2025屆浙江省紹興市高級中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆浙江省紹興市高級中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或2．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.3．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.4．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，為坐標原點，為橢圓上一點．與軸交于一點，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面，，兩點關于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為.焦點到頂點的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.26．有7名同學參加百米競賽，預賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進入決賽，他還需要知道7名同學成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差7．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.8．某校開學“迎新”活動中要把3名男生，2名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.369．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種10．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.11．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺12．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體的表面積為___________.14．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______15．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______16．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點到右焦點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設點、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點，試問是否存在定點，使得到直線的距離為定值？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說理由.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調(diào)查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.21．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數(shù)列和的通項公式；（2）求和.22．（10分）設橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內(nèi)切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內(nèi)切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內(nèi)切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.2、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.3、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.4、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C5、B【解析】建立平面直角坐標系，利用題設條件得到得點坐標，代入拋物線方程化簡即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當時，故選：B6、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結合題設按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設，7名同學參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進入決賽.故選：C.7、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B8、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A9、B【解析】按涂色順序進行分四步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.10、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D11、B【解析】設影長依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意結合等差數(shù)列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數(shù)列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.12、D【解析】設、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查學生的化歸與轉化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或##或【解析】分兩種情況進行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉，②以邊長為1的邊為軸旋轉．進行解答即可【詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉，表面積兩個底面積側面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉，表面積兩個底面積側面積，即：，故答案為：或14、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：15、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得.故答案為：；16、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個，即等價于時，；時，；利用數(shù)形結合，進行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因為時，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側，的圖像都在的下方；在y軸右側，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數(shù)a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15個；當時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數(shù)a可以?。?，6，7……20一共16個.所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點睛】分離參數(shù)法求零點個數(shù)的問題是轉化為，分別做出和的圖像，觀察交點的個數(shù)即為零點的個數(shù)．用數(shù)形結合法解決零點問題常有以下幾種類型：(1)零點個數(shù)：幾個零點；(2)幾個零點的和；(3)幾個零點的積.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設可知求出，再結合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對稱性可知，代入橢圓方程可求得結果，②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關系，設，，再由條件，得，從而得，再利用點到直線的距離公式可求得結果【詳解】（1）由題設可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設，，①若直線與軸垂直，由對稱性可知，將點代入橢圓方程，解得，原點到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達定理得，整理得，則原點到該直線的距離；故存在定點，使得到直線的距離為定值.18、（1）（2）詳見解析.【解析】（1）由，求導，得到，寫出切線方程；（2）求導，再分，，討論求解.【小問1詳解】解：因為，所以，則，所以，所以曲線在點處的切線方程是，即；【小問2詳解】因為，所以，當時，成立，則在上遞減；當時，令，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增；綜上：當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增；19、（1）；這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用裂項相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點睛】思路點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時