2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章數(shù)列5.5數(shù)學歸納法學案含解析新人教B版選擇性必修第三冊1

PAGE5.5數(shù)學歸納法必備學問·素養(yǎng)奠基數(shù)學歸納法(1)概念:一個與自然數(shù)有關(guān)的命題,假如只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對大于等于n0的全部自然數(shù)都成立.(2)證明形式:記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.結(jié)論:P(n)為真.(1)驗證的第一個值n0肯定是1嗎?提示:不肯定,如證明“凸n邊形對角線的條數(shù)f(n)=QUOTE”時,第一步應驗證n=3是否成立.(2)在其次步證明中,必需從歸納假設用綜合法證明嗎?提示:不是,在歸納遞推中,可以應用綜合法、分析法、反證法、放縮法等各種證明方法.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)全部與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必需用數(shù)學歸納法證明. ()(2)不管是等式還是不等式,用數(shù)學歸納法證明時由n=k到n=k+1時,項數(shù)都增加了一項. ()(3)用數(shù)學歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗證n=1時,左邊式子應為1+2+22+23. ()提示:(1)×.也可以用其他方法證明.(2)×.有的增加了不止一項.(3)√.視察左邊的式子可知有n+3項,所以驗證n=1時,左邊式子應為1+2+22+23.2.已知f(n)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,則 ()A.f(n)共有n項,當n=2時,f(2)=QUOTE+QUOTEB.f(n)共有n+1項,當n=2時,f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.f(n)共有n2-n項,當n=2時,f(2)=QUOTE+QUOTED.f(n)共有n2-n+1項,當n=2時,f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】選D.結(jié)合f(n)中各項的特征可知,分子均為1,分母為n,n+1,…,n2的連續(xù)自然數(shù)共有n2-n+1個,且f(2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的過程中,其次步n=k時等式成立,則當n=k+1時應得到 ()A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1【解析】選D.因為將式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替換得:當n=k+1時,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一用數(shù)學歸納法證明等式【典例】用數(shù)學歸納法證明:1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n∈N+.【思維·引】等式的左邊有2n項,右邊有n項,左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù),末項與n有關(guān),右邊的分母是從n+1到n+n的連續(xù)正整數(shù),首、末項都與n有關(guān).【證明】(i)當n=1時,左邊=1-QUOTE=QUOTE,右邊=QUOTE,等式成立;(ii)假設當n=k(k∈N+)時等式成立,即1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,那么當n=k+1時,左邊=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE=右邊,所以當n=k+1時等式也成立.綜合(i)(ii)知對一切n∈N+,等式都成立.【內(nèi)化·悟】用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時的關(guān)鍵是什么?要留意什么?提示:用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題,關(guān)鍵是其次步,要留意當n=k+1時,等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項,削減了哪些項,問題就會順當解決.【類題·通】數(shù)學歸納法證題的三個關(guān)鍵點(1)驗證是基礎(chǔ)找準起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不肯定是1.(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學歸納法的實質(zhì)在于遞推,所以從“k”到“k+1”的過程中,要正確分析式子項數(shù)的改變.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,弄清由n=k到n=k+1時,等式的兩邊會增加多少項、增加怎樣的項.(3)利用假設是核心在其次步證明n=k+1成立時,肯定要利用歸納假設,即必需把歸納假設“n=k時命題成立”作為條件來導出“n=k+1”也成立,在書寫f(k+1)時,肯定要把包含f(k)的式子寫出來,尤其是f(k)中的最終一項,這是數(shù)學歸納法的核心,不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法.【習練·破】用數(shù)學歸納法證明:QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE(n∈N+).【證明】(i)當n=1時,左邊=QUOTE=QUOTE,右邊=QUOTE=QUOTE.左邊=右邊,所以等式成立.(ii)假設n=k(k∈N+且k≥1)時等式成立,即有QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE,則當n=k+1時,QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以當n=k+1時,等式也成立,由(i)(ii)可知,對于一切n∈N+等式都成立.【加練·固】用數(shù)學歸納法證明12+32+52+…+(2n-1)2=QUOTEn(4n2-1)(n∈N+).【證明】(i)當n=1時,左邊=12,右邊=QUOTE×1×(4×1-1)=1,左邊=右邊,等式成立.(ii)假設當n=k(k∈N+,k≥1)時,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=QUOTEk(4k2-1),則當n=k+1時12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=QUOTEk(4k2-1)+(2k+1)2=QUOTEk(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=QUOTE(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=QUOTE(2k+1)(2k2+5k+3)=QUOTE(2k+1)(k+1)(2k+3)=QUOTE(k+1)(4k2+8k+3)=QUOTE(k+1)[4(k+1)2-1],即當n=k+1時,等式成立.由(i)(ii)可知,對一切n∈N+等式成立.類型二用數(shù)學歸納法證明不等式【典例】求證:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n≥2,n∈N+).【思維·引】由n≥2知n的初始值為2,在其次步可以應用分析法或放縮法證明.【解析】(i)當n=2時,左邊=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE,故左邊>右邊,不等式成立.(ii)假設當n=k(k≥2,k∈N+)時命題成立,即QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE,則當n=k+1時,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE>QUOTE+QUOTE,*方法一(分析法)下面證*式≥QUOTE,即QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE≥0,只需證(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,只需證(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,只需證9k+5≥0,明顯成立.所以當n=k+1時,不等式也成立.方法二(放縮法)*式>(3×QUOTE-QUOTE)+QUOTE=QUOTE,所以當n=k+1時,不等式也成立.由(i)(ii)可知,原不等式對一切n≥2,n∈N+均成立.【內(nèi)化·悟】1.在什么條件下適合應用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題?提示:當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應用其他方法不簡潔證,則可考慮應用數(shù)學歸納法.2.應用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的關(guān)鍵是由n=k時成立得n=k+1時成立,這一步驟有哪些方法?提示:主要方法有①放縮法;②利用基本不等式法;③作差比較法等.【類題·通】用數(shù)學歸納法證明不等式問題的四個關(guān)鍵點【習練·破】用數(shù)學歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式QUOTE…QUOTE>QUOTE均成立.【證明】(i)當n=2時,左邊=1+QUOTE=QUOTE;右邊=QUOTE.因為左邊>右邊,所以不等式成立.(ii)假設當n=k(k≥2,且k∈N+)時不等式成立,即QUOTE…QUOTE>QUOTE.則當n=k+1時,QUOTE…QUOTE>QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE>QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以當n=k+1時,不等式也成立.由(i)(ii)知,對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.【加練·固】已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,QUOTE+an+1-1=QUOTE.求證:當n∈N+時,an<an+1.【證明】(i)當n=1時,因為a2是方程QUOTE+a2-1=0的正根,所以a1<a2.(ii)假設當n=k(k∈N+,k≥1)時,0≤ak<ak+1,則由QUOTE-QUOTE=(QUOTE+ak+2-1)-(QUOTE+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,得ak+1<ak+2,即當n=k+1時,an<an+1也成立.依據(jù)(i)和(ii),可知an<an+1對任何n∈N+都成立.類型三歸納-猜想-證明【典例】在各項為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項和Sn滿意Sn=QUOTE.(1)求a1,a2,a3.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并且用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【思維·引】(1)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且Sn=QUOTE,所以可依據(jù)解方程求出a1,a2,a3.(2)視察a1,a2,a3猜想出{an}的通項公式an,然后再證明.【解析】(1)S1=a1=QUOTE得QUOTE=1.因為an>0,所以a1=1,由S2=a1+a2=QUOTE,得QUOTE+2a2-1=0,所以a2=QUOTE-1.又由S3=a1+a2+a3=QUOTE,得QUOTE+2QUOTEa3-1=0,所以a3=QUOTE-QUOTE.(2)猜想an=QUOTE-QUOTE(n∈N+)證明:①當n=1時,a1=1=QUOTE-QUOTE猜想成立.②假設當n=k(k∈N+)時猜想成馬上ak=QUOTE-QUOTE,則當n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=QUOTE-QUOTE,即ak+1=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以QUOTE+2QUOTEak+1-1=0,所以ak+1=QUOTE-QUOTE.即n=k+1時猜想成立.由①②知,an=QUOTE-QUOTE(n∈N+).【素養(yǎng)·探】本題運用了從特別到一般的探究、歸納、猜想及證明的思維方式去探究和發(fā)覺問題,并證明所得結(jié)論的正確性,這是特別重要的一種思維實力,在這類問題中常常用到的數(shù)學核心素養(yǎng)是邏輯推理.已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,g(n)=QUOTE-QUOTE,n∈N+.(1)當n=1,2,3時,試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系.(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.【解析】(1)當n=1時,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);當n=2時,f(2)=QUOTE,g(2)=QUOTE,所以f(2)<g(2);當n=3時,f(3)=QUOTE,g(3)=QUOTE,所以f(3)<g(3).(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用數(shù)學歸納法給出證明.①當n=1,2,3時,不等式明顯成立.②假設當n=k(k≥3,k∈N+)時不等式成立,即1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE-QUOTE,那么,當n=k+1時,f(k+1)=f(k)+QUOTE<QUOTE-QUOTE+QUOTE,因為QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE<0,所以f(k+1)<QUOTE-QUOTE=g(k+1),由①②可知,對一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.【類題·通】1.“歸納——猜想——證明”的解題步驟2.“歸納——猜想——證明”解決的主要問題(1)已知數(shù)列的遞推公式,求通項公式或前n項和.(2)由一些恒等式,不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.(3)給出一些簡潔命題(n=1,2,3……),猜想并證明對隨意正整數(shù)n都成立的一般性命題.提示:①計算特例時,不僅僅是簡潔的算數(shù)過程,有時要通過計算過程發(fā)覺數(shù)據(jù)的改變規(guī)律;②猜想必需精確,肯定不能猜錯,否則將徒勞無功.③假如猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān),一般用數(shù)學歸納法證明.【習練·破】(2024·全國Ⅲ卷)設數(shù)列QUOTE滿意a1=3,an+1=3an-4n.(1)計算a2,a3,猜想QUOTE的通項公式并加以證明;(2)求數(shù)列QUOTE的前n項和Sn.【解析】(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由數(shù)列QUOTE的前三項可猜想數(shù)列QUOTE是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,即an=2n+1,證明如下:當n=1時,a1=3成立;假設n=k(k≥1,k∈N+)時,ak=2k+1成立.那么n=k+1時,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.則對隨意的n∈N+,都有an=2n+1成立.(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②由①-②得:-Sn=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=(1-2n)·2n+1-2,即Sn=(2n-1)·2n+1+2.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.證明1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n∈N+),假設n=k時成立,當n=k+1時,左端增加的項數(shù)是 ()A.1 B.k-1 C.k D.2k【解析】選D.當n=k時,不等式左端為1+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE;當n=k+1時,不等式左端為1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,增加了QUOTE+…+QUOTE項,共(2k+1-1)-2k+1=2k項.2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且Sn=2n-an(n∈N+),若已經(jīng)算出a1=1,