浙江省十校聯(lián)盟選考學考2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

浙江省十校聯(lián)盟選考學考2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.2．設m，n是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列說法錯誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則3．已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.4．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種6．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)及其導函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”.下列選項中沒有“巧值點”的函數(shù)是()A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1411．已知，為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，若，則P點的橫坐標為（）A. B.C.4 D.912．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，，直線與y軸交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值為_________.14．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為_____15．圓關于直線對稱的圓的方程為______16．已知圓錐的母線長為cm，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為____cm.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值18．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由.19．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值20．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.21．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍22．（10分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.2、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項正確；對于選項，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.【詳解】對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關系判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個零點可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個零點令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個零點有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解4、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.5、B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B6、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D7、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B8、C【解析】利用導函數(shù)的圖象，判斷導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，，函數(shù)是增函數(shù)，時，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C9、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個“巧點”，對四個選項中的函數(shù)進行一一的判斷即可【詳解】對于A，，則，令，解得或，即有解，故選項A的函數(shù)有“巧值點”，不符合題意；對于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點的存在性定理可得，在上存在唯一零點，即方程有解，故選項B的函數(shù)有“巧值點”，不符合題意；對于C，，則，令，故方程無解，故選項C的函數(shù)沒有“巧值點”，符合題意；對于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項D的函數(shù)有“巧值點”，不符合題意故選：C10、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和，屬于基礎題型.11、B【解析】設，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B12、B【解析】由題意可設且，即得a、b的數(shù)量關系，進而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設，，，又，P為雙曲線C上一點，∴，又，為的中點，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象和直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)可化為，當直線過點點時，此時直線在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，即,所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：.14、a＝3【解析】對函數(shù)進行求導,分類討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性結(jié)合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當a≤0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點,舍去；②當a＞0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個零點,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究已知函數(shù)的零點求參數(shù)取值問題,考查了分類討論和數(shù)學運算能力.15、【解析】求出圓心關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.故答案為：16、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，即可求出結(jié)果.【詳解】設底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開圖是一個半圓，又圓錐的母線長為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義列方程組，即可得解；（2）求導，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，再和端點值比較即可得解.【詳解】（1）由題意，，因為曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，所以，，又當時，y＝f(x)有極值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.18、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，，有，取，可得，設平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為20、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.21、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關系、根與系數(shù)的關系得到兩個交點坐標間的關系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關系，進而消去得到的不等式進行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】解：