河南省平頂山市汝州市有道實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）

2024-2025學(xué)年河南省平頂山市汝州市有道實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.把一元二次方程，配成的形式，則p、q的值是(

)A.， B.， C.， D.，2.如圖，已知直線，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則(

)A.

B.

C.

D.13.已知，則的值是(

)A. B. C. D.4.如圖，在中，，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，，，則(

)A.2

B.3

C.4

D.5.如圖，如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，P為BC上一點(diǎn)，且，D為AC上一點(diǎn)，若，則CD的長(zhǎng)是(

)A.

B.

C.

D.6.如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則為(

)A.

B.

C.

D.7.一個(gè)不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的10個(gè)白球和若干個(gè)紅球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再?gòu)目诖镫S機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約為(

)A.60個(gè) B.50個(gè) C.40個(gè) D.30個(gè)8.若m，n是方程的兩根，則的值是多少？(

)A.4 B. C. D.9.如圖，，，點(diǎn)D在邊BC上與B、C不重合，四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：

①；

②：：2；③；

④，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.

1 B.

2 C.

3 D.

410.已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)，，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______.12.某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬(wàn)個(gè)．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么方程是______.13.某電腦的密碼是兩位數(shù)字，如果陌生人想打開該電腦，那么他一次就能打開電腦的概率是______.14.如圖，矩形ABCD中，，，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，________.

15.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊AB上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，交外角的平分線于點(diǎn)F，若，則FG的長(zhǎng)為______.

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題8分

如圖，一個(gè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)為60m，寬為40m，廣場(chǎng)內(nèi)兩條縱向小路的寬均為，如果設(shè)兩條橫向小路的寬都為xm，那么當(dāng)x為多少時(shí)，小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個(gè)矩形相似？17.本小題8分

某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價(jià)進(jìn)了一批紀(jì)念品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲元，其銷售量將減少10件．根據(jù)規(guī)定：紀(jì)念品售價(jià)不能超過批發(fā)價(jià)的倍．

當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為元時(shí)，商店每天能賣出______件；

如果商店要實(shí)現(xiàn)每天800元的銷售利潤(rùn)，那該如何定價(jià)？18.本小題8分

如圖1，將邊長(zhǎng)為2的正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi).

如圖2，若將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)______.

如圖3，若將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo).19.本小題8分

為響應(yīng)垃圾分類處理，改善生態(tài)環(huán)境的號(hào)召，某小區(qū)將生活垃圾分成四類：廚余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分別記為a、b、c、d，且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱：“廚余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分別記為A，B，C，

如果將一袋有害垃圾任意投放進(jìn)垃圾箱，則投放正確的概率是______；

小明將家里的廚余垃圾、可回收垃圾分裝在兩個(gè)袋中，用畫樹狀圖或列表的方法求這兩袋垃圾都投放正確的概率．20.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

若，，求EF的長(zhǎng)；

若G是EF的中點(diǎn)，連接BG和DG，求證：21.本小題8分

如圖，在中，CD是邊AB上的高，且，

求的大??；

求證22.本小題8分

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，，，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

求證：；

若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．23.本小題8分

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分，，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

求證：∽

若，，求的值.

在的條件下，______直接寫答案

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查解一元二次方程-配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)用配方法解方程．

移項(xiàng)后，兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可得．

【解答】解：，

，即，

則，，

故選2.【答案】C

【解析】解：，

，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，根據(jù)比例性質(zhì)得，于是得到

本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3.【答案】D

【解析】解：由，得

，

，

故選：

根據(jù)等式的性質(zhì)，可用b表示a，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．

本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用勾股定理解答即可．

【解答】

解：在中，，CE為AB邊上的中線，，

，

，

，

為AB邊上的高，

在中，

故選5.【答案】C

【解析】解：為等邊三角形，

，

又，且，

，

∽，

，

，，

，

，

故選：

由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可求得

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，由條件能找到是解題的關(guān)鍵，注意三角形外角性質(zhì)的靈活運(yùn)用．6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．

由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，，由等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和得出，再運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．

【解答】

解：四邊形ABCD是正方形，

，，，

是等邊三角形，

，，

，，

，

；

故選：7.【答案】C

【解析】解：小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，則有800次摸到紅球，

白球與紅球的數(shù)量之比為1：4，

白球有10個(gè)，

紅球有個(gè)

故選

由條件共摸了1000次，其中200次摸到白球，則有800次摸到紅球；所以摸到白球與摸到紅球的次數(shù)之比可求出，由此可估計(jì)口袋中白球和紅球個(gè)數(shù)之比，進(jìn)而可計(jì)算出紅球數(shù)．

本題考查的利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．解答此題的關(guān)鍵是要計(jì)算出口袋中白色球所占的比例．8.【答案】A

【解析】解：，n是方程的兩根，

，，

，

故選：

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，然后利用完全平方公式求出，進(jìn)而可得答案．

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．9.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的面積，矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．

由正方形的性質(zhì)得出，，證出，由AAS證明≌，得出，①正確；證明四邊形CBFG是矩形，得出，②正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出，③正確；證出∽，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出，④正確．

【解答】

解：四邊形ADEF為正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，①正確；

，

，

，，

，

，，

四邊形CBFG是平行四邊形，

又，

四邊形CBFG是矩形，

，，②正確；

，，

，③正確；

易證，

，，

∽，

，

，④正確；

故選10.【答案】D

【解析】解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作于

四邊形OABC是菱形，

，，，A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，

，

此時(shí)最短，

在中，，

，

，

，，

點(diǎn)B坐標(biāo)，

直線OB解析式為，直線AD解析式為，

由解得，

點(diǎn)P坐標(biāo)

故選：

如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作于首先說明點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)，求出直線OB、DA，列方程組即可解決問題．

本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問題、坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置，構(gòu)建一次函數(shù)，列出方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考常考題型．11.【答案】

【解析】解：方程有實(shí)數(shù)根，

，

解得：

若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．

本題考查擦的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12.【答案】

【解析】解：七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，

八月份的產(chǎn)量為萬(wàn)個(gè)，九月份的產(chǎn)量為萬(wàn)個(gè)，

故答案為

本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.

根據(jù)七月份的產(chǎn)量表示出八月和九月的產(chǎn)量即可列出方程．13.【答案】

【解析】解：這兩個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)都有，10種情況，

這個(gè)兩位數(shù)字共有種等可能的結(jié)果，

陌生人一次就能打開電腦的結(jié)果有1種，

他一次就能打開電腦的概率是，

故答案為：

先判斷出共有種等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論．

本題考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．判斷出共有100種等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．14.【答案】1或4或

【解析】【分析】

本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，需要分類討論，以防漏解.需要分類討論：∽和∽，根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度.

【解答】

解：①當(dāng)∽時(shí)，，

即，

解得：，或；

②當(dāng)∽時(shí)，，即，

解得：

綜上所述，DP的長(zhǎng)度是1或4或

故答案是1或4或15.【答案】

【解析】解：過點(diǎn)F作于H，于N，設(shè)的外角為，

平分，，，

，，

，

，

，

，

，

，

點(diǎn)E是邊AB上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，

，

，

將線段EC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

過點(diǎn)F作于H，于N，由“HL”可證，可得，可證，由勾股定理可求FC的長(zhǎng)，通過證明∽，可得，即可求解．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．16.【答案】解：小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個(gè)矩形相似，

，

解得，，

答：當(dāng)x為1m時(shí)，小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個(gè)矩形相似．

【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，解出x的值即可．

本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：；

設(shè)實(shí)現(xiàn)每天800元利潤(rùn)的定價(jià)為x元/個(gè)，根據(jù)題意，得

整理得：

解之得：，

物價(jià)局規(guī)定，售價(jià)不能超過批發(fā)價(jià)的倍．即

不合題意，舍去，得

答：應(yīng)定價(jià)4元/個(gè)，才可獲得800元的利潤(rùn)．

【解析】解：每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲元，其銷售量將減少10件，

當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為元時(shí)，商店每天能賣出：件；

故答案為：450；

見答案．

直接利用每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲元，其銷售量將減少10件，進(jìn)而得出當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為元時(shí)，商店每天能賣出的件數(shù)；

利用銷量每件利潤(rùn)，進(jìn)而得出等式求出答案．

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．18.【答案】

【解析】解：如圖，作軸于D，則，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故答案為：

如圖，連接OB，過點(diǎn)B作軸于E，則，，

，

在中，，

在中，，，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

作軸于點(diǎn)D，則，，求出AD和OD，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

連接OB，過點(diǎn)B作軸于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為，可得，求出，再利用勾股定理求出OB，然后在中，利用含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BE和OE，進(jìn)而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造含的直角三角形．19.【答案】

【解析】解：將一袋有害垃圾任意投放進(jìn)垃圾箱有4種等可能結(jié)果，其中投放正確的只有1種結(jié)果，

投放正確的概率是，

故答案為：；

列表如下：ABCDABCD所有等可能的情況數(shù)有16種，其中垃圾投放正確的有1種，

垃圾投放正確的概率為

直接利用概率公式求解可得答案；

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.【答案】解：四邊形ABCD是矩形，

，，

，

平分，

，

，

，，

，

在中，利用勾股定理可得：

；

連接CG，

因?yàn)槭堑妊苯侨切?，G為EF中點(diǎn)，

，

又，

在和中，

，

≌

【解析】先證明是等腰直角三角形，得到，同理可得，在中利用勾股定理可求EF；

連接CG，在等腰直角中，證明，，然后用SAS證明≌，則

本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決這類問題時(shí)，特殊四邊形中有角平分線一般涉及了等腰三角形性質(zhì)，證明線段相等一般利用全等三角形的性質(zhì)．21.【答案】解：是邊AB上的高，

，