一元二次不等式及其解法

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一般地，解一元二次不等式，應(yīng)先整理成ax2+bx+c>0（或<0）的形式，并使a>0，然后通過判別式Δ判斷相應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根的情況，求出方程的根，最后可在草稿紙上畫出示意圖，寫出解集.返回目錄

1.一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系是怎樣的？

當a>0時，一元二次不等式、一元二次方程及二次函數(shù)的關(guān)系如下表：判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實根x1,2=(x1<x2)有兩相等實根

x1=x2=沒有實根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)Rax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}{x|x<x1或x>x2}{

x∈R|x≠

}返回目錄返回目錄解下列不等式：（1）x2+28≥11x;

（2）x2+x>-

;（3）-x2+2x-3>0;

（4）x2<x+56.解：（1）由于4和7是x2-11x+28=0的兩根，

∴x2-11x+28≥0的解集為{x|x≥7或x≤4}.

（2）原不等式化為x2+x+

>0.

∵Δ=0,∴原不等式的解集為

.

（3）原不等式化為x2-2x+3<0,

∵Δ<0,∴原不等式的解集為φ.

（4）原不等式化為x2-x-56<0，而-7和8是x2-x-56=0的兩根，∴原不等式的解集為{x|-7<x<8}.返回目錄學(xué)點二含參數(shù)的不等式的解法解關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.

【分析】由于涉及參數(shù)字母，要分類討論.

【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.

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∴當a>1時，原不等式的解集為{x|x>a或x<1};

當a<1時，原不等式的解集為{x|x>1或x<a};

當a=1時，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}.由于a與1的大小不確定，為了使問題能夠順利解下去，應(yīng)對a與1的大小關(guān)系進行討論，討論時，不要忽略“a=1”這種情況.已知不等式

（a∈R）.（1）解這個關(guān)于x的不等式；（2）若x=-a時不等式成立，求a的取值范圍.解:返回目錄返回目錄返回目錄學(xué)點三一元二次不等式解集的逆向思維已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是或,求不等式ax2-bx+c>0的解集.

【分析】由于不等式的解集已知，那么-2,-

就應(yīng)是方程ax2+bx+c=0的兩根.

【解析】

：由題意，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下，且此圖象與x軸交點的橫坐標分別為-2,-

,故有a<0,返回目錄返回目錄學(xué)點四根的分布問題關(guān)于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2，求實數(shù)m的取值范圍.圖3-2-1

【解析】返回目錄

【評析】二次方程根的分布問題多借助根的判別式、韋達定理或者用數(shù)形結(jié)合法由二次函數(shù)圖象求解.返回目錄圖3-2-2

3.如何研究根的分布問題？

實數(shù)k取何值時，含參數(shù)m的二次方程ax2+bx+c=0

（1）有實根、無實根、有兩個相等實根.

（2）有兩正根、兩負根，一正一負根.

（3）有零根.

（4）有兩個大于k的根，有兩個小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般討論方法通常考慮以下幾個方面:①求根公式.②判別式.③對稱軸.④開口方向.⑤區(qū)間端點處的函數(shù)值.

方法有三類：（一）判別式、韋達定理法；（二）判別式、對稱軸、構(gòu)造函數(shù)法；（三）求根公式法.以下幾類是常見問題：（在a≠0條件下）（1）方程ax2+bx+c=0有實根，有兩不等實根，無實根.主要考慮判別式Δ和二次項系數(shù)a的符號.返回目錄

(2)方程ax2+bx+c=0

有兩正根方程ax2+bx+c=0有兩負根方程ax2+bx+c=0有一正一負兩實根返回目錄返回目錄

(3)方程ax2+bx+c=0有兩個大于n的根（解法類似于有兩正根）

方程ax2+bx+c=0有兩個小于k的根（解法類似于有兩負根情形）方程ax2+bx+c=0一根大于k.另一根小于k(解法類似于一正一負根的情形）

(4)方程ax2+bx+c=0兩根都在（m,n）內(nèi)返回目錄返回目錄

(5)方程ax2+bx+c=0一根在（m,n)內(nèi)，另一根在（p,q)（其中p≥m)內(nèi)返回目錄學(xué)點五恒成立問題

【分析】本題考查恒成立問題，一定要注意m2+4m-5=0的情況.已知函數(shù)y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對任意實數(shù)x，函數(shù)值恒大于零，求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】①當m2+4m-5=0時m=-5或m=1.

若m=-5,則函數(shù)化為y=24x+3.對任意實數(shù)x不可能恒大于0.

若m=1,則y=3>0恒成立.②當m2+4m-5≠0時，據(jù)題意應(yīng)有m2+4m-5>0，16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0.返回目錄∴∴1<m<19.

綜上1≤m<19.m<-5或m>1，1<m<19，

【評析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件為

a>0,

Δ<0.

（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件為

a<0,

Δ<0.返回目錄不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)對任意x∈R恒成立，求a與m之間的關(guān)系.解：返回目錄已知f(x)=x2-2ax+2,當x∈［-1,+∞)時f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)的圖象的對稱軸為x=a,①當a∈(-∞,-1)時，結(jié)合圖象知，f(x)在［-1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a，解得-3≤a<-1;②當a∈［-1,+∞）時，f(x)min=f(a)=2-a2,

由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.

綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，即Δ=4a2-4(2-a)≤0Δ>0,

或a<-1,解得-3≤a≤1. f(-1)≥0,返回目錄返回目錄設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.解：以m為主元構(gòu)造函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),問題轉(zhuǎn)化為f(m)在［-2,2］內(nèi)恒為負值.

故有

f(-2)<0

-2x2-2x+3<0

f(2)<0

2x2-2x-1<0

故x的取值范圍為

.小結(jié)：法一利用參變量分離法，化成a>f(x)(a<f(x))型恒成立問題，再利用a>fmax(x)(a<fmin(x))求出參數(shù)范圍。

法二化歸為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)對稱軸與定義域的位置關(guān)系、單調(diào)性等相關(guān)知識，求出參數(shù)范圍。

法三特值驗證法，此法抓住本題是選擇題的特征，顯得較為簡便。

法四化成f(x)≥g(x)型問題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理。

2.如何解含參數(shù)的不等式？對于含有參數(shù)的不等式，由于參數(shù)的取值范圍不同，其結(jié)果就不同，因此必須對參數(shù)進行分類討論，即要產(chǎn)生一個劃分參數(shù)的標準.一般地，對于一元一次不等式，劃分的標準是一次項系數(shù)大于0、等于0、小于0.對于形如ax2+bx+c>0的不等式劃分標準有幾種類型：（1）a>0,a=0,a<0；（2）Δ>0,Δ=0,Δ<0;

（3）若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則x1>x2,x1=x2,x1<x2.

以上三種都有可能作為解含參數(shù)的二次不等式分類討論劃分的標準.而對于含參數(shù)的絕對值不等式,討論符號可以作為劃分的標準.掌握劃分標準后,就可以對不同范圍的參數(shù)分別解不等式,但每一類參數(shù)對應(yīng)的不等式的解都是原不等式的解的一種可能,它們之間是獨立的,因而不能把不同參數(shù)下的解集求并集.這些一定要注意.返回目錄一樣的軟件不一樣的感覺一樣的教室不一樣的心情一樣的知識不一樣的收獲

1.一bx+c的函數(shù)值為零時對應(yīng)的x值;一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零的x的取值范圍;一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是一元二次不等式ax2+bx+c<0,

ax2+bx+c>0的解集端點.

2.解一元二次不等式時，必須注意二次項的系數(shù)的符號，當a<0時，可以利用不等式的性質(zhì)化為正數(shù)，然后再求解.