3.1 因數(shù)與倍數(shù)（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數(shù)學五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.1因數(shù)與倍數(shù)第一部分第一部分學問清單在整數(shù)乘法算式中，兩個乘數(shù)都是積的因數(shù)，積是任何一個乘數(shù)的倍數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，不能單獨說一個數(shù)是因數(shù)或一個數(shù)是倍數(shù)爭辯因數(shù)與倍數(shù)時，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。12×1=1212和1是12的因數(shù)，12是12和1的倍數(shù)。其次部分其次部分典型例題例1：甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，丙數(shù)是乙數(shù)的因數(shù)。那么丙數(shù)是甲數(shù)的（

）。A．倍數(shù) B．公倍數(shù) C．因數(shù) D．公因數(shù)答案：C分析：設甲、乙、丙分別為A、B、C；依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義可得：A＝xB，B＝y(tǒng)C，故A＝xyC，所以甲數(shù)是丙數(shù)的倍數(shù)，丙數(shù)是甲數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：解：設甲、乙、丙分別為A、B、C；可得：A＝xBB＝y(tǒng)C即：A＝xyC。所以，甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，丙數(shù)是乙數(shù)的因數(shù)。那么丙數(shù)是甲數(shù)的因數(shù)。故答案為：C點睛：本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，留意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。例2：48÷6＝8，()和()是()的因數(shù)，()是()和()的倍數(shù)。答案：68484868分析：因數(shù)和倍數(shù)的意義：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均為非0的自然數(shù)）中，a、b就是c的因數(shù)，c就是a、b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)的特點：因數(shù)和倍數(shù)兩個不同的概念是相互依存的，不能單獨存在。詳解：48÷6＝8換成乘法算式為8×6＝48，則6和8是48的因數(shù)，48是6和8的倍數(shù)。例3：由于1.2÷0.4＝3，所以1.2是3的倍數(shù)。()答案：×分析：只在自然數(shù)（零除外）范圍內爭辯倍數(shù)和因數(shù)。假如a×b＝c（a、b、c都是非0的自然數(shù)）那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。詳解：1.2÷0.4＝3，1.2和0.4都是小數(shù)，不在因數(shù)、倍數(shù)的爭辯范圍，所以1.2不是3的倍數(shù)。原題干說法錯誤。故答案為：×例4：下面哪些數(shù)是12的因數(shù)？哪些數(shù)是18的因數(shù)？哪些數(shù)既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)？1

2

3

4

6

12

18答案：12的因數(shù)：1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)：1、2、3、6、18；既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)：1、2、3、6分析：依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，當a×b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)）我們說c是a和b的倍數(shù)，a和b是c的因數(shù)。據(jù)此解答。詳解：12的因數(shù)：1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)：1、2、3、6、18；既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)：1、2、3、6。點睛：此題是考查因數(shù)的意義，留意不要忽視a、b、c為非0自然數(shù)這點。：基礎過關練一、選擇題1．由于5×8＝40，所以8是40的（

）。A．質因數(shù) B．公因數(shù) C．因數(shù) D．倍數(shù)2．質數(shù)的倍數(shù)（

）。A．肯定是質數(shù) B．肯定是合數(shù) C．可能是質數(shù)也可能是合數(shù)3．4×3＝12，4和3都是12的（

）。A．倍數(shù) B．因數(shù) C．公倍數(shù) D．公因數(shù)4．我們學過的很多數(shù)學學問之間有著親密的聯(lián)系，下面（

）不能正確表示它們之間的關系。A． B．C． D．5．下列說法正確的有（

）個。（1）5和7沒有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)。（2）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是8，個位上的數(shù)字是b，這個數(shù)可表示為8b。（3）方程肯定是等式，等式不肯定是方程。（4）3的倍數(shù)肯定是9的倍數(shù)，9的倍數(shù)也肯定是3的倍數(shù)。（5）若（a、b為非0自然數(shù)），則a和b的最小公倍數(shù)是ab。A．1 B．2 C．3 D．46．下列說法正確的是（

）。A．9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，4的倍數(shù)都是8的倍數(shù)。B．a(chǎn)是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，那么a肯定是c的倍數(shù)。C．一個大于0的自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，不是質數(shù)就是合數(shù)。D．甲和乙都是質數(shù)，那么甲和乙的積肯定也是質數(shù)。7．a(chǎn)是一個質數(shù)，則5a的因數(shù)有（

）個。A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題8．15的因數(shù)有()，其中是質數(shù)的有()，這幾個質數(shù)就是15的()。9．mn＝k（m，n，k是非0自然數(shù)），m和n是k的()，k是m和n的()。10．3×4＝12，()和()是12的因數(shù)，12是3和4的()。11．一個數(shù)的最小倍數(shù)是14，那么它的最大因數(shù)是()。12．在45÷9＝5中，5和9是45的()，45是5的()，也是9的()。三、推斷題13．由于2.4÷0.6＝4，所以2.4是0.6的倍數(shù)。()14．3的倍數(shù)不肯定是9的倍數(shù)。()15．由于40×0.9＝36，所以36是0.9的倍數(shù)。()16．一個自然數(shù)（0除外）的因數(shù)是有限的，倍數(shù)個數(shù)是無限的。()17．由于24÷8＝3，所以24是倍數(shù)，8是因數(shù)。()18．假如一個數(shù)是12的倍數(shù)，那么它肯定是3和6的倍數(shù)。()：培優(yōu)提升練四、解答題19．小熊餅干每袋有7塊。把下表填寫完整，并填空。袋數(shù)1234567餅干塊數(shù)714（1）小熊餅干的塊數(shù)肯定是7的（

）。（2）表中7的倍數(shù)有（

）。20．你能寫出幾個乘積是24的算式嗎？21．用一張邊長24分米的正方形紙片正好能裁剪成若干張長4分米、寬3分米的小長方形紙片，一共能夠裁剪成多少張？22．觀看后面一組自然數(shù)。284、122、128、366、460、1728…（1）找出能被4整除的數(shù)。（2）認真觀看能被4整除的這些數(shù)的末兩位，看看能否被4整除。你有什發(fā)覺？把它寫下來。（3）要使326□，能被4整除，□里可填（

），（

），（

）。23．21的因數(shù)有哪些？21是哪些數(shù)的倍數(shù)？

1．C分析：依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，當a×b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)）我們說c是a和b的倍數(shù)，a和b是c的因數(shù)。質因數(shù)表示因數(shù)里面的質數(shù)，公因數(shù)表示兩個數(shù)公有的因數(shù)。詳解：由于5×8＝40，所以8是40的因數(shù)，不是40的質因數(shù)、倍數(shù)和公因數(shù)。故答案為：C點睛：此題是考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，留意不要忽視a、b、c為非0自然數(shù)這點。2．C分析：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質數(shù)；除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。據(jù)此舉例說明。詳解：3是質數(shù)，3的倍數(shù)有3、6、9、12…，其中3是質數(shù)，其它數(shù)除了1和它本身，還有3等因數(shù)，即都是合數(shù)。則質數(shù)的倍數(shù)可能是質數(shù)，也可能是合數(shù)。故答案為：C點睛：一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，則質數(shù)的最小倍數(shù)還是質數(shù)，但其它倍數(shù)都是合數(shù)。3．B分析：依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：假如數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由于12÷3＝4，12÷4＝3，所以3和4都是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)。4×3＝12，4和3都是12的因數(shù)。故答案為：B點睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，應明確倍數(shù)和因數(shù)是相對的，一個不能獨立存在。4．B分析：A．等式包含方程，方程是等式的一種。據(jù)此解答；B．依據(jù)質數(shù)、奇數(shù)的意義，一個自然數(shù)，假如只有1和它的倍數(shù)兩個因數(shù)，這樣數(shù)叫做質數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。據(jù)此解答；C．一個非0的自然數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身。據(jù)此解答；D．兩個數(shù)的公有因數(shù)叫做這兩個數(shù)的公因數(shù)，據(jù)此求解。詳解：A．表示方程是特殊的等式，關系圖表示正確；B．2是質數(shù)，但是2不是奇數(shù)，所以關系圖表示錯誤；C．a(chǎn)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等，關系圖表示正確；D．如：a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a的因數(shù)有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；b的因數(shù)有1、2、5、7、10、14、35、70；它們的公有的因數(shù)有1、2、5、10；關系圖表示正確。故答案為：B點睛：本題考查了方程與等式的關系、因數(shù)倍數(shù)質數(shù)、奇數(shù)以及公因數(shù)的意義。5．B分析：（1）先列舉出5和7的因數(shù)、倍數(shù)，再求出它們的公因數(shù)和公倍數(shù)，即可得出答案；（2）由于十位上的數(shù)字是幾就表示幾個十，個位上的數(shù)字是幾就表示幾個一，由此得出兩位數(shù)的表示方法：十位數(shù)字×10＋個位數(shù)字；（3）方程是含有未知數(shù)的等式，表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式相等關系的式子叫做等式；（4）舉例說明：6是3的倍數(shù)，但是6不是9的倍數(shù)；（5）由于a、b都是非0的自然數(shù)，b－a＝1，那么a和b是互質數(shù)，是互質數(shù)的兩個數(shù)，它們的最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積；據(jù)此推斷即可。詳解：（1）5的因數(shù)有1和5，7的因數(shù)有1和7，5和7的公因數(shù)是1；所以說5和7沒有公因數(shù)，錯誤。5的倍數(shù)有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70……7的倍數(shù)有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70……5和7的公倍數(shù)有35、70……所以5和7有公倍數(shù)，正確。所以5和7沒有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)，說法錯誤。（2）這個兩位數(shù)可寫成8×10＋b＝80＋b，所以原題說法錯誤。（3）依據(jù)方程與等式的意義可知，方程肯定是等式，但等式不肯定是方程，說法正確。（4）由以上分析，6是3的倍數(shù)，但是6不是9的倍數(shù)；因此9的倍數(shù)肯定是3的倍數(shù)，但3的倍數(shù)不肯定是9的倍數(shù)，原題說法錯誤。（5）由于a、b都是非0的自然數(shù)，b－a＝1，那么a和b是互質數(shù)，則a和b的最小公倍數(shù)是ab，說法正確。說法正確的有2個。故答案為：B點睛：此題主要考查了求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，方程與等式的關系，公因數(shù)等學問，要嫻熟把握。6．B分析：依據(jù)倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)等學問依次分析各個選項即可。詳解：A．9的倍數(shù)最小的是9，9除了有1和它本身2個約數(shù)外，還有3，所以9的倍數(shù)也都是3的倍數(shù)，這是正確的；4是4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)，所以說法錯誤；B．依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：假如數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。那么，a是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，那么a肯定是c的倍數(shù)，所以說法正確；C．一個大于0的自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這是正確的；但是1是自然數(shù)，1既不是質數(shù)也不是合數(shù)，所以說法錯誤；D．舉例：2×3＝6，2和3是質數(shù)，6是合數(shù)，所以說法錯誤。故答案為：B點睛：此題考查的有：①4、8、3、9的倍數(shù)特征。②奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)與自然數(shù)的關系。留意1既不是質數(shù)也不是合數(shù)。③倍數(shù)和因數(shù)的意義。7．C分析：依據(jù)找一個數(shù)的因數(shù)的方法，可以一對一對的找，最小的是1，最大的是它本身。依此即可求解。詳解：a是一個質數(shù)，則5a的因數(shù)有1，5，a，5a，一共有4個。故答案為：C點睛：此題主要考查求一個數(shù)的因數(shù)的方法。8．1、3、5、153、5質因數(shù)分析：質數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。先應用列乘法算式法找到15的全部因數(shù)，再依據(jù)質數(shù)的概念，找出是質數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：，，所以15的因數(shù)有1，3，5，15，其中是質數(shù)的是3、5，這幾個質數(shù)就是15的質因數(shù)。9．因數(shù)倍數(shù)分析：依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念可知：兩個非零自然數(shù)相乘，其中這兩個數(shù)都叫做積的因數(shù)；積就是兩個因數(shù)的倍數(shù)。由此解答。詳解：mn＝k（m，n，k是非0自然數(shù)），m和n是k的（因數(shù)），k是m和n的（倍數(shù)）。10．34倍數(shù)分析：在整數(shù)除法中，被除數(shù)和除數(shù)是非0自然數(shù)，同時商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)的概念相互依存，不能單獨存在，依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：當a÷b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)）我們說a是b和c的倍數(shù)，b和c是a的因數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：由分析可得：由于3×4＝12，所以12÷3＝4或12÷4＝3，所以3和4是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)。綜上所述：3×4＝12，3和4是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)。11．14分析：一個數(shù)的最小倍數(shù)是1倍，即它本身；最大的因數(shù)也是它本身。據(jù)此可得出答案。詳解：，。即一個數(shù)的最小倍數(shù)是14，那么它的最大因數(shù)是14。12．因數(shù)倍數(shù)倍數(shù)分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均為非0的自然數(shù)）中，a、b就是c的因數(shù)，c就是a、b的倍數(shù)。詳解：由分析可得：在45÷9＝5中，5和9是45的因數(shù)，45是5的倍數(shù)，也是9的倍數(shù)。13．×分析：依據(jù)倍數(shù)的定義：一個整數(shù)能被另一個整數(shù)整除，則這個整數(shù)就是另一個整數(shù)的倍數(shù)。依據(jù)定義可知兩個數(shù)都是整數(shù)，據(jù)此可得出答案。詳解：2.4÷0.6＝4，被除數(shù)2.4和除數(shù)0.6都不是整數(shù)，不符合倍數(shù)的定義。即2.4不是0.6的倍數(shù)，題干表述錯誤。故答案為：×14．√分析：由于9是3的倍數(shù)，那么9的倍數(shù)肯定是3的倍數(shù)，3的倍數(shù)中，例如6是3的倍數(shù)，但是6不是9的倍數(shù)，據(jù)此推斷。詳解：3的倍數(shù)不肯定是9的倍數(shù)，如3和6是3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)；所以原題說法正確。故答案為：√。點睛：本題主要考查了找一個數(shù)的倍數(shù)，解題的關鍵是列舉出3的倍數(shù)中不是9的倍數(shù)的數(shù)。15．×分析：若整數(shù)a能夠被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答。詳解：36÷40＝0.9，但是0.9是小數(shù)，不符合因數(shù)和倍數(shù)的意義。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，留意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。16．√分析：依據(jù)因數(shù)、倍數(shù)的含義和找一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的方法，可得一個數(shù)（0除外）的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的是它本身，據(jù)此解答即可。詳解：由于一個數(shù)（0除外）的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的是它本身，所以題中說法正確。故答案為：√點睛：此題主要考查了因數(shù)、倍數(shù)的含義和找一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的方法，要嫻熟把握。17．×分析：假如a×b＝c（a、b、c都是非0的自然數(shù)）那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)詳解：依據(jù)24÷8＝3可得3×8＝24，所以3和8是24的因數(shù)，24是3和8的倍數(shù)。原說法錯誤。故答案為：×點睛：因數(shù)和倍數(shù)兩個不同的概念是相互依存的，不能單獨存在。18．√分析：依據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，假如數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；據(jù)此解答即可。詳解：由于12＝3×4＝2×6所以一個數(shù)是12的倍數(shù)，這個數(shù)肯定是3和6的倍數(shù)。例如：24是12的倍數(shù)，也是3和6的倍數(shù)。故答案為：√點睛：本題主要考查了倍數(shù)的生疏。19．21；28；35；42；49（1）倍數(shù)（2）7、14、21、28、35、42、49分析：每袋餅干的數(shù)量×袋數(shù)＝餅干塊數(shù)，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均為非0的自然數(shù)）中，c是a、b的倍數(shù)，所以餅干塊數(shù)是每袋餅干數(shù)量的倍數(shù)，即小熊餅干的塊數(shù)是7的倍數(shù)，然后依次寫出表中7的倍數(shù)即可。詳解：填表如下：袋數(shù)1234567餅干塊數(shù)7142128354249由分析可知：（1）小熊餅干的塊數(shù)肯定是7的倍數(shù)。（2）表中7的倍數(shù)有7、14、21、28、35、42、49。20．見詳解分析：列乘法算式找因數(shù)，依據(jù)從小到大的挨次，一組一組地寫出全部積是這個數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個因數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。據(jù)此寫出乘積是24的算式。詳解