專(zhuān)題17平行線常見(jiàn)幾何模型（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（浙教版）

專(zhuān)題1.7平行線常見(jiàn)幾何模型（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【模型一】豬蹄型已知：如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D=∠E.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作MN//AB.∵M(jìn)N//AB（作輔助線）.∴∠B=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵M(jìn)N//AB（輔助線），AB//CD（已知）∴MN//CD（平行于同一直線的兩直線互相平行）∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1+∠2=∠BED（等式性質(zhì)）∴∠B+∠D=∠BED（等量代換）拓展與延伸：延伸與拓展：朝左的角之和=朝右的角之和【模型二】鉛筆型解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（2）過(guò)點(diǎn)E作一條直線EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性質(zhì)）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代換）（3）過(guò)點(diǎn)E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性質(zhì)）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代換）延伸與拓展：根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n2）條輔助線，運(yùn)用（n1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n組同旁內(nèi)角，n個(gè)角的和是180（n1）°．【模型三】前揚(yáng)角型∠B=∠E+∠C過(guò)點(diǎn)E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性質(zhì)）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代換）【模型四】后翻角型結(jié)論：∠C=∠E+∠B證明：過(guò)點(diǎn)E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性質(zhì)）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代換）【模型五】潛望鏡模型如下圖：【模型六】綜合型∠B+∠E∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC綜上所述：幾個(gè)幾何模型共同點(diǎn)：都是通過(guò)作輔導(dǎo)線達(dá)到角度大小轉(zhuǎn)化目的?！究键c(diǎn)1】豬蹄型模型；【考點(diǎn)2】鉛筆型模型；【考點(diǎn)3】前揚(yáng)角型模型；【考點(diǎn)4】后翻角型模型；【考點(diǎn)5】潛望鏡模型；【考點(diǎn)6】樓梯模型.【考點(diǎn)一】豬蹄型模型【例1】（2024上·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱(chēng)為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【靈活應(yīng)用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數(shù)．【答案】（1），理由見(jiàn)分析；（2）【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并能熟練應(yīng)用．（1）過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理可得，從而利用對(duì)頂角相等可得，然后利用“豬蹄模型”可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1），理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（2），，，，，由（1）可得：，，．【舉一反三】【變式1】（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一塊含有角的直角三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)放在直線，上，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)題意可得，結(jié)合，可求出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．解：根據(jù)題意得，又，，，，故選：B．【變式2】（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）已知直線，現(xiàn)將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②④【分析】本題考查平行線的判斷和性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，判斷①，鄰補(bǔ)角求出的度數(shù)，判斷②，過(guò)點(diǎn)作，利用平行線的判定和性質(zhì)，判斷③和④．掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．解：由題意，得：，∴，∴，故①正確；∵，∴，，∴；故②正確；過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴；故③錯(cuò)誤，④正確；故答案為：①②④．【考點(diǎn)二】鉛筆型模型【例2】（2020下·江西南昌·七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀第（1）題解答過(guò)程填理由，并解答第（2）題．（1）已知：如圖1，，為之間一點(diǎn)，求的大?。猓哼^(guò)點(diǎn)作，（已知），______________，，，，．（2）我們生活中經(jīng)常接觸小刀，小刀刀柄外形是一個(gè)直角梯形（挖去一個(gè)小半圈）如圖2，刀片上、下是平行的，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成和，那么的大小是否會(huì)隨刀片的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變？說(shuō)明理由．

【答案】（1）平行于同一條直線的兩直線平行；（2）不改變，理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）如解圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)平行線的判定定理可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠APM，∠2=∠CPM，再根據(jù)∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，即可得出結(jié)論．解：（1）過(guò)點(diǎn)作，（已知），（平行于同一條直線的兩直線平行），，，，．故答案為：平行于同一條直線的兩直線平行．（2）不改變，理由如下如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，由題意可得（已知），∠APC=90°（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1=∠APM，∠2=∠CPM，∵∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，∴∠1＋∠2=∠APM＋∠CPM=90°．∴的大小不會(huì)隨刀片的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變.【點(diǎn)撥】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法、平行線的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示是賽車(chē)跑道的一段示意圖，其中，測(cè)得，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】略【變式2】（2023上·甘肅·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C島在A島的北偏東方向上，B島在A島的北偏東的方向上，C島在B島的北偏西方向上，從C島看A島、B島的視角．

【答案】/110度【分析】根據(jù)方向角，平行線的性質(zhì)可得答案．解：如圖，作出點(diǎn)C的正北方向，

則，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，角的和，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】前揚(yáng)角型模型【例3】（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類(lèi)比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過(guò)作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過(guò)作，，∵，∴，，，故答案為：20．【舉一反三】【變式1】（2023下·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，，，則為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)E作，過(guò)H作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．解：過(guò)E作，過(guò)H作，∵，∴，∵，∴，，∴，同理∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．

【點(diǎn)撥】此題考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答．【變式2】（2022下·西藏那曲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，則，，的關(guān)系是.

【答案】【分析】過(guò)作，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，，的關(guān)系．解：過(guò)作，

，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】后翻角型模型【例4】（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接、，平分交于．（1）如圖1，，，則______；（2）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，求；（3）當(dāng)點(diǎn)在下方，若，，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，并求出的度數(shù)，交于點(diǎn)．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得出因?yàn)槠椒?可以得出，再由平行線的性質(zhì)推出；（2）過(guò)點(diǎn)作，使，設(shè)，則，由平行線的性質(zhì)可得出，，由是角平分線可以求得，最后根據(jù)平角的定義求出;（3）本題分兩種情況討論：當(dāng)在左側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)作,設(shè)，則,根據(jù)平分線定義，推出，再有平行線性質(zhì)得出，求出，最后得出；當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，則,由平行線的性質(zhì)得出，因?yàn)槠椒郑?，由得?再由平行線的性質(zhì)得出，.（1）解：過(guò)點(diǎn)作，使

，，，，，，，平分，，，，，，，，（2）解：過(guò)點(diǎn)作，使，

，，，，設(shè)，則，，，，，，平分，，，，，，，，.（3）解：①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，使，

，，，，，，，，設(shè)，則，，平分，，，，，，，②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，使，

，，，，設(shè)，則，，，，，，，平分，，，，，，，，或答：的度數(shù)為【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，角度的計(jì)算，關(guān)鍵要理解并且會(huì)應(yīng)用平行線的性質(zhì)求角度，還要注意分類(lèi)討論的思想.【舉一反三】【變式1】（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】略【變式2】（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在矩形的對(duì)邊上．如果，那么的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算即可．解：如圖：

∵在中，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】潛望鏡模型【例5】（2023上·甘肅天水·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的是一個(gè)潛望鏡模型示意圖，，代表鏡子擺放的位置，并且與平行，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，滿足，．證明離開(kāi)潛望鏡的光線平行于進(jìn)入潛望鏡的光線．請(qǐng)補(bǔ)全下述證明過(guò)程：∵，∴______．∵，，∴．∵，______，∴______．∴______．【答案】；；；（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)平行線判定推出即可．解：∵，∴．∵，，∴．∵，，∴．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答．【舉一反三】【變式1】（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小穎繪制一個(gè)潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行性的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，由，可得，進(jìn)而可求．解：由題意知，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，即，，∵，∴，∴，故選：B．【變式2】（2020上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖所示的光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，則可判斷進(jìn)入潛望鏡和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的，依據(jù)是：．【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求解．解：∵ABCD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠EFG＝∠FGH，∴EFGH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)撥】此題主要是綜合考查了平行線的判定和性質(zhì)，牢記內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【考點(diǎn)六】樓梯模型【例6】（2022下·甘肅隴南·七年級(jí)?？计谀┬瞧谔煸绯?，小剛和爸爸正在商量往樓梯上鋪地毯的事，如圖所示，爸爸：“小剛，你幫我算一下，從一層鋪到二層需要地毯幾米？”小剛：“我早已用盒尺量好了，每階高，寬為

…”爸爸：（打斷小剛的話）“不量每階的高度和寬度，你想想有沒(méi)有辦法？”小剛：（思索）“有了，只需要量出樓梯的總高和總長(zhǎng)度再相加，就行了．”你認(rèn)為小剛的方法可以嗎？說(shuō)明理由．【答案】可以，理由見(jiàn)分析【分析】根據(jù)題意可知地毯的寬度是確定的，求出長(zhǎng)即可，再量出樓梯的總高和總長(zhǎng)度相加得出答案．解：可以，如圖所示：根據(jù)圖示可得：地毯的總長(zhǎng)度cm=3.15m．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平移的應(yīng)用，確定地毯的長(zhǎng)與樓梯的高和長(zhǎng)度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022下·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一段樓梯，，，若在樓梯上鋪地毯至少要（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個(gè)矩形，則AB+BC即為所求．解：∵△ABC是直角三角形，BC=