專題07分式方程及其應(yīng)用（舉一反三）

專題07分式方程及其應(yīng)用【八大題型】TOC\o"13"\h\u【題型1由分式方程的解求參數(shù)】 2【題型2解分式方程】 4【題型3由分式方程無解或存在增根求參數(shù)】 4【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】 7【題型5由實際問題抽象出分式方程】 9【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用】 11【題型7中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】 17【題型8中考最熱考法之以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】 21【知識點分式方程及其應(yīng)用】1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程與實際問題解有關(guān)分式方程的實際問題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答。【題型1由分式方程的解求參數(shù)】【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4k【答案】k=0,x=73或k=94，x=23；k【分析】去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程為一元一次方程，即k=0，為一元二次方程，即k≠0，分別求解．而當(dāng)方程為一元二次方程時，又分為Δ=0(方程有等根，滿足方程恰好有一個實數(shù)解)，若Δ>0，則方程有兩不等實根，且其中一個為增根，而增根只可能為【詳解】解：兩邊同乘x2-x,若k=0若k≠0，由題意，知Δ解得k1當(dāng)k1=94時，x1若方程有兩不等實根，則其中一個為增根，當(dāng)x1=1時，k=2當(dāng)x1=0時，k=【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程．關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程的特點及題目的條件分類討論．【變式11】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知x=1是方程m2-x-1A．-2 B．2 C．-4 D【答案】B【分析】將x=1【詳解】解：將x=1代入方程，得解得：m故選：B．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=1代入原方程中得到關(guān)于m【變式12】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）下列分式方程中，解為x=A．4x-1=1x B．x【答案】C【分析】根據(jù)方程解的意義，使方程左右兩邊相等的式子值叫方程的解，分別代入判斷即可．【詳解】當(dāng)x=A．4x-1=1x中，左邊B．x+1x2-1=0中，C．2x-1+1D．2x+1-1x故答案是：C【點睛】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是正確理解分式方程解的意義，做題時要考慮分母是否為0的情況．【變式13】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）若關(guān)于x的不等式組3x+54≤x+32x+A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無解可求得a的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據(jù)解為整數(shù)，且y-2≠0，即可求得滿足條件的所有整數(shù)【詳解】3解不等式①，得x≤1解不等式②，得x>因為關(guān)于x的不等式組3xa-解得a≥2解關(guān)于y的分式方程5-ayy=∵6a-1為整數(shù)，a∴a=2或a=3或∴滿足條件的所有整數(shù)a的和=2+3+7=12．故選：B．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【題型2解分式方程】【例2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n37b2a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把【詳解】解：當(dāng)x=n時，3x當(dāng)x=2時，2x+1當(dāng)x=n時，2x解得n=-1經(jīng)檢驗，n=-1∴b=3×故答案為：52；【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023·四川·中考真題）關(guān)于x的分式方程2x-1【答案】x【分析】把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可解決問題．【詳解】解：2兩邊乘x+1x-解得x=-2檢驗：把x=-2代入x+1x∴x=-2故答案為：x=-2【點睛】此題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，注意解分式方程必須檢驗．【變式22】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）解分式方程：xx【答案】-【分析】方程兩邊同時乘以x+1【詳解】xxxx-x=-經(jīng)檢驗，x=-故原方程的解為：x=-【點睛】本題考查了求解分式方程的知識，掌握相應(yīng)的求解方程，是解答本題的關(guān)鍵．注意：解分式方程時，要將所求的解代入原方程進(jìn)行檢驗．【變式23】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx小?。航猓喝シ帜福脁去括號，得x合并同類項，得3=解得x∴原方程的解是x小迪：解：去分母，得x去括號得x合并同類項得2解得x經(jīng)檢驗，x=2你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】都錯誤，見解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；解：去分母，得x+(去括號，得2x解得，x=1經(jīng)檢驗：x=1【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【題型3由分式方程無解或存在增根求參數(shù)】【例3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程xx-1A．1 B．-1 C．2 D．【答案】B【分析】先化分式方程為整式方程，令分母x-1=0，代入整式方程計算【詳解】因為xx去分母得：x+解得：m因為分式方程xx所以x-1=0，即：所以m=故選B．【點睛】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程中關(guān)于增根的解題方法．【變式31】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚：?x（1）她把這個數(shù)“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；（2）小華的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的數(shù)是【分析】（1）“？”當(dāng)成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答.【詳解】（1）方程兩邊同時乘以(x5+3(解得

x經(jīng)檢驗，x=0是原分式方程的解（2）設(shè)？為m，方程兩邊同時乘以(xm由于x=2所以把x=2mm所以，原分式方程中“？”代表的數(shù)是1.【點睛】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式32】（2023·黑龍江雞西·校考二模）若關(guān)于x的分式方程1x-2+axA．a(chǎn)≠32 B．a(chǎn)≠-1 C．a(chǎn)=-1【答案】D【分析】先解分式方程得到-a【詳解】解：1去分母得：1-ax去括號得：1-ax移項得：-ax合并同類項得：-a∵關(guān)于x的分式方程1x∴a+1≠0∴a+1≠0∴a≠32故選D．【點睛】本題主要考查了分式方程有解的問題，正確解方程得到-a【變式33】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）若關(guān)于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y【答案】26【分析】根據(jù)分式方程2y+ay-4+2a【詳解】∵解分式方程2y解得：y=∵y≠4∴a≠8∵x+33≤2+3x6的解集為∵x+33≤∴4＜解得6＜故a的整數(shù)解為7，8，9，10，∵a≠8故符合題意a的整數(shù)解為7，9，10，∴7+9+10=26，故答案為：26．【點睛】本題考查了解分式方程，不等式組的整數(shù)解，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】【例4】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程ax+2=1-3xA．a(chǎn)<-1且a≠-2 B．a(chǎn)C．a(chǎn)<-2且a≠-3 D．a(chǎn)【答案】D【分析】直接解分式方程，進(jìn)而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．【詳解】解：去分母得：a=解得：x=∵分式方程ax∴a+1<0，x+2≠0，即解得：a<-1且a故選：D．【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關(guān)鍵．【變式41】（2023·黑龍江雞西·?？寄M預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程x+mx-2A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6【答案】D【分析】利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：x+方程兩邊同乘(x-2)解得，x=∵6-m∴m由題意得，6-m解得，m<6實數(shù)m的取值范圍是：m<6且m故選：D．【點睛】本題考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步驟、分式方程無解的判斷方法是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程mx+6=1，對于方程的解，甲、乙兩人有以下說法：甲：當(dāng)m<4時，方程的解是負(fù)數(shù)；乙：當(dāng)A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都錯【答案】B【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根據(jù)參數(shù)的取值范圍求解即可．【詳解】m去分母得，m=解得x=要使分式方程有解，x+6≠0∴m-∴m≠0∴當(dāng)m<4時，m∴x<-2∴當(dāng)m<4，且m當(dāng)m>6時，m∴x>0∴乙說法正確．故選：B．【點睛】本題考查分式方程含參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的增根的定義：使分式方程的最簡公分母等于0的根叫做分式方程的增根．【變式43】（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x+23>x2+14x+a<【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得a≤5，再解分式方程可得a>-2且a≠1，從而可得-2<a【詳解】解：x+2解不等式①得：x<-2解不等式②得：x<-∵關(guān)于x的不等式組x+23>∴-a解得a≤5方程a+2y-解得y=∵關(guān)于y的分式方程a+2∴a+23解得a>-2且a∴-2<a≤5且則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為-1+0+2+3+4+5=13故答案為：13．【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關(guān)鍵．【題型5由實際問題抽象出分式方程】【例5】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）用計算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入x個數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是（）A．26402x=C．26402x=【答案】D【分析】設(shè)乙每分鐘能輸入x個數(shù)據(jù)，則甲每分鐘能輸入2x個數(shù)據(jù)，根據(jù)“甲比乙少用2小時輸完”【詳解】解：設(shè)乙每分鐘能輸入x個數(shù)據(jù)，則甲每分鐘能輸入2x由題意得26402故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動車平均提速60kmh，動車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時間相同．設(shè)動車提速后的平均速度為xkmh，則下列方程正確的是（A．360x=480x+60 B．360x【答案】B【分析】根據(jù)提速前后所用時間相等列式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得360x故選：B．【點睛】本題考查了列分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式52】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）為了落實“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球，已知每個籃球的價格比每個足球的價格多20元，用1500元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購進(jìn)足球的數(shù)量多5個，如果設(shè)每個足球的價格為x元，那么可列方程為（

）A．1500x+20-800x=5 B．1500【答案】A【分析】設(shè)每個足球的價格為x元，則籃球的價格為x+20元，根據(jù)“用1500元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購進(jìn)足球的數(shù)量多5個【詳解】解：設(shè)每個足球的價格為x元，則籃球的價格為x+由題意可得：1500x故選：A．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．【變式53】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的14．在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物12天，運完全部貨物．求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（A．14+1C．141+1【答案】B【分析】設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列出分式方程即可求解．【詳解】解：設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程14故選：B．【點睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用】【例6】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點P的縱坐標(biāo)是．

【答案】250【分析】設(shè)圖象交點P的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35【詳解】解：設(shè)圖象交點P的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35∴m-解得m=250經(jīng)檢驗m=250∴兩圖象交點P的縱坐標(biāo)是250．故答案為：250【點睛】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息、列分式方程解決實際問題，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2①此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為________．（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高_(dá)_______米．③已知人行道臺階CE，DF高均為0.3米，按照國家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于+【答案】(1)原計劃每天修20米(2)①y=-0.3x2+10.8；【分析】（1）設(shè)原計劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后運用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③【詳解】（1）解：設(shè)原計劃每天修x米則根據(jù)題意可得：2400解得：x=-25或經(jīng)檢驗，x=20答：原計劃每天修20米．（2）解：①根據(jù)題意可得：C設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y由題意可得：0=36a-所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y②∵車的寬度為4米，車從正中通過，∴令x=4時，y∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6-0.5=5.5（米）．③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點G的縱坐標(biāo)為令y=0.3，則有：0.3=-0.3x2∴人行道臺階的寬度為：FG∴人行道寬度設(shè)計達(dá)標(biāo)．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征等知識點，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．【變式62】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽禮盒的進(jìn)價比肉粽禮盒的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用2500元購進(jìn)的肉粽和用2000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價；(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折．該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A廠家購買應(yīng)付y1元，去B廠家購買應(yīng)付y①分別求出y1，y2與②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為50元和40元(2)①y1=32x（x≥0且x為整數(shù)）；y2=40x0≤x≤25且x為整數(shù)32x+300【分析】（1）設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價為a+10（2）①根據(jù)售價與數(shù)量、單價間的關(guān)系即可列一次函數(shù)得解；②由y1=y2得【詳解】（1）解：設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價為a+102000方程兩邊乘aa+10解得a檢驗：當(dāng)a=40時，∴a=40a答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為50元和40元．（2）解：①y1=40×80%x=32當(dāng)0≤x≤25且x當(dāng)x>25且x為整數(shù)時，∴y②當(dāng)x>25且xy1=x由圖象可知：購買粽子禮盒少于75盒，去A廠家購買劃算；購買粽子禮盒等于75盒，去A廠家或B廠家購買一樣劃算；購買粽子禮盒多于75盒，去B廠家購買劃算．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)得解析式，分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，正確找出等量關(guān)系列分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）某班家委會討論決定購買A，B兩種型號的口罩供班級學(xué)生使用，已知A型口罩每包價格a元，B型口罩每包價格比A型少4元，180元錢購買的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)經(jīng)與商家協(xié)商，購買A型口罩價格可以優(yōu)惠，其中每包價格y（元）和購買數(shù)量x（包）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，B型口罩一律按原價銷售．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若家委會計劃購買A型、B型共計100包，其中A型不少于30包，且不超過60包．問購買A型口罩多少包時，購買口罩的總金額最少，最少為多少元？【答案】(1)10(2)①y=100<x≤30-0.1x+13【分析】（1）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到a的值；（2）①根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；②根據(jù)題意和①中的結(jié)果，可以得到購買A型口罩多少包時，購買口罩的總金額最少，最少為多少元．【詳解】（1）解：由題意可得，180a-解得，a1=10,經(jīng)檢驗，a1但a2∴a=10（2）解：①由圖象可得，當(dāng)0<x≤30時，y當(dāng)30<x≤50時，設(shè)y=kx+b30k+b即當(dāng)30<x≤50時，當(dāng)x>50時，y由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=②設(shè)購買A型口罩x包，則購買B型口罩100-x包，購買的總金額為W當(dāng)30≤xW=-0.1x∴當(dāng)x=50時，W取得最小值，此時W當(dāng)50<xW=8∵k=2>0∴W隨著x的增大而增大，∴700<W由上可得，購買口罩的最小金額為700元，答：購買A型口罩50包時，購買口罩的總金額最少，最少為700元．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【題型7中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】【例7】（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進(jìn)一步激發(fā)觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進(jìn)價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進(jìn)25個．(1)求第二批每個掛件的進(jìn)價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進(jìn)價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)40元(2)售價定為55元時，最大利潤是1350元【分析】（1）設(shè)第二批每個掛件的進(jìn)價為x元，則第一批每個掛件的進(jìn)價為1.1x（2）設(shè)每個售價定為m元，每周所獲利潤為W元，則可列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“每周最多能賣90個”得出m的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解答：解：(1）設(shè)第二批每個掛件進(jìn)價是每個x元，根據(jù)題意得33001.1解得x=40經(jīng)檢驗，x=40∴x=40答：第二批每個掛件進(jìn)價是每個40元；（2）設(shè)每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤W元，∵每周最多能賣90個，∴40+10×60-m解得m≥55根據(jù)題意得W=(∵-10>0∴當(dāng)m≥52時，y隨x∵m≥55∴當(dāng)m=55時，W取最大，此時W∴當(dāng)每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．【點睛】本題綜合考查分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．【變式71】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）隨著新能源汽車的普及，我國新能源汽車的保有量已經(jīng)處于世界第一，解決汽車快速充電技術(shù)已經(jīng)成為新能源汽車發(fā)展的主要研究方向，從2023年開始，4C甚至6C的快速充電方案已經(jīng)開始逐步落地．據(jù)測試數(shù)據(jù)顯示，使用6C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程（汽車所能行駛的路程）比采用4C技術(shù)提高了50%，若采用6C充電技術(shù)，續(xù)航里程480公里的充電時間，比采用4C充電技術(shù)續(xù)航里程【答案】60公里【分析】設(shè)采用4C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程為x公里，則采用6C充電技術(shù)的續(xù)航里程為【詳解】解：設(shè)采用4C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程為x公里，則采用6C充電技術(shù)的續(xù)航里程為根據(jù)題意，得4801+50解得：x=40經(jīng)檢驗，x=40當(dāng)x=40時，1+50答：采用6C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程為60【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系，列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式72】（2023·云南昭通·統(tǒng)考一模）瑞兔迎春，福滿萬家吉祥物“兔圓圓”拉開2023央視總臺兔年春晚的帷幕．豎直的耳朵、微昂的腦袋、挺起的胸脯等設(shè)計巧思，彰顯出奮進(jìn)向上的精氣神，某商店用1500元購進(jìn)了一批“兔圓圓”玩具，過了一段時間，又用3500元購進(jìn)一批“兔圓圓”玩具，所購數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，但每個“兔圓圓”玩具的價格比第一次購進(jìn)的價格貴了5元．(1)商店第一次購進(jìn)“兔圓圓”玩具多少個？(2)若該商店兩次購進(jìn)的“兔圓圓”玩具按相同的標(biāo)價銷售，全部售完后利潤不低于1150元，則每個“兔圓圓”玩具的標(biāo)價至少是多少元？【答案】(1)50個(2)41元【分析】（1）設(shè)商店第一次購進(jìn)“兔圓圓”玩具x個，則第二次購進(jìn)2x個，然后根據(jù)每個“兔圓圓”玩具的價格比第一次購進(jìn)的價格貴了5（2）設(shè)每個“兔圓圓”玩具的標(biāo)價為m元，先求出兩次一共購進(jìn)“兔圓圓”玩具的個數(shù)，然后根據(jù)利潤=售價×銷售量-成本列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)商店第一次購進(jìn)“兔圓圓”玩具x個，則第二次購進(jìn)2x根據(jù)題意，得1500x解得x=50經(jīng)檢驗，x=50答：商店第一次購進(jìn)“兔圓圓”玩具50個；（2）解：設(shè)每個“兔圓圓”玩具的標(biāo)價為m元，50+50×2=150（個），根據(jù)題意，得150m解得m≥41∴每個“兔圓圓”玩具的標(biāo)價至少為41元．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）京東發(fā)布的《2023春節(jié)假期消費趨勢》顯示：消費者春節(jié)期間購物品類更加多元，也在節(jié)日之外更“日?；?，其中預(yù)制菜成交額同比增長超6倍．春節(jié)期間，某超市分別用2000元和1600元購進(jìn)A，B兩類同等數(shù)量的預(yù)制菜禮盒，已知B類預(yù)制菜禮盒每盒進(jìn)價比A類預(yù)制菜禮盒每盒便宜20元，A，B兩類預(yù)制菜禮盒每盒的售價分別是130元和120元．(1)求A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是多少元；(2)第一次進(jìn)的貨很快銷售一空，該超市決定第二次購進(jìn)A，B兩類預(yù)制菜禮盒共30盒，且購進(jìn)的A類預(yù)制菜禮盒數(shù)量不少于B類預(yù)制菜禮盒數(shù)量的2倍，該超市第二次如何進(jìn)貨才能在銷售完該次所進(jìn)預(yù)制菜禮盒后，獲得最大利潤？并求出最大利潤（此處指銷售第二次所進(jìn)預(yù)制菜禮盒的利潤）．【答案】(1)A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是100元和80元；(2)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒20盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒10盒，所獲利潤最大，最大利潤為1000元．【分析】（1）設(shè)每盒A類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價是x元，則每盒B類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價是x-20元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用2000元和1600元購進(jìn)A，B兩類同等數(shù)量的預(yù)制菜禮盒，即可得出關(guān)于（2）設(shè)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒m盒，總利潤為w元，根據(jù)購進(jìn)的A類預(yù)制菜禮盒數(shù)量不少于B類預(yù)制菜禮盒數(shù)量的2倍，求出m的取值范圍，再表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定最大利潤時進(jìn)貨方案，進(jìn)一步求出最大利潤即可．【詳解】（1）解：設(shè)每盒A類禮盒的進(jìn)價是x元，則每盒B類禮盒的進(jìn)價是x-依題意得：2000x解得x=100經(jīng)檢驗，x=100∴x-答：A，B兩類預(yù)制菜禮盒的進(jìn)價各是100元和80元；（2）解：設(shè)購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒m盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒30-m盒，總利潤為w根據(jù)題意得m≥2解得m≥20w=∵-10<0∴w隨著m的增大而減少，當(dāng)m=20時，w取得最大值，最大值為100030-20=10（盒），答：購進(jìn)A類預(yù)制菜禮盒20盒，則購進(jìn)B類預(yù)制菜禮盒10盒，所獲利潤最大，最大利潤為1000元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程或不等式或函數(shù)解析式去求解．【題型8中考最熱考法之以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用】【例8】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？【答案】46株【分析】根據(jù)單價=總價÷數(shù)量結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)6210文能買x株椽，依題意，得：3x解得：x=46或x=45（舍），經(jīng)檢驗：x=46是原方程的解，∴6210文能買46株椽．【點睛】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2023·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著之一．它總結(jié)了我國戰(zhàn)國、秦漢時期的數(shù)學(xué)成就．其中有一題，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．問善行者幾何里及之大意為：現(xiàn)今有不善行者先走10里，善行者再按同路追趕不善行者