第18講等腰三角形（講義）

第18講等腰三角形目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定題型01等腰三角形的定義題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度題型03利用等邊對(duì)等角證明題型04根據(jù)三線合一求解題型05根據(jù)三線合一證明題型06格點(diǎn)圖中畫等腰三角形題型07根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形題型08根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等題型09根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)題型10求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問題題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問題題型15等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題題型16探究等腰三角形中線段間存在的關(guān)系考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型02手拉手模型題型03等邊三角形的判定題型04等邊三角形與折疊問題題型05等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型06等邊三角形有關(guān)的新定義問題題型07利用等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題考點(diǎn)三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理題型01利用垂直平分線的性質(zhì)求解題型02線段垂直平分線的判定題型03線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)等腰三角形的性質(zhì)與判定理解等腰三角形的概念.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的.而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ椭?，所以等腰三角形結(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).等邊三角形的性質(zhì)與判定探索等邊三角形的性質(zhì)定理:等邊三角形的各角都等于60°.探索等邊三角形的判定定理:三個(gè)角都相等的三角形(或有一個(gè)角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等;反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形．等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.1.1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則b2<a6.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．題型01等腰三角形的定義【例1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+kA．3 B．5或9 C．5 D．9【答案】B【分析】當(dāng)m=5或n=5時(shí)，即x=5，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m【詳解】解：∵m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)∴當(dāng)m=5或n=5∴方程為5解得：k此時(shí)該方程為x解得：x1=5此時(shí)三角形的三邊為5，5，1，符合題意；當(dāng)m=n即6解得：k此時(shí)該方程為x解得：x此時(shí)三角形的三邊為3，3，5，符合題意，綜上所述，k的值等于5或9故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系，正確的理解題意是解本題的關(guān)鍵．【變式11】（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·三模）腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為4的等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．6或45 B．6或45或25 C．45或25 D．6或25【答案】B【分析】根據(jù)不同邊上的高為4分類討論，即可得到本題的答案．【詳解】解：①如圖1，

當(dāng)AB=AC=5則BD=故底邊長(zhǎng)為6；②如圖2，△ABC

當(dāng)AB=AC=5則AD=3∴BD=2∴BC=∴此時(shí)底邊長(zhǎng)為25③如圖3，△ABC

當(dāng)AB=AC=5則AD=3∴BD=8∴BC＝∴此時(shí)底邊長(zhǎng)為45故底邊長(zhǎng)為6或45或2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論．【變式12】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知等腰三角形的三邊x、y、z滿足x-42+yA．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性計(jì)算出x、y、z的值，然后根據(jù)等腰三角形的定義計(jì)算即可；【詳解】解：∵x-且x-42≥0，∴x-4=0，y-∴x=4，y=2，∵三角形為等腰三角形，∴a=4或a當(dāng)a=2時(shí)，2+2=4∴a=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，以及絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性、構(gòu)成三角形的條件等知識(shí)點(diǎn)，絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性的準(zhǔn)確應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式13】（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）已知等腰△ABC的邊是方程x2-7A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15【答案】D【分析】利用因式分解法求方程的兩個(gè)根分別是2和5，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵x∴x解得：x1=2，∵等腰△ABC的邊為：2和5∴當(dāng)腰長(zhǎng)為2，底邊為5時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，當(dāng)腰長(zhǎng)為5，底邊為2時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為：5+5+2=12當(dāng)邊長(zhǎng)都為2時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為：2+2+2=6當(dāng)邊長(zhǎng)都為5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為：5+5+5=15故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系及解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法和三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式14】（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）已知△ABC是以AB為一腰的等腰三角形，AB=5，AC邊上的高為4，則△ABC【答案】25或45【分析】分三種情況：AB=AC，且是銳角三角形；AB=【詳解】解：①AB=∵BD⊥AC，且∴AD=∴CD=在Rt△BDC中，由勾股定理得：②AB=由勾股定理得AD=∴CD=在Rt△BDC中，由勾股定理得：③AB=∵BD⊥∴DC=在Rt△BDC中，由勾股定理得：∴AC=2綜上，底邊的長(zhǎng)為25或45或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度【例2】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等腰三角形腰長(zhǎng)為8，面積為16，則底角的度數(shù)為．【答案】75°或15°【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)

則AB=AC=8∴12解得CD=4sinA∴∠A∴∠B當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

則AB=AC=8∴12解得CD=4sin∠∴∠CAD∴∠∴∠B即底角的度數(shù)為75°或15°，故答案為：75°或15°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意要分類討論．【變式21】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB

A．∠1=50° B．∠1=40° C．∠1=35° D．∠1=20°【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC=90°，根據(jù)【詳解】∵CD∴∠ADC∵AB=AC∴∠ABC∴∠1=90°-∠ABC故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式22】．（2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，A，B兩點(diǎn)分別在直線l1，l2上，且l1∥l2，BA=

A．20° B．22° C．24° D．26°【答案】D【分析】先求解∠CAD=180°-∠1=64°，證明∠CEB=∠CAD【詳解】解：如圖，

∵∠1=116°，∴∠CAD∵l1∴∠CEB∵BC⊥∴∠BCA∵AB=∴∠BAC故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是鄰補(bǔ)角的含義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．【變式23】（2023·廣東河源·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分△ABC【答案】55°/55度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，可得∠【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B∴∠ACD∵CE平分△ABC的外角∠∴∠1=1故答案為：55°．【變式24】（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足為E，點(diǎn)D在AE上，且CD平分∠ACB，若∠

【答案】126°/126度【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠ACB=180°-∠B-∠BAC【詳解】解：∵AC=∴∠B∴∠ACB∵AE⊥∴∠AEC∵CD平分∠ACB∴∠DCE∵∠ADC是△∴∠ADC故答案為：126°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，外角定義和性質(zhì)；靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)求解角度是解題的關(guān)鍵．【變式25】（2023·浙江金華·校考一模）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，且BD=1【答案】15°或45°或75°【分析】分點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)、點(diǎn)B是底角頂點(diǎn)、BD在△ABC外部和BD在△【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)時(shí)，

∵AB=BC∴AD∵BD∴BD在Rt△ABD中，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)B是底角頂點(diǎn)，且BD在△ABC

∵BD=1∴BD∴∠BCD∴∠ABC③如圖3，當(dāng)點(diǎn)B是底角頂點(diǎn)，且BD在△ABC

∵BD=1∴BD∴∠C∴∠ABC故答案為：15°或45°或75°．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型03利用等邊對(duì)等角證明【例3】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且

(1)求證：△BDP(2)若PD⊥AB，∠A【答案】(1)見解析(2)70°【分析】（1）根據(jù)AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，得出∠B（2）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C=35°，則【詳解】（1）證明：∵AB=AC，P為∴∠B在△BDP和△∠BDP∴△BDP（2）解：∵∠A=110°，∴∠B∵PD⊥∴∠DPB∵△BDP∴∠DPB∴∠EPD【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形兩直角邊互余，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．【變式31】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD，連接AC，點(diǎn)M為線段AC上一點(diǎn)，連接BM，若AC

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得出∠ABC=∠BMA，進(jìn)而得到∠BCD=∠BMA，再利用平行線的性質(zhì)，得到∠DAC=∠ACB，∠【詳解】證明：∵AC∴∠ABC∵AB∴∠BAM∴∠ABC∵∠ABC∴∠BCD∵AD∴∠DAC=∠ACB∵∠BMA∴∠D在△ADC和△∠D∴△ADC【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式32】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知：?ABCD中，DE=BC

(1)求證：AF=(2)連接AE，當(dāng)AE=AF時(shí)，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中與【答案】(1)見解析；(2)∠ECD，∠DFA，∠BAD【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證明AD=BC,AD∥BC，進(jìn)而得到（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，分別證明∠B+∠ECD=180°，∠B+∠BAD【詳解】（1）（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=∵DE=∴DE=∵BE=∴DF=∵AD∥∴∠ADF∴△ADF∴AF=（2）∠ECD，∠DFA，∠理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥∴∠B+∠由（1）可知，△ADF∴∠DFA=∠ECD∴∠DFA與∠∵AE=∴AE=∴∠B∵∠AEB∴∠B故與∠B互補(bǔ)的角有：∠ECD，∠DFA，∠【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形并進(jìn)行證明．【變式33】（2023·江蘇無錫·校考二模）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC

(1)求證：BE=(2)若AB=8，BC=5，當(dāng)CD⊥【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）先證∠ABE（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AF=2312【詳解】（1）解：∵AB∴∠ABC∵∠EBC∴∠即∠ABE在△ABE與△∠A∴△ABE∴BE（2）過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)

∵AB=AC∴BF∴AF∵CD∴1即12解得：CD=∴BD由（1）得：△ABE∴CE【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．題型04根據(jù)三線合一求解【例4】（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段AB=8，點(diǎn)P在線段AB上，且AP=5，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AP的長(zhǎng)為半徑作孤，兩弧相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接AC，BC，AD，BD，則點(diǎn)C到邊AD的距離是（

A．245 B．485 C．4 D【答案】A【分析】連接CD交AB于E，求出CE，可得CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ACD【詳解】解：連接CD交AB于E，

由作圖可得CD垂直平分AB，AC=∴AE=∴CE=∵AC=AD，∴CD=2設(shè)點(diǎn)C到邊AD的距離為h，∴S△∴h=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段垂直平分線，勾股定理，熟練掌握等面積法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國(guó)臺(tái)灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個(gè)“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm，擺件的高度為12cm．現(xiàn)要在AB上選取一個(gè)位置P安裝掛鉤，在該點(diǎn)與C之間布設(shè)導(dǎo)線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導(dǎo)線連接處等長(zhǎng)度損耗忽略不計(jì)，則最短線路，即CP

A．10cm B．12013cm C．60【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可知，AB=AC=13cm，AH=12cm，BH=CH=12BC,由勾股定理得到BH=5【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥

由題意可知，AB=AC=13cm，∴BH=∴BC=2∴S△即12解得12∴CM=根據(jù)垂線段最短，則CP的最小值即為CM的長(zhǎng)，即CP的最小值為12013故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，邊BC在x軸上，且點(diǎn)B-1,0，點(diǎn)A

A．5 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得OB=1，BD=3，AD=4【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于

∵AB=∴BD=∵點(diǎn)B-1,0，點(diǎn)∴OB=1，BD=3，∴BC=2∴OC=∴S△故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023·陜西西安·校考二模）如圖，等腰△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6，0，OA=AB=5，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（

【答案】12【分析】過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，利用等腰三角形的性質(zhì)求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得AC【詳解】解：過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)

∵OA=∴OC=∴AC=∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是3，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx（k∴k=3×4=12故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與等腰三角形的綜合，利用等腰三角形的性質(zhì)求得反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式44】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D,C,E在直線l上，點(diǎn)A,B在l的同側(cè)，AC⊥

【答案】8【分析】過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，BN⊥CE于點(diǎn)N，證明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，BN【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，BN⊥

則∠AMD∵AC⊥∴∠ACB∴∠ACM∴∠ACM∵AC=BC，∴△ACM∴AM=CN，∵AD=AC，∴DM=∴AM=∴CN=∵BC=BE，∴EN=∴CE=2故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明△ACM題型05根據(jù)三線合一證明【例5】（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC的中點(diǎn)，一個(gè)圓過點(diǎn)A，交邊AB于點(diǎn)E，且與BC相切于點(diǎn)A．線段AE的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)B．線段AB的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)C．線段AE的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)D．線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】如圖所示，連接AD，設(shè)該圓圓心為O，連接OE，OD，先由三線合一定理和切線的性質(zhì)證明A、O、D三點(diǎn)共線，即AD是⊙O【詳解】解：如圖所示，連接AD，設(shè)該圓圓心為O，連接OE，∵AB=AC，D是邊∴AD⊥∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D∴OD⊥∴A、O、D三點(diǎn)共線，即∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，∵OA=∴點(diǎn)O在線段AE的垂直平分線，∴點(diǎn)O是線段AE的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，證明AD是⊙O【變式51】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)(1)求證：DE=(2)請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；你選擇添加的條件是：______（填寫序號(hào)）；添加條件后，請(qǐng)證明四邊形DEBF為菱形．【答案】(1)見解析(2)②，證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=CO,OD=OB然后根據(jù)題意得到（2）選擇添加的條件是：②∠BAC=∠DAC，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠DCA=∠【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，∴OE∴四邊形DEBF是平行四邊形∴DE=（2）選擇添加的條件是：②．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥∴∠∵∠∴∠∴AD∵AO∴AC∵四邊形DEBF是平行四邊形∴平行四邊形DEBF是菱形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式52】（2023·廣西河池·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．以BD為直徑作圓O，交邊AB于點(diǎn)P，連接PC，交AD(1)求證：AD是圓O的切線．(2)若PC是圓O的切線，BC=4，求PE【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得到AD⊥（2）連接OP，通過證明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性質(zhì)得到PC【詳解】（1）∵AB=AC，D∴AD⊥BC∵OD是⊙∴AD是圓O（2）連接OP，∵BC∴BD∵BD∴BO∵EP為⊙∴OP∵OC∴在Rt△OPC中，∴PC∵∠ECD＝∠∴△DEC∴ECOC∴EC3∴EC=∴PE=PC-EC=【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．如果已知切線，連半徑，得垂直；如果證明切線，則連半徑，證垂直．【變式53】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考三模）（1）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，連接OA,OB，從以下三個(gè)信息中選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并寫出你的證明過程．①OA=OB；②CA=CB；③AB（2）在（1）的條件下，若∠AOB=90°，【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16-4【分析】（1）選擇的條件是①②，結(jié)論是③；理由：連接OC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得OC⊥（2）先求出OC，再陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形的面積，即可．【詳解】解：選擇的條件是①②，結(jié)論是③；理由如下：如圖，連接OC，∵OA=OB，∴OC⊥∵OC為⊙O∴AB是⊙O故答案為：①②，③（答案不唯一）；（2）∵∠AOB=90°，OA=4∴AB=∵OA=OB，∴OC⊥AB，∴陰影部分的面積為S△【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，切線的判定，扇形的面積、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．題型06格點(diǎn)圖中畫等腰三角形【例6】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，M、N分別是AB、BC上的格點(diǎn)．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM、PN，則滿足∠A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的兩個(gè)銳角等于45°，構(gòu)造出一個(gè)P點(diǎn)，再畫出△P【詳解】解：如圖，在BC邊上取點(diǎn)P1，使BP1∴NB=∵∠MAN∴△MAN∴MN=NP∵∠ANM∴∠ANM∴△P∴∠M作△P1MN根據(jù)圓周角定理，得∠M故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解答時(shí)需要一定的空間想象能力，模型意識(shí)．【變式61】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，在由邊長(zhǎng)相同的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．再選擇一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，符合點(diǎn)C條件的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】確定AB的長(zhǎng)度后即可確定點(diǎn)C的位置．【詳解】AB的長(zhǎng)等于六邊形的邊長(zhǎng)+最長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)，據(jù)此可以確定共有2個(gè)點(diǎn)C，位置如圖，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓以及等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是確定AB的長(zhǎng)，難度不大．【變式62】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1

(1)在圖1中畫一個(gè)腰長(zhǎng)為5，面積為10的等腰三角形ABC，（點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上）．(2)在圖2中畫出一個(gè)腰長(zhǎng)為10的等腰三角形DEF（點(diǎn)D、E、F在小正方形的頂點(diǎn)上），并直接寫出等腰三角形DEF的底角的正切值為__________．【答案】(1)見解析(2)見解析，7【分析】（1）根據(jù)腰長(zhǎng)和面積求出腰上的高，即可畫圖；（2）根據(jù)勾股定理求解可畫出三角形，過點(diǎn)E作EG⊥DF交DF于點(diǎn)G，由勾股定理求得DF=22，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得【詳解】（1）解：該等腰三角形腰上的高為：10×2÷5=4，AB=

（2）如圖，DE=過點(diǎn)E作EG⊥DF交DF于點(diǎn)DF=22EG=∴tan∠故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，網(wǎng)格內(nèi)作三角形，等腰三角形的性質(zhì)和正切值的計(jì)算，結(jié)合勾股定理作出三角形是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個(gè)即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C，D在格點(diǎn)上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點(diǎn)E在格點(diǎn)上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點(diǎn)F在格點(diǎn)上．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找到格點(diǎn)C,D，根據(jù)AD=BC=2（2）AB,（3）作菱形ABMN對(duì)角線AM,BN交于點(diǎn)F，則【詳解】（1）解：如圖所示，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形，

（2）解：如圖所示，AB,∴AB=∴△ABE

（3）解：如圖所示，∵AB,∴四邊形ABMN是菱形，對(duì)角線AM,BN交于點(diǎn)F∴△ABF

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的定義，菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【例7】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，ED∥BC，BE平分

(1)求證：BD=(2)若BD:BC=2:3【答案】(1)見解析(2)2:1【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠CBE=∠BED，由角平分線的定義可得∠（2）由已知條件可得DEBC=23，再說明△ADE～△ABC可得AEAC=DE【詳解】（1）證明：∵ED∥∴∠CBE∵BE平分∠ABC∴∠DBE∴∠∴BD=（2）解：∵BD:BC=2:3∴DEBC∵ED∥∴△∴AEAC=DE如圖：過D作DG∴S△∴S△

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC

(1)在圖中用直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射線DE(2)在（1）的條件下，判斷△BDE【答案】(1)見解析(2)△BDE【分析】（1）作∠ABC的角平分線BD，作∠（2）利用平行線的性質(zhì)與判定證明∠BDE=∠DBC，結(jié)合角平分線的定義可得△【詳解】（1）解：如圖所示，BD為△ABC的角平分線，∠

（2）解：△BDE∵∠ADE∴DE∥∴∠BDE又∵∠DBC∴∠BDE∴DE=∴△BDE【點(diǎn)睛】本題考查了用尺規(guī)作角平分線，用尺規(guī)作相等的角，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式72】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AB上的一點(diǎn)，C是⊙O上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作AB的垂線，與過點(diǎn)C的切線相交于點(diǎn)P，PD與AC相交于點(diǎn)（1）求證：△PCE（2）連接BC，若AD=OD，AE=258【答案】（1）見解析；（2）65【分析】（1）根據(jù)垂直和切線的性質(zhì)得到∠AED=∠PCA（2）作OF⊥AC于點(diǎn)F，PG⊥AC于點(diǎn)G，連接OE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OF的長(zhǎng)，在Rt△【詳解】（1）證明：∵PD⊥∴∠DAE∵PC是⊙O∴∠PCA∵OA=∴∠DAE∴∠AED∵∠AED∴∠PCA∴PC=PE，即（2）作OF⊥AC于點(diǎn)F，PG⊥AC于點(diǎn)可得OF=12∴EF=∴AF=4，AC∴AB=10，⊙O的半徑為∴CE=∵∠PCE=∠PEC又∵∠∴△∴PCCG∵CG∴PC=故答案為6516【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，是幾何部分的綜合題，第（2）問關(guān)鍵是證明兩個(gè)三角形相似．題型08根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等【例8】（2023·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則

A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出CD=AB=6，∠DAF=∠【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=6∴∠BAF∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∴∠BAF∴∠DAF∴DF∴FC故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．利用平行線與角平分線得出∠DAF【變式81】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖銳角△ABC中，AB=4，BC

【答案】5【分析】過點(diǎn)A作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D，證明△【詳解】解：過點(diǎn)A作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D，則∠1=∠2=

∵∠BAC=2∠∴∠1=∠2=∠C∴AD=CD，∴∠3=∠BAC∵∠B∴△ABD∴ABCB∵AB=∴BD=∴CD=6-∴46∴AC=5故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．【變式82】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，EB

(1)求證：BC=(2)若CE=AB，EA=【答案】(1)見解析(2)36°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DEB=∠BEC（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠A【詳解】（1）解：證明：∵BE平分∠∴∠DEB∴DE∴∠DEB∴∠BEC∴BC（2）∵BC=CE∴BC∴∠C設(shè)∠C∵EA∴∠ABE∴∠EBC∴2x∴∠C【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E

(1)求證：DE=(2)若∠C=120°，直接寫出【答案】(1)見解析(2)150°【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用（2）根據(jù)AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再結(jié)合∠F【詳解】（1）證明：∵AD∥∴∠FED∵AB∥∴∠2=∠F∵BF平分∠ABC∴∠2=∠FBC∴∠F∴DE=（2）∠1=150°，求解過程如下：∵∠C=120°，∴∠EDF又∵∠F∴∠FED∴∠1=180°-∠FED【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的相關(guān)計(jì)算，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型09根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)F為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，當(dāng)∠CBF=22.5°時(shí)，則AF的長(zhǎng)是（

A．22-2 B．116 C．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=1【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，∵∠CBF∴∠ABF∠AFB∴∠ABF∴AF=AB=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，得出∠ABF【變式91】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.若

A．4 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC∴DF=∵∠B∴∠BDF∴DF∴BD=故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式92】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)?？级＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=6，BC=8，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC，CD于M，N兩點(diǎn)，分別以M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BCD的內(nèi)部交于點(diǎn)P，射線CP交AD于點(diǎn)

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意可得：CP是∠BCD的平分線，然后可由角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊得出BF=【詳解】解：由題意可得：CP是∠BCD∴∠BCF∵?ABCD，AB∴AB∥∴∠F∴∠F∴BF=∴AF=故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)、得出BF=BC題型10求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)【例10】（2020·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一點(diǎn)P，使得△PEF是等腰三角形，則點(diǎn)

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況討論：①當(dāng)EF為腰，E為頂角頂點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)EF為腰，F(xiàn)為頂角頂點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)EF為底，P為頂角頂點(diǎn)時(shí)，分別確定點(diǎn)P的位置，即可得到答案．【詳解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，∴EF∴△PEF①當(dāng)EF為腰，E為頂角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)矩形的軸對(duì)稱性，可知：在BC上存在兩個(gè)點(diǎn)P，在AB上存在一個(gè)點(diǎn)P，共3個(gè)，使△PEF②當(dāng)EF為腰，F(xiàn)為頂角頂點(diǎn)時(shí)，∵∴在BC上存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PEF③當(dāng)EF為底，P為頂角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P一定在EF的垂直平分線上，∴EF的垂直平分線與矩形的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，存在兩個(gè)點(diǎn)．綜上所述，滿足題意的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義，矩形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的定義和矩形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類討論思想，是解題的關(guān)鍵．【變式101】（2018·江蘇常州·統(tǒng)考一模）已知直線y=-3x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在拋物線y=-x-3A．8個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】分三種情況考慮：①以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓可找出兩個(gè)點(diǎn)P；②以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓可找出四個(gè)點(diǎn)P；③作線段AB的垂直平分線可找出兩個(gè)點(diǎn)P．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】分三種情況考慮：如圖所示：①以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓，交拋物線于點(diǎn)P1②以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓，交拋物線于點(diǎn)P3③作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點(diǎn)P7

綜上所述：能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為8故選A．【點(diǎn)睛】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰三角形的判定，依照題意畫出圖形，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形解決問題．【變式102】．（2023·廣東河源·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意，分三種情況：當(dāng)BA=BC時(shí)，當(dāng)AB=【詳解】解：如圖所示：分三種情況：①當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為C1②當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為C3③當(dāng)CA=CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為C5，C6，綜上所述：使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有8故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合【例11】（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD，BD分別是∠BAC，∠ABC的平分線，過點(diǎn)D作EF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AE=4，BF

【答案】10【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BD平分∠∴∠BAD=∠CAD∵EF∥∴∠BAD=∠ADE∴∠CAD=∠ADE∴DE=AE=4∴EF=故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式111】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A(2，m)，點(diǎn)P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，則m=．【答案】0或±【分析】由于當(dāng)OP=OA時(shí)，這樣的P點(diǎn)一定有2個(gè)，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，這時(shí)才滿足符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，從而得到m=0，當(dāng)AP=OA時(shí)，可得n=2m，n為任何值均成立，然后將【詳解】設(shè)點(diǎn)P①當(dāng)OP=OA時(shí)，這樣的P點(diǎn)一定有2個(gè)，∴PO=PA不存在，AP=AO也不存在，∴A點(diǎn)在x軸上，此時(shí)m=0．②當(dāng)AP=OA可得n∵點(diǎn)P、O、A能夠成三角形∴n=2m，③當(dāng)OP=PA可得4+∵符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)∴22+m∴將n=2m代入可得2解得m將n=2m代入可得4+解得m故答案為：0或±2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的問題，掌握等腰三角形的性質(zhì)以及判定、勾股定理、解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式112】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB=63，點(diǎn)C在線段AB上，△ACD是底邊長(zhǎng)為6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD為邊在CD的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接MB【答案】9-2【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．連接EC，過點(diǎn)M作MJ⊥CD于J，交AB于T．證明MJ垂直平分線段CD，推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線MJ，當(dāng)BM⊥MJ時(shí)，【詳解】解：如圖，連接EC，過點(diǎn)M作MJ⊥CD于J，交AB于T，過點(diǎn)D作DH⊥∵四邊形EFCD是矩形，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M在對(duì)角線DF，EC的交點(diǎn)，∴MD∵M(jìn)J∴DJ∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線MJ，當(dāng)BM⊥MJ時(shí)，∵DA=DC，∠∴∠A=∠DCA∴CD∴CJ∴CT∵AB=63∴BT∵∠CJT=90°，∴∠BTM∴BM∴BM的最小值為9-2故答案為：9-23【變式113】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)y=kxx>0

(1)求n和k的值；(2)點(diǎn)C是雙曲線上介于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若S△AOC=6(3)過C點(diǎn)作DE∥OA，交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得△DEF是以DE為腰的等腰直角三角形?【答案】(1)n和k的值分別為4，8；(2)C(2,4)(3)點(diǎn)F(-9,6)或(-3,9)【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，解方程組得n、k的值；（2）設(shè)點(diǎn)C(m,8m)，過點(diǎn)C做CG⊥x軸于點(diǎn)G，交OA于點(diǎn)（3）先用待定系數(shù)法求得進(jìn)而求出直線DE的解析式，再分兩種情況進(jìn)行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點(diǎn)；②以DE為直角邊，E為直角頂點(diǎn)．再觀察圖形并利用點(diǎn)的移動(dòng)特點(diǎn)寫出答案．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=kxx>∴2解得n=4故n和k的值分別為4，8；（2）解：∵n∴A設(shè)直線OA的解析式為：y=把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得∴直線OA的解析式為：y=過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線OA于點(diǎn)

設(shè)C(∴H∴S∴1∴m=2或∴C（3）解：∵DE∥OA，直線OA∴設(shè)直線DE的解析式為：y=∵點(diǎn)C(2,4)在直線DE∴4=12×2+∴直線DE的解析式為：y=當(dāng)x=0時(shí)，y∴E0,3，當(dāng)y=0時(shí)，x∴D-6,0

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點(diǎn)；如圖，過F1做FK⊥x軸于點(diǎn)K

∵∠F∴∠F又∵∠DEO∴∠F1DK∴△F∴F故點(diǎn)D到點(diǎn)F1的平移規(guī)律是：D向左移3個(gè)單位，向上移6個(gè)單位得點(diǎn)F∵D(-6,0)，且∴F1(-6-3,0+6)②以DE為直角邊，E為直角頂點(diǎn)；同①理得，將E點(diǎn)向左移3個(gè)單位，向上移6個(gè)單位得點(diǎn)F坐標(biāo)，得F2綜上所述：點(diǎn)F(-9,6)或【點(diǎn)睛】此題考查關(guān)于一次函數(shù)、反比例函數(shù)與動(dòng)態(tài)三角形的綜合題，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確完整地討論等腰直角三角形的各種可能的情況是解此題的關(guān)鍵．題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問題【例12】（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥

①如圖2，小鵬同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在BC上截取BE=BD，連接AE，將線段BC與AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為AD與

②如圖3，小亮同學(xué)從∠D=2∠C這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：作AC的垂直平分線，分別與AC，CD交于F，E兩點(diǎn)，連接AE，將∠D=2∠

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類此分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請(qǐng)你解答．如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點(diǎn)A作AD∥BC（點(diǎn)D與點(diǎn)C在

【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形ABCD中，AD=1003

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1444【分析】（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路，利用垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，可得AE=AD=CE，進(jìn)而可證BC=CE+BE=AD+BD；選擇小亮同學(xué)的解題思路，先證AE=（2）過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明四邊形AEBD是平行四邊形，推出AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E（3）延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作AH⊥DE于點(diǎn)H，作BF⊥DE于點(diǎn)F，先通過導(dǎo)角證明∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得【詳解】解：（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路，證明如下：如圖，

∵BE=BD，∴AB是線段DE的垂直平分線，∴AE=∴∠D∵∠D∴∠AED又∵∠AED∴∠C∴CE=∴CE=∴BC=選擇小亮同學(xué)的解題思路，證明如下：如圖，

∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=∴∠C∴∠AED又∵∠D∴∠D∴AE=∴CE=∵AE=AD，∴BE=∴BC=（2）證明如下：如圖，過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在BC上截取BF=

∵AE∥DB，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴AD=BE，AE=∵∠ADB∴∠E∵∠ABC∴AB⊥又∵BE=BF∴AB是線段EF的垂直平分線，∴AE=∴∠E∵∠E∴∠AFE又∵∠AFE∴∠C∴CF=∴CF=∴BC=（3）如圖，延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作AH⊥DE于點(diǎn)H，作BF⊥

∵∠BCD=∠BAD，∠∴∠BCE∵∠ABC∴∠ABC∵∠ABC∴3∠D∴∠D∴∠BCE又∵BF⊥同（1）可證EF=∵AD=1003，sin∴AH=∴HD=∵∠D∴AD=又∵AH⊥∴HE=∴DE=2∵CD=∴EC=設(shè)EF=x，則∵EF=∴BC=∴BF∵sinD=3∴tanE∴BF=∴34解得x1=32∴BF=∴四邊形ABCD的面積=S【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等，第3問難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，注意應(yīng)用前兩問的結(jié)論．【變式121】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角0<α<180°得到，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并證明；(2)當(dāng)∠ADC=2∠BAC(3)如圖2，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上且AG=AF，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，求證：【答案】(1)CE∥(2)∠(3)證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到∠B=∠DCE，即可證明（2）設(shè)∠BAC=x，則∠ADC=2x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出AC（3）連接CF、CG，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△AGC≌△AFCSAS，得CG=CF，∠AGC=∠【詳解】（1）解：CE∥證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠DCE∵AB∴∠B∴∠B∴CE（2）解：設(shè)∠BAC=x由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=∴∠CAD∴∠ACB∵AB∴∠B在△ABC中，∠∴x解得：x=20°，即∠（3）解：證明：如圖3，連接CF、CG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAC=∠D，CB∴∠CAD∴∠BAC∵AG=AF∴△AGC∴CG=CF∵CA=CD，點(diǎn)F∴CF∴∠AFC∴∠AGC∴∠BGC在Rt△BCG和CB=∴Rt∴BG∴AB【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式122】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB=AC，∠A=50°，將其折疊，如圖2，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，那么

A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC的度數(shù)，再證明∠DBA=∠【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC由折疊可得：DA=∴∠DBA∴∠DBC故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識(shí)點(diǎn)．【變式123】（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E為AD邊的中點(diǎn)，連接BE，CE，點(diǎn)F，G分別是BE，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接FG，將△BFG沿FG折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在邊EC上，若△CGH是以GH為腰的等腰三角形，則

【答案】5011或【分析】當(dāng)GH=CH時(shí)，如圖1所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，則CM=GM=12CG，設(shè)BG=GH=CH=x，則CG=12-x，CM=6-x2，利用勾股定理求出CE=5，證明【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)GH=CH時(shí)，過點(diǎn)H作HM⊥

∴CM=由折疊的性質(zhì)可得BG=設(shè)BG=GH=∴CM=6-∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=12∵E是AD的中點(diǎn)，∴DE=6在Rt△CDE中，由勾股定理得∵AD∥∴∠DEC在Rt△CDE中，∴在Rt△CMH中，∴6-x解得：x=6011∴EH=如圖2所示，當(dāng)GH=CG時(shí)，過點(diǎn)G作GM⊥

∴CH=2由折疊的性質(zhì)可得BG=在Rt△CGM中，∴CH=2∴EH=故答案為：5011或14【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式124】（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考二模）（1）如圖①，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，B'C與AD交于點(diǎn)E

（2）點(diǎn)O是矩形紙片ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，將該紙片沿過點(diǎn)O的線段EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，連接BF，求證：四邊形FBED【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出∠ECA=∠ACB（2）連接BD，證明△DOF≌△BOE(AAS【詳解】解：（1）證明：∵將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B'∴∠ECA∵AD∴∠EAC∴∠EAC∴AE∴△ACE（2）證明：連接BD，

∵將該紙片沿過點(diǎn)O的線段EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)B與點(diǎn)D∴OB=OD∵DF∴∠DFE∵∠DOF∴△DOF∴DF∴四邊形BEDF是平行四邊形，又BD⊥∴四邊形FBED是菱形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折變換、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題．【變式125】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕為AE，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)45°角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕AE上的點(diǎn)N處，連接NF交AM于點(diǎn)P．①∠AEF=②若AB=3，求線段(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE，AF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若點(diǎn)F為CD的三等分點(diǎn)，AB=3，AD【答案】(1)∠EAF(2)①∠AEF=60°，見解析；(3)線段BE的長(zhǎng)為97或2【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得∠EAF（2）①由折疊性質(zhì)可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，結(jié)合∠EAF根據(jù)AN+（3）在AD上取一點(diǎn)J，使得AJ=AB，過點(diǎn)J作JT⊥BC，交AF于點(diǎn)K，連接EK，可得△AJK【詳解】（1）解：∠EAF∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C由折疊性質(zhì)可得：∠BAE=∠MAE∴∠MAE+∠MAF即∠EAF（2）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C由折疊性質(zhì)可得：∠NFE=∠CFE，∠∴∠ANF由操作一得：∠EAF∴△ANF∴∠AFN∴∠AFD∴245°+∠∴∠NFE∴∠AEF②∵△ANF∴AN∵∠AMF=∠ANF∴∠NAP∴△ANP∴AP∵∠NFE=∠CFE∴∠NEF∴∠AEB∵∠B∴∠BAE∴BE∴AE設(shè)PN=∵∠ANP∴AN=3PN∵AN∴3a+∴AP∴PM（3）解：如圖，在AD上取一點(diǎn)J，使得AJ=AB，過點(diǎn)J作JT⊥BC，交AF于點(diǎn)K

當(dāng)DF=2CF時(shí)，∵JK∴△AJK∴AJ∴JK∴JK由（1）可知，EK=設(shè)BE=x，則∵E∴(∴x當(dāng)CF=2DF時(shí)，同理可得綜上所述，線段BE的長(zhǎng)為97或2【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠EAF題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題【例13】（2022·湖北荊門·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角坐標(biāo)系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜邊在x軸上，斜邊長(zhǎng)分別為4，8，12【答案】（2，2022）【分析】先判斷點(diǎn)A2022【詳解】解：∵2022÷4=∴A2022是505個(gè)循環(huán)后的第二個(gè)點(diǎn)，即直角頂點(diǎn)∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度為斜邊的一半，∵A2(2,2)是第A6(2,6)是第A10(2,10)是第A14(2,14)是第…，∵2022=1011×2，∴A2022是第1011∴A2022在第一象限，橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2022∴點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為(2,2022)故答案為：(2,2022)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質(zhì)等，得出縱坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式131】（2022·四川成都·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰RtΔABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC邊在直線a上．將ΔABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1=2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP【答案】1348+6742/【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得出AP1＝2，AP2＝1+2，AP3＝2+2，AP4＝2+22，AP5＝3+22，AP6＝4+22，每三個(gè)一組，進(jìn)而找到規(guī)律即可．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：AP1＝2；AP2＝1+2；AP3＝2+2；AP4＝2+22；AP5＝3+22；AP6＝4+22＝2（2+2）；…．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AP3n＝n（2+2）；AP3n+1＝n（2+2）+2；AP3n+2＝n（2+2）+2+1．∴AP2022＝AP674×3＝674（2+2）＝1348+6742．故答案為：1348+6742．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式132】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角邊AO在x軸上，且AO=1．將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O=2AO，再將Rt△A1OB1，繞原點(diǎn)【答案】-【分析】根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)B2022【詳解】解：∵ΔAOB是等腰直角三角形，∴AB∴B將RtΔAOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形∴每4次循環(huán)一周，B1(2,-2)，B2(-4,-4)，∵2022÷4=505……2，∴點(diǎn)B2022與B∴點(diǎn)B2022(-2故答案為：(-22022，【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式133】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC內(nèi)部作正方形D1E1F1G1，其中點(diǎn)D1，E1分別在AC，BC邊上，邊F1G1在BC上，它的面積記作S1；按同樣的方法在△CD1E1內(nèi)部作正方形D2E2F2G2，它的面積記作S2，S2=，…，照此規(guī)律作下去，正方形DnEnFnGn的面積Sn=．【答案】834【分析】先說明AB=3G1F1、G1F1=3G2F2，再求出AB的長(zhǎng)，然后分別求出第一個(gè)、第二個(gè)正方形的面積，然后尋找規(guī)律，最后再利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AG1=D1G1,BF1=E1F1∵正方形D1E1F1G1，∴F1G1=D1G1=E1F1∴AB=3G1F1同理：G1F1=3G2F2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=2∴正方形D1E1F1G1的邊長(zhǎng)為22×13，正方形D2E2F2∴S2=13222·132∴正方形DnEnFnGn的面積Sn=13n22×故答案為：834，【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、并靈活利用規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵．題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問題【例14】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（異于B點(diǎn)），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，連接CE，則CE______BD（填“<”(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，過D點(diǎn)作DF⊥AD，交直線【答案】(1)=，180-(2)MN(3)15【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=m°，可得∠BAD=∠CAE，證明△（2）如圖②，連接AN，AM，由等邊三角形的性質(zhì)可得AN⊥DE，AM⊥BC，∠DAN=30°，∠BAM=30°，則∠MAN=∠BAD，AN（3）由題意知，F(xiàn)在直線CE上運(yùn)動(dòng)，由（1）可知，∠BCE=180°-∠BAC=90°，即CE⊥BC，如圖③，過A作AO⊥BC于O，則O為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在B點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與G點(diǎn)重合，由AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，可得∠ABC=45°，AO=CO=3，則∠CBG=∠ABG-∠ABC=45°，CG=BC=6，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與C點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到D'點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與F'點(diǎn)重合，則∠OAD'=∠【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠BAD+∠DAC∴∠BAD在△BAD和△∵AB=∴△BAD∴BD=CE，∴∠BCE故答案為：=，180-m（2）解：MNCE如圖②，連接AN，

由題意知，△ABC和△∵M(jìn)、N分別是底邊BC、DE的中點(diǎn)，∴AN⊥DE，AM⊥BC，∵∠DAN=∠DAM+∠MAN∴∠MAN∵ANAD=sin∴ANAD∴△MAN∴MNBD同（1）可證△BAD∴BD=∴MNCE（3）解：由題意知，F(xiàn)在直線CE上運(yùn)動(dòng)，由（1）可知，∠BCE=180°-∠BAC如圖③，過A作AO⊥BC于O，則O為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在B點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與

∵AB=AC，∠BAC∴∠ABC=45°，∵BG⊥∴∠CBG∴CG=當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與C點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到D'點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與F'點(diǎn)重合，則∵∠AO∴△OA∴CF'OD'∵-1<0∴當(dāng)OD'=32當(dāng)點(diǎn)D從D'點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，點(diǎn)F從F'回到∴F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為GC+2∴點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為152【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式141】（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)．求證：(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義得到∠BAC=∠DAE，進(jìn)而得到∠CAE=∠BAD，再證明△BAD（2）過點(diǎn)A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，證明△BAD≌△CAE【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形∴∠BAC=∠DAE，AB∴∠BAC即∠CAE∴△BAD≌△CAE∴BD=（2）證明：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BM于G，AH⊥∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形∴∠BAC=∠DAE，AB∴∠BAC即∠CAE∴△BAD≌△CAE∴∠ABG∵AG⊥BM，∴∠AGB∴△BAG≌△CAH∴AG=∴AM平分∠BME【點(diǎn)睛】本題考查的是“兄弟三角形”的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確理解“兄弟三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式142】（2023·廣東陽江·統(tǒng)考三模）定義：△ABC中，∠A+2∠

(1)下列說法正確的是．①倍余三角形一定是鈍角三角形；②等腰三角形不可能是倍余三角形．(2)如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在直徑BC上(不與B，C重合)，滿足AB=(3)在（2）的條件下，①如圖1，連接AO，若△AOD也為倍余三角形，求∠②如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E，若△ABC面積為△ADE面積的【答案】(1)①(2)見解析(3)①36°或22.5°；②66或【分析】（1）由倍余三角形的定義及等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）由圓周角定理的推論得出∠B+∠C（3）①若∠AOD為鈍角，設(shè)∠OAD=x，則∠DAC=x，∠C=2x，得出∠ADO=3x，即5x=90°，求出∠②如圖3，作AF⊥BC，不妨設(shè)DF=1，CD【詳解】（1）解：①∵△ABC∴∠A∴∠A∴∠C∴倍余三角形一定是鈍角三角形，故①正確，②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A=∠B=30°，故答案為①；（2）證明：∵BC是⊙∴∠BAC∴∠B∵AB∴∠ABD∴∠DAC∴△ACD（3）①如圖1，

∵∠AOD∴∠OAD+2∠ADO當(dāng)2∠OAD+∠ADO又∵∠B∴∠OAC設(shè)∠OAD=x，則∠∴∠ADO即5x∴x即∠C如圖2，∵∠ADC

∴∠OAD+2∠AOD當(dāng)2∠OAD+∠AOD∵∠OAD∴∠OAD設(shè)∠OAD=x，則∠即4x∴x即∠C綜合以上可得∠C為36°或22.5°②如圖3，作AF⊥BC，不妨設(shè)DF=1，CD=x，若△

∵S△∴xx解得x1=4，當(dāng)x=4時(shí)，BC=6，AD=∴ADBC當(dāng)x=12時(shí)，BC=2.5，∴ADBC綜合以上得出ADBC的值為66或【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，新定義倍余三角形的理解與運(yùn)用，熟練掌握與三角形有關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型15等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【例15】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，等腰Rt△ABC中，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD．將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAE，連接ED．若BC=5，則

【答案】5+52/【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.【詳解】∵將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△∴AE=∴AE+AD=∴當(dāng)BD取最小值時(shí)，DE的值最小，則△AED周長(zhǎng)的值最小，當(dāng)BD⊥AC時(shí),∴DE∵△ABC是等腰直角三角形,BC∴DE=5∴AC∴BD∴△AED周長(zhǎng)最小值是故答案為：5+52【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式151】（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（不于B、C重合），連接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延長(zhǎng)線于F，下列結(jié)論：①BE=DE；②△DEF為等腰三角形；③AE

【答案】①②④【分析】證明△AED≌△AEB即可判斷①；進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠EBC+∠EFC=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)得出∠EFD+∠EFC=180°，即可得出∠EBC=∠EFD，進(jìn)而可得∠EDF=∠EFD，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷②；過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，交AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=∵E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，∴∠DAE又∵AE∴△∴BE=DE，故∵∠∴△CED∴∠CDE∵EF⊥BE，∴∠EBC∵∠EFD∴∠EBC∴∠EDF∴EF=又BE=∴BE=EF，即△EBF如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)

則△AGE是等腰直角三角形，四邊形AGHD∴AG=22∵ED∴DH∴DF設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則CF∵E為動(dòng)點(diǎn)，則CF與AE不一定相等；故③不正確；設(shè)AG=bb<∴EC=BF∴EC2∴E即CE<BF，故故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式152】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）（1）如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90o，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在線段BO（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（3）如圖3，若AB=8，點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC=33，連接BC，若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD【答案】（1）AD=BC；（2）AD=BC仍然成立，證明見解析；（【分析】（1）證明△BOC≌△AOD（2）根據(jù)△AOB和△COD是等腰直角三角形得到OA=OB，OC=（3）過點(diǎn)A作AE⊥AB，取AE=AB，連接BE、DE，證明【詳解】解：（1）在△BOC和△BO=∴△BOC∴AD=故答案為：AD=（2）AD=∵△AOB和△∴OA=OB，OC=∴∠AOB+∠AOC∴△AOD∴AD=（3）過點(diǎn)A作AE⊥AB，使得AE=AB，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=∴△BAE∴BEAB∵∠CBD=∠ABE∴∠ABC∴△ABC∴EDAC∴ED=3∵AD≤∴AD的最大值為8+36故答案為：8+36【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式153】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C2,2作x軸垂線，垂足為D，連BC．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、AD向點(diǎn)B和點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，兩者的運(yùn)動(dòng)隨即停止），若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，點(diǎn)

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)CQ∥AB時(shí)，求(3)是否存在這樣的時(shí)刻t，使△CPQ為等腰三角形？若存在，求出t【答案】(1)A-2,0(2)1(3)存在這樣的時(shí)刻t，使△CPQ為等腰三角形，t的值是2s或5【分析】（1）把x=0，y（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BC=2=（3）根據(jù)勾股定理分別求出CP、PQ、CQ的平方，分為三種情況：當(dāng)CP=CQ時(shí)，當(dāng)PQ=【詳解】（1）解：∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于A∴當(dāng)x=0時(shí)，y當(dāng)y=0時(shí)，x∴A(-2,0)，（2）解：∵B0,2，∴BC=2，∵CQ∴四邊形BCQA是平行四邊形，∴AQ∴t（3）解：存在，理由是：如圖1，過P作EF⊥AD，交AD于F，交直線CB于

∵∠AOB=90°，∴∠BAD∵PF∴∠PFA∴∠BAD∵AP∴AP∵AQ∴QF在Rt△PQF中，由勾股定理得：在Rt△DCQ中，由勾股定理得：∵BC∴∠BAD∵∠E∴∠EBP∴EP在Rt△PEC中，由勾股定理得：分為三種情況：①如圖2，當(dāng)CQ=PQ時(shí)，