有整數(shù)根；當n＝3時，方程有整數(shù)根1,3，當n＝4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n＝3或4.等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用典例已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．思想方法指導等價轉(zhuǎn)化思想是指在解題中將一些復雜的、生疏的問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題．本題中既有對題目中條件的化簡，又有充分必要條件和集合間關(guān)系的轉(zhuǎn)化．解析∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．即p是q的充分不必要條件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q對應(yīng)的集合為{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．設(shè)M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p對應(yīng)的集合為{x|－2≤x≤10}．設(shè)N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要條件知，NM，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m＜－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))解得m≥9.∴實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．答案[9，＋∞)1．命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”答案B2．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案B解析原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題．因此4個命題中有2個假命題．3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B4．(2018·河南八市聯(lián)考)命題“若a＞b，則a＋c＞b＋c”的否命題是()A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若a＋c＞b＋c，則a＞bD．若a＞b，則a＋c≤b＋c答案A解析否命題是將原命題的條件和結(jié)論都否定，故命題“若a＞b，則a＋c＞b＋c”的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，故選A.5．(2017·廣東名校模擬)王昌齡的《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件．故選B.6．(2017·安徽江南十校聯(lián)考)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析顯然當a＝0時，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)為奇函數(shù)．當f(x)為奇函數(shù)時，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝0，因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的充要條件．7．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.8．下列結(jié)論錯誤的是()A．命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件C．命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題D．命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”答案C解析C項命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0”．若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq\f(1,4)，不能推出m＞0，所以不是真命題．9．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則原命題及命題的逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是________．答案2解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題．10．設(shè)p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析當x>1，y>1時，x＋y>2一定成立，即p?q，當x＋y>2時，可令x＝－1，y＝4，即q?p，故p是q的充分不必要條件．11．已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．答案(0,3)解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．∵p是q的充分不必要條件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a＋1＜4，))解得0＜a＜3.12．有下列幾個命題：①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題．其中真命題的序號是________．答案②③解析①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤；②原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，正確；③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正確．13．(2017·邵陽二模)“m>1”是“函數(shù)f(x)＝3x＋m－3eq\r(3)在區(qū)間[1，＋∞)上無零點”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析函數(shù)f(x)＝3x＋m－3eq\r(3)在區(qū)間[1，＋∞)上無零點，則31＋m>3eq\r(3)，即m＋1>eq\f(3,2)，解得m>eq\f(1,2)，14．已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析方法一命題p為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命題q為{x|a≤x≤a＋1}．綈p對應(yīng)的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，綈q對應(yīng)的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1