2025屆黑龍江省東南聯(lián)合體高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆黑龍江省東南聯(lián)合體高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．2．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加3．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位7．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．848．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．9．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．2 D．10．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.14．已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_____.15．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．16．若雙曲線C：（，）的頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則的最小值________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求及的值.21．（12分）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：.22．（10分）在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯(cuò)誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當(dāng)時(shí)，記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)，時(shí)，求且的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.2、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

化簡(jiǎn)集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5、A【解析】

設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.6、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因?yàn)?，則，而，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由，兩邊平方后展開(kāi)整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應(yīng)選答案C．11、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.12、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對(duì)參數(shù)a分類討論，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，的截距沒(méi)有最小值，即z沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，的截距沒(méi)有最大值，即z沒(méi)有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域如下：由，可得出交點(diǎn)，由可得，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知的截距沒(méi)有最小值，即z沒(méi)有最小值；當(dāng)即時(shí)，根據(jù)可行域可知的截距沒(méi)有最大值，即z沒(méi)有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.14、【解析】

由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限，得，且，從而求出實(shí)數(shù)的范圍．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，解不等式，且是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.據(jù)此可知：的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．16、【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線，頂點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C：（，，可得一條漸近線，一個(gè)頂點(diǎn)，所以，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長(zhǎng)，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）在橢圓上，，，，，，，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立消去，得，，則，，設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則.，，，，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）乙同學(xué)正確（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)代入驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的取值為:.，，于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列【點(diǎn)睛】本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則取，則為面法向量．設(shè)為面的法向量，則，即，取，則依題意，則．于是．設(shè)直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值為．20、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中計(jì)算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，變形即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，可得：，∴，或（舍），∵，?（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.21、（1）,；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的