2025屆浙江省名校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆浙江省名校協(xié)作體數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正四棱錐中，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.2．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定5．函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.56．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.7．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.48．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開(kāi)始工作，他決定給自己開(kāi)一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10號(hào)存錢(qián)至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢(qián)次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢(qián)數(shù)比上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日9．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A. B.C. D.10．今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六11．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.1412．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過(guò)F1作∠F1PF2的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若|F1F2|＝6|OH|，則雙曲線(xiàn)C的方程為_(kāi)___14．已知空間向量，且，則___________.15．已知正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________16．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②的圓C的一般方程______①圓心在第一象限；②圓C與圓相交的弦的方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓與軸相切于點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積18．（12分）已知橢圓上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)、的距離之和為4，且右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，記的面積為，當(dāng)時(shí)求的值.19．（12分）已知數(shù)列，若_________________（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解①；②，，；③，點(diǎn)，在斜率是2的直線(xiàn)上20．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為.（1）證明：；（2）已知，為直線(xiàn)上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.21．（12分）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中B點(diǎn)在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.22．（10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線(xiàn)AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對(duì)值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面角的求解，利用向量法可簡(jiǎn)化分析過(guò)程，直接用計(jì)算的方式解決問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項(xiàng).【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；故選：B3、A【解析】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時(shí)，，當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于0，但始終小于0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：A4、A【解析】畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，所以，，，故選：A5、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：C.6、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.7、D【解析】本題首先可以通過(guò)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率存在，然后設(shè)出直線(xiàn)方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過(guò)拋物線(xiàn)的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線(xiàn)的定義、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題8、C【解析】分析可得每月所存錢(qián)數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，分析首次達(dá)到1萬(wàn)元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個(gè)月開(kāi)始，每月所存錢(qián)數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢(qián)后，他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額首次達(dá)到1萬(wàn)元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額首次達(dá)到1萬(wàn)元.故選：C9、C【解析】依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算10、C【解析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，得到除以7余數(shù)是1，然后利用周期性進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：一個(gè)星期的周期是7，則，即除以7余數(shù)是1，即今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期五，故選：11、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.12、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫(xiě)出式子，由遞推式及求和公式寫(xiě)出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因?yàn)?，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題能力，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8x2﹣y2＝1【解析】延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由三角形的中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)的定義、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系，可得雙曲線(xiàn)方程【詳解】解：延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由題意可得PH為邊KF1的垂直平分線(xiàn)，則|PF1|＝|PK|，且H為KF1的中點(diǎn)，|OH|＝|KF2|，由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，則|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，即c＝3a，b＝＝2a，又雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1，知b＝1，所以a＝，所以雙曲線(xiàn)的方程為8x2﹣y2＝1故答案為：8x2﹣y2＝114、【解析】根據(jù)空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，求出的值即可.【詳解】由已知可得，解得.故答案為：.15、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、（答案不唯一）【解析】設(shè)所求圓為，由圓心在第一象限可判斷出，只需取特殊值，即可得到答案.【詳解】可設(shè)所求圓為，即只需，解得：，不妨取，則圓的方程為：.故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長(zhǎng)，再求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心在直線(xiàn)上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點(diǎn)，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問(wèn)2詳解】圓心到直線(xiàn)的距離，則，又到直線(xiàn)的距離為，所以.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得到，，再根據(jù)求解即可.（2）首先設(shè)，，再根據(jù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，即，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，且根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性得，聯(lián)立方程組，整理得，解得，因?yàn)榈拿娣e為3，可得，解得.19、答案見(jiàn)解析.【解析】（1）若選①，根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可；若選②，根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項(xiàng)公式即可；若選③，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式可得，可得數(shù)列為等差數(shù)列進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當(dāng)，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因?yàn)?，，所以，即，所以若選③，由點(diǎn)，在斜率是2的直線(xiàn)上得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列且（2）由（1）知：，所以20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線(xiàn)面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結(jié)合基本不等式求得所求最大值.【小問(wèn)1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知：，則可設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：直線(xiàn)與平面所成角正弦值的最大值為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線(xiàn)定義，可求得，即得拋物線(xiàn)方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設(shè)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可表示出B,C的坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得所設(shè)參數(shù)值，進(jìn)而求得答案.【小問(wèn)1