2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)5三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

課后素養(yǎng)落實(shí)(五十五)三角函數(shù)的應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．如圖所示，單擺從某點(diǎn)起先來(lái)回?fù)u擺，離開(kāi)平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么單擺搖擺一個(gè)周期所需的時(shí)間為()A．2πs B．πsC．0.5s D．1sD[依題意是求函數(shù)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq\f(2π,2π)＝1，故選D.]2．商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)，五一節(jié)那天某商場(chǎng)的人流量滿(mǎn)意函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列時(shí)間段內(nèi)人流量增加的是()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]C[由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故選C.]3．在兩個(gè)彈簧上各有一個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的小球做上下自由振動(dòng)．已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)離開(kāi)平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cos2t確定，則當(dāng)t＝eq\f(2π,3)s時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能確定C[當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq\f(3π,2)＝－5，當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s2＝10coseq\f(4π,3)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2.]4．下表是某市近30年來(lái)月平均氣溫(℃)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：月份123456789101112平均溫度－5.9－3.32.29.315.120.322.822.218.211.94.3－2.4則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是()A．y＝acoseq\f(πx,6)B．y＝acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)C．y＝－acoseq\f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)D．y＝acoseq\f(πx,6)－3C[當(dāng)x＝1時(shí)圖象處于最低點(diǎn)，且易知a＝eq\f(－5.9＋22.8,2)＞0.故選C.]5．電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)改變的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是()A．－5安 B．5安C．5eq\r(3)安 D．10安A[由圖象知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))為五點(diǎn)作圖法中的其次個(gè)點(diǎn)，所以100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2).所以φ＝eq\f(π,6).所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，當(dāng)t＝eq\f(1,100)秒時(shí)，I＝－5安．]二、填空題6．某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的月平均氣溫值為_(kāi)_____℃.20.5[由題意可知A＝eq\f(28－18,2)＝5，a＝eq\f(28＋18,2)＝23.從而y＝5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))＋23.故10月份的月平均氣溫值為y＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.]7．如圖是彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是________．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))[由題圖可設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5,2)π，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)πt＋φ))，將點(diǎn)(0.1,2)代入y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ))中，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))＝1，所以φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，令k＝0，得φ＝eq\f(π,4)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).]8．一種波的波形為函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．7[函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的周期T＝4，且x＝3時(shí)y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整數(shù)t的最小值是7.]三、解答題9．已知某地一天從4時(shí)到16時(shí)的溫度改變曲線(xiàn)近似滿(mǎn)意函數(shù)y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；(2)若有一種細(xì)菌在15℃到25[解](1)由函數(shù)易知，當(dāng)x＝14時(shí)函數(shù)取最大值，即最高溫度為30℃；當(dāng)x＝6時(shí)函數(shù)取最小值，即最低溫度為10℃.所以，最大溫差為30℃－10(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq\f(1,2).而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(26,3).令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(34,3).故該細(xì)菌的存活時(shí)間為eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)小時(shí)．10．某帆板集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(0≤t≤24，單位：時(shí))呈周期性改變，每天時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)從y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中選一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該模型的解析式；(3)假如確定在一天內(nèi)的7時(shí)到19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試支配恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．令A(yù)>0，ω>0，|φ|<π.由圖可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2).則－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,6)t≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，留意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再結(jié)合題意可知，應(yīng)支配在11時(shí)到19時(shí)訓(xùn)練較恰當(dāng)．1．穩(wěn)定房?jī)r(jià)是我國(guó)今年實(shí)施宏觀(guān)調(diào)控的重點(diǎn)，國(guó)家最近出臺(tái)的一系列政策已對(duì)各地的房地產(chǎn)市場(chǎng)產(chǎn)生了影響，溫州市某房地產(chǎn)中介對(duì)本市一樓盤(pán)在今年的房?jī)r(jià)作了統(tǒng)計(jì)與預(yù)料：發(fā)覺(jué)每個(gè)季度的平均單價(jià)y(每平方米的價(jià)格，單位：元)與第x季度之間近似滿(mǎn)意：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均單價(jià)如下表所示：x123y100009500？則此樓盤(pán)在第三季度的平均單價(jià)大約是()A．10000元 B．9500元C．9000元 D．8500元C[因?yàn)閥＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；當(dāng)x＝2時(shí)，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq\f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋π))＋9500.當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9000.]2.如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的肯定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身在圓上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()ABCDC[令A(yù)P所對(duì)圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sineq\f(θ,2)＝eq\f(d,2)，∴d＝2sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(l,2)，即d＝f(l)＝2sineq\f(l,2)(0≤l≤2π)，它的圖象為C.]3．國(guó)際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)正弦波動(dòng)規(guī)律：P＝Asinωπt＋eq\f(π,4)＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價(jià)80美元，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，則ω的最小值為_(kāi)_______．eq\f(1,120)[因?yàn)锳sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60＝80，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))≤1，所以A＝20，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此時(shí)150ωπ＋eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝1時(shí)，ω取最小值，所以150ωπ＋eq\f(π,4)＝eq\f(3,2)π，解得ω＝eq\f(1,120).]4．已知角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的隨意兩點(diǎn)，若|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________.－eq\f(\r(2),2)[由條件|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，結(jié)合圖象(略)可知函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(2π,3)，則由T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)，得ω＝3.又因?yàn)榻铅盏慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq\f(π,4)，則f(x)＝sin3x－eq\f(π,4)，于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).]在某個(gè)以旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的改變，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)f(n)可近似地用函數(shù)f(n)＝100·[Acos(ωn＋2)＋k]來(lái)刻畫(huà)，其中A和k是正整數(shù)，ω>0，正整數(shù)n表示月份且n∈[1,12]，n∈N＋，例如n＝1時(shí)表示1月份．經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)覺(jué)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增，直到8月份達(dá)到最多．(1)試依據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的f(n)的表達(dá)式；(2)一般地，假如當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過(guò)400人時(shí)，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”，