安徽省長(zhǎng)豐錦弘學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省長(zhǎng)豐錦弘學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.92．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.3．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.4．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件6．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l，若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.47．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.8．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.69．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對(duì)軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.511．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B.C. D.12．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______14．已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.15．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼,為了測(cè)算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1600個(gè)點(diǎn),其中落入白色部分的有700個(gè)點(diǎn),據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為_(kāi)_____________16．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)同時(shí)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入對(duì)方口袋，共進(jìn)行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為_(kāi)_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)和直線.（1）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程；（2）過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，其中為切點(diǎn)，求四邊形PAMB的面積的最小值.18．（12分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過(guò)拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于、、、四點(diǎn)，求的值.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，點(diǎn)分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，且（1）求；（2）求線段的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；（3）直線與，軌跡C及自上而下依次交于D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)，求證：22．（10分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足（其中）；命題q：實(shí)數(shù)x滿足（1）若，為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點(diǎn)，所以故選：A3、C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經(jīng)過(guò)，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見(jiàn)類型：(1)在出的切線：為切點(diǎn)，直接寫(xiě)出切線方程：；(2)過(guò)出的切線：不是切點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)出切線方程：.4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.6、D【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為：①當(dāng)垂直軸時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，整理可得即故選：D7、B【解析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過(guò)周期性求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B8、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C9、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可10、C【解析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)椋?，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.11、B【解析】利用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，求出，即可求出該雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】代入，展開(kāi)整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.14、①.②..【解析】結(jié)合遞推公式計(jì)算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，，因此，由于，又，即，所以，因此?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.15、9【解析】先根據(jù)點(diǎn)數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設(shè)可估計(jì)落入黑色部分概率設(shè)黑色部分的面積為,由幾何概型計(jì)算公式可得解得故答案為:916、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用到直線的距離求得半徑，由此求得圓的方程.（2）結(jié)合到直線的距離來(lái)求得四邊形面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】圓的半徑，圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由四邊形的面積知，當(dāng)時(shí)，面積最小.此時(shí)...18、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為,……3分∴∴拋物線方程為……6分

由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè)，則，……11分∴【解析】（1）設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意得出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)，∴.拋物線方程為：；（2）依題意直線的方程為設(shè)，，則，得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系；由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出拋物線的方程；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義可求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用和項(xiàng)可求得的通項(xiàng)公式，注意別漏了說(shuō)明；（2）先用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時(shí)，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點(diǎn)睛】本題主要考查給出的一個(gè)關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，所以，即.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和21、（1）2（2）（3）證明見(jiàn)詳解【解析】（1）用兩點(diǎn)間的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合已知直接可解；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合（1）中結(jié)論可得；（3）要證，只需證和的中點(diǎn)重合，直接或利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)橫坐標(biāo)，證明其相等即可.【小問(wèn)1詳解】記直線的傾斜角為，則，易得所以因?yàn)?，所以，整理得：【小?wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則即，由（1）知，所