自動(dòng)控制原理課件-第二章-線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章

線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1線性系統(tǒng)的輸入-輸出時(shí)間函數(shù)描述§2-2

線性系統(tǒng)的輸入-輸出傳遞函數(shù)描述

§2-3

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化§2-5

框圖及其簡化方法§2-4

典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型§2-6

信號(hào)流程圖

描述線性輸入-輸出關(guān)系

—數(shù)學(xué)模型

1、時(shí)間函數(shù)

描述

2、傳遞函數(shù)

描述

3、方框圖

描述

4、信號(hào)流圖

描述

涉及的是線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)必須

進(jìn)行線性化處理

系統(tǒng)很復(fù)雜，為方便研究，也為了與實(shí)際對(duì)應(yīng)，通常將復(fù)雜系統(tǒng)分解為若干典型環(huán)節(jié)的連接

數(shù)學(xué)模型的定義數(shù)學(xué)模型： 描述系統(tǒng)變量間相互關(guān)系的動(dòng)態(tài)性能的運(yùn)動(dòng)方程解析法:

依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕砻枋鱿到y(tǒng)模型的基本定律。實(shí)驗(yàn)法:

人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。建立數(shù)學(xué)模型的方法：數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)間域： 微分方程差分方程 狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域： 傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖頻率域： 頻率特性§2-1線性系統(tǒng)的輸入-輸出時(shí)間函數(shù)描述線性系統(tǒng)的輸入-輸出微分方程描述的建立

m-K-f系統(tǒng)

*mBKFKFBy(t)F(t)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)微分方程的一般形式：

R-L-C系統(tǒng)§2-2線性系統(tǒng)的輸入-輸出傳遞函數(shù)描述

傳遞函數(shù)是怎樣定義的

傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù)、零點(diǎn)、極點(diǎn)

系統(tǒng)特征方程

拉氏變換及其反變換拉氏變換的定義拉氏變換的計(jì)算拉氏變換求解方程設(shè)函數(shù)f(t)滿足：

1f(t)實(shí)函數(shù)；

2當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；

3當(dāng)t0時(shí)，f(t)的積分在s的某一域內(nèi)收斂則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實(shí)數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。拉氏反變換的定義拉氏變換的定義其中L－1為拉氏反變換的符號(hào)。指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)

拉氏變換的計(jì)算

幾個(gè)重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωt1(t)1/scosωtt1/(s+a)拉氏變換的主要運(yùn)算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時(shí)定理卷積定理初值定理終值定理拉氏反變換

1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：2.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和§2-2線性系統(tǒng)的輸入-輸出傳遞函數(shù)描述

R(S)—輸入函數(shù)的拉氏變換C(S)—輸出函數(shù)的拉氏變換S—拉氏算子在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。則零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：定義

M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。！零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。零點(diǎn)和極點(diǎn)則微分方程為：例1：RC電路如圖所示依據(jù)：基爾霍夫定律消去中間變量對(duì)上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：可用方框圖表示3)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，即m

n。（m、n分別為分子、分母的最高階次。）4)若輸入為單位脈沖函數(shù)，即r(t)=

(t)，則R(s)=L[r(t)]=1，則這說明此時(shí)系統(tǒng)的g(t)與傳遞函數(shù)G(s)有單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們都可以用來表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。5)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的分母并令其為0，就是系統(tǒng)的特征方程。1)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，是固有特性的描述，反映了線性定常系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的一種關(guān)系式。2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外界輸入無關(guān)基本知識(shí)：單變量函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)法函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項(xiàng)，則：注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程§2-3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如下圖中的

。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為

，當(dāng)很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。AByx0§2-3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。例，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點(diǎn)y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級(jí)數(shù)：y=f(x)y0x0xy小偏差線性化示意圖如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)，上式可寫為

K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化?！?-4典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

比例環(huán)節(jié)如：剛性杠桿、理想運(yùn)放、特征：輸入輸出成比例，不失真，無延遲慣性環(huán)節(jié)特征：輸出不能立即跟隨輸入的變化,T越大，響應(yīng)越慢。τ--慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的處理方法：使用簡單的典型的環(huán)節(jié)模型，通過串、并聯(lián)組成復(fù)雜系統(tǒng)。積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程τ越大，響應(yīng)越慢τ—積分時(shí)間常數(shù)，積分運(yùn)算放大器微分環(huán)節(jié)特征：輸出與輸入的變化成正比帶慣性微分環(huán)節(jié)實(shí)際：一階微分環(huán)節(jié)RC微分網(wǎng)絡(luò)振蕩環(huán)節(jié)1>ζ>0特征：具有一般系統(tǒng)的特征，輸出會(huì)振蕩RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)電路設(shè)0<ζ<1，K=1,輸入信號(hào)r(t)=1(t)，R(s)=1/s，求階躍響應(yīng)。令無阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率如果令振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)純滯后環(huán)節(jié)如：傳送帶、間隙等特征：輸出是輸入的延遲G（s）=當(dāng)輸入信號(hào)變化時(shí)其輸出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定的時(shí)間慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時(shí)間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)！串聯(lián)純微分環(huán)節(jié)§2-6方框圖及其簡化方法

怎樣用方框圖描述系統(tǒng)？

方框圖怎樣變換和簡化？

§2-6方框圖及其簡化方法方框圖表示法

箭頭表示信號(hào)以及指示信號(hào)流動(dòng)方向方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)寫在框內(nèi)33負(fù)載效應(yīng)問題上圖中，后一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸入接到前一個(gè)的輸出，由于存在負(fù)載效應(yīng)，就不能進(jìn)行上述的變換，即方框圖變換

一、環(huán)節(jié)串聯(lián)G(s)=G1(s)*G2(s)C(s)=G2(s)*C1(s)=G2(s)*G1(s)*R(s)G(s)=G1(s)+G2(s)二、環(huán)節(jié)并聯(lián)G(s)=G1(s)-G2(s)-三、反饋回路的簡化四、框圖的變換和簡化

相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)相加點(diǎn)前移相加點(diǎn)后移分支點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移相加點(diǎn)的變位例2-6-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解這是一個(gè)沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時(shí)不需要將分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動(dòng)向同類移動(dòng)G1G2G3H1G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1方塊圖化簡§2-7信號(hào)流程圖信號(hào)流圖表示方法？

梅遜公式的內(nèi)容及用法？

第七節(jié)信號(hào)流程圖一、基本概念信流圖是線性代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)的一種圖形表達(dá)。設(shè)一組線性方程式如下信流圖的表示形式如圖二、常用術(shù)語節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)。支路：起源于一個(gè)節(jié)點(diǎn)，終止于另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間不包含或經(jīng)過第三個(gè)節(jié)點(diǎn)。出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路。源(節(jié))點(diǎn)：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于自變量或外部輸入，如x0。匯節(jié)點(diǎn)：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量，如x6

。開通道：如果通道從某節(jié)點(diǎn)開始終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則該通道稱為開通道。通道：又稱路徑，從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經(jīng)過多個(gè)節(jié)點(diǎn)的支路?；旌瞎?jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)既連接入支路又連接出支路。閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的始點(diǎn)，并且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，該通道稱為閉通道或反饋環(huán)、回環(huán)、回路等。如果從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，只經(jīng)過一個(gè)支路又回到該節(jié)點(diǎn)的，稱為自回環(huán)。前向通道：在開通道中，從源節(jié)點(diǎn)開始到匯節(jié)點(diǎn)終止，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通道，稱為前向通道。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。支路傳輸：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益。通道傳輸或通道增益：沿通道各支路傳輸?shù)某朔e。回環(huán)傳輸或回環(huán)增益：閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。輸入節(jié)點(diǎn)只有輸出的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸入變量。輸出節(jié)點(diǎn)只有輸入的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出變量。輸出節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，可點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)。混合節(jié)點(diǎn)的消除回路的消除自回路的消除串聯(lián)支路的合并并聯(lián)支路的合并信號(hào)代數(shù)運(yùn)算法則五、梅遜(Mason)公式及其應(yīng)用梅遜公式為：T—從源節(jié)點(diǎn)到任何節(jié)點(diǎn)的傳輸；Pk—第k條前向通道的傳輸；Δ—信號(hào)流圖的特征式ΣL1—為所有不同回環(huán)的傳輸之和；ΣL2—為任何兩個(gè)互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣL3—為任何三個(gè)互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；ΣLm—為任何m個(gè)互不接觸的回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和；Δk—與第k條前向通道不接觸的Δ

。梅遜公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[]N(s)梅遜公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+四個(gè)單獨(dú)回路，兩個(gè)回路互不接觸e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––++前向通路兩條信號(hào)流圖afbgchefhgahfced(1g)–bdabc

例2—7—2