2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第三節(jié)幾何概型課時規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第九章概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第三節(jié)幾何概型課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點練1．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析：記“至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).答案：B2．(2024·武漢武昌區(qū)調(diào)研)在區(qū)間[0，1]上隨機取一個數(shù)x，則事務(wù)“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為 A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：因為log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.答案：D3．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為 A.eq\f(1,27) B.eq\f(26,27)C.eq\f(8,27) D.eq\f(1,8)解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率P＝eq\f(V1,V)＝eq\f(1,27).答案：A4．已知事務(wù)“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝(eq\f(3,4)AB)2＋AD2，解得(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故選D.答案：D5．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上隨機取一個數(shù)x，則cosπx的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的概率為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))的長度為1，滿意cos(πx)的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,4)))，區(qū)間長度為eq\f(1,6)，由幾何概型概率公式得P＝eq\f(\f(1,6),1)＝eq\f(1,6).答案：D6．如圖，正三角形ABC內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正三角形的中心成中心對稱．在正三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3)π,18) D.eq\f(2\r(3)π,9)解析：設(shè)正三角形邊長為a，則圓的半徑為eq\f(\r(3)a,6)，正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2，圓的面積為eq\f(πa2,12).由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,12),\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3)π,18).故選C.答案：C7．在棱長為2的正方體內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)解析：符合條件的點P落在棱長為2的正方體內(nèi)，且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為1的eq\f(1,8)球體外；依據(jù)幾何概型的概率計算公式得，P＝eq\f(23－8×\f(1,8)×π×\f(4,3)×13,23)＝1－eq\f(π,6).答案：D8．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測繪隊員在A，B之間的直線馬路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進(jìn)行測繪，O地為一磁場，距離其不超過eq\r(3)km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不精確，則該測繪隊員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(3),2) D．1－eq\f(\r(2),2)解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2eq\r(2)，故該測繪隊員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2)，故選D.答案：D9．在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．解析：由幾何概型知eq\f(5,6)＝eq\f(m－（－2）,6)，解得m＝3.答案：310．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的勻稱隨機數(shù)a，則事務(wù)“3a－1>0解析：由題意知0≤a≤1，事務(wù)“3a－1>0”發(fā)生時，a>eq\f(1,3)且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)B組——素養(yǎng)提升練11．(2024·洛陽統(tǒng)考)在區(qū)間(0，2)內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，則滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的點(x，y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：作出約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝eq\f(1,2)×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，依據(jù)幾何概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2).答案：C12．(2024·湖北五校聯(lián)考)已知定義在區(qū)間[－3，3]上的函數(shù)f(x)＝2x＋m滿意f(2)＝6，在[－3，3]上任取一個實數(shù)x，則使得f(x)的值不小于4的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3，3]，故依據(jù)幾何概型的概率計算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B13.如圖所示，A是圓上肯定點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點在A點左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C14．已知正棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由題意知，當(dāng)點P在三棱錐的中截面以下時，滿意VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).答案：B15．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為 ()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必需有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝