河南省洛陽一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

河南省洛陽一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：?x＞2，x2＞2x，命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，則下列命題是真命題的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.123．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.4．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.6．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面7．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.338．直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是A. B.C. D.9．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.10．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.11．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名同學(xué)的成績(jī)：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.則這人成績(jī)的第百分位數(shù)可以是______14．二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為______.15．過圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為________16．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其中，，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.18．（12分）如圖，第1個(gè)圖形需要4根火柴，第2個(gè)圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個(gè)圖形需要根火柴（1）試寫出，并求；（2）記前n個(gè)圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知橢圓，其焦點(diǎn)為，，離心率為，若點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心滿足：，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.21．（12分）某車間打算購買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)300元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)的分布列為567.表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件的個(gè)數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個(gè)？22．（10分）已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】取x＝4，得出命題p是假命題，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出命題q是假命題，再判斷選項(xiàng).【詳解】命題p：?x＞2，x2＞2x，是假命題，例如取x＝4，則42＝24；命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命題，∵?x∈R，ln（x2+1）≥0.則下列命題是真命題的是.故選：B.2、C【解析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點(diǎn)弦，同理得：，所以，因?yàn)?，所以，故選：C3、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D4、B【解析】求出不等式的等價(jià)形式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由得或，由得，因?yàn)榛蛲撇怀?，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B5、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進(jìn)而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對(duì)任意的，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關(guān)鍵，另外，在求解有關(guān)等差數(shù)列基本問題時(shí)，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)法來求解.6、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁鏁r(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁妫@3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D7、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C8、A【解析】直線y＝x+1代入，得出關(guān)于x的二次方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出弦長(zhǎng)【詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長(zhǎng)為故選A【點(diǎn)睛】本題查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D11、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.12、C【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用百分位數(shù)的求法直接求解即可.【詳解】解：將所給數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.數(shù)據(jù)量，∵是整數(shù)，∴故答案為：.14、13【解析】根據(jù)二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.15、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程16、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：15三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征可得，利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點(diǎn)，，因?yàn)閳A心在直線：：上，設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，即：.18、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)找到規(guī)律寫出，由等差數(shù)列的定義求.（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和求，再利用裂項(xiàng)相消法求.【小問1詳解】由題意知：，，，，可得每增加一個(gè)正方形，火柴增加3根，即，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，則.【小問2詳解】由題意可知，，所以，則，所以，，即19、（1）（2）【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意得，點(diǎn)，滿足，可得在橢圓上，可得：，且，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，則重心為，由得：，則，此時(shí)與橢圓不會(huì)有兩交點(diǎn)，故不合題意，故；聯(lián)立與橢圓方程,可得，可得，化為，，，①，設(shè)的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,則，，令，則，可得，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式是解決本題的關(guān)鍵.20、（Ⅰ）最大值為，最小值為.（Ⅱ）最大值為，最小值為.【解析】（Ⅰ）切點(diǎn)在函數(shù)上，也在切線方程為上，得到一個(gè)式子，切線的斜率等于曲線在的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個(gè)式子，聯(lián)立可求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）函數(shù)在閉區(qū)間的最值在極值點(diǎn)或者端點(diǎn)處取得，通過比較大小可得最大值和最小值.【詳解】解：（Ⅰ），∵曲線在處的切線方程為，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題.21、（1）答案見解析；（2）應(yīng)選擇.【解析】(1)由每臺(tái)設(shè)備需更換零件個(gè)數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對(duì)應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時(shí)購買零件所需費(fèi)用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為10，11，12，13，14，，，，，，則的分布列為：10111213140.090.30.370.20.04【小問2詳解】記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，，，，，元，記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，，，，元，顯然，所以應(yīng)選擇.22、（1）見解析；（2）2＋4.【解析】（1）由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)易得結(jié)果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|=2.設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周長(zhǎng)【詳解】(1)拋物線y2＝8x