上海市寶山區(qū)淞浦中學2025屆高二上數(shù)學期末檢測試題含解析

上海市寶山區(qū)淞浦中學2025屆高二上數(shù)學期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-22．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.3．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.4．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.5．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．若函數(shù)恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.18．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.9C. D.9．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，10．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.11．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.912．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，，，則公比________.14．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．等差數(shù)列的前n項和分別為，若對任意正整數(shù)n都有，則的值為___________.16．某市有30000人參加階段性學業(yè)水平檢測，檢測結束后的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布，若，則成績在140分以上的大約為______人三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點，當四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.18．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結AB，AC，M為AC的中點.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知等差數(shù)列的公差，前3項和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.21．（12分）已知數(shù)列的前項和，且（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，記數(shù)列的前項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D2、C【解析】設出橢圓的標準方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結果.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.3、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.4、C【解析】設，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，直線的斜率公式，考查了轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.5、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.6、D【解析】分析可知，直線與函數(shù)的圖象有個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，可得，構造函數(shù)，其中，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有個交點，即函數(shù)有個零點.故選：D.7、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當截距都為零時，直線過原點，；當截距不為零時，，.綜上：或.故選：A.8、A【解析】根據(jù)，將式子化為，進而化簡，然后結合基本不等式求得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：A.9、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B10、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故.故選：D.11、B【解析】過分別作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結果【詳解】拋物線=的焦點，準線方程為直線如圖，過分別作垂直于準線，垂足為，過MN的中點作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B12、C【解析】先由cosA的值求出，進而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列中,故,又,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)運用,需要注意分析項與公比的正負,屬于基礎題.14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.15、##0.68【解析】利用等差數(shù)列求和公式與等差中項進行求解.【詳解】由題意得：，同理可得：，所以故答案為：16、150【解析】根據(jù)考試的成績X服從正態(tài)分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分數(shù)段上的人數(shù)【詳解】由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數(shù)為故答案為：150三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點A，B坐標表示出點C，D，M，N的坐標，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關系，借助均值不等式計算得解.【小問1詳解】拋物線的準線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因為點在上，且，則，即，依題意，，設，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點C，點D，同理點M，點N，則，，四邊形的面積有：，當且僅當，即時取“=”，所以當時四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系設平面的法向量為，平面的法向量為，令，則同理可得，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）由，且成等比數(shù)列列式求解出和，然后寫出；（2）由，用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）∵，∴①又∵成等比數(shù)列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴兩式相減，得∴【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設平面的法向量則，令，則，即，設平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯位相減可得，轉化為對任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問1詳解】當時，由，得或（舍去），由，得，①當時，，②由①－②，得，整理得，因為，所以所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列【小問2詳解】由（1）可得，所以，