人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題12.1全等三角形的綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題12.1全等三角形的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、全等圖形的判定判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角角邊(AAS)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等二、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）典例分析典例分析【典例1】【初步探索】（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE.連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，若∠C=70°，請(qǐng)直接寫出∠EAF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，利用∠ABC+∠ADC=180°，∠C=70°推導(dǎo)出∠DAB的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF，理由如下：如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌△ADGSAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADC∴△ABE≌△ADGSAS∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°?∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD=70°，∴∠DAB=180°?70°=110°，∠EAF=180°?1學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板按如圖△ADE放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、CE，CE與AB交于點(diǎn)F.下列判斷正確的有（）①△ACE≌△DBE；②BE⊥CE；③DE=DF；④SA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分線CD與內(nèi)角平分線BE的延長線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AD，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BDC=45°；②12BD+CE=BC；③AB=DF；④S△ADEA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度，沿著C→A→B路徑運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒x個(gè)單位長度的速度，沿著D→B→A路徑運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng)．它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若x=1．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍；②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=6：③若α=90°，t=5，x=1時(shí)，△ACP≌△BPQ；④若△ACP與△BPQ全等，則x=0.8或411

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④5．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，銳角△ABC中，∠BAC=60°,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論①∠BOC=120°；②連接ED，則ED∥BC；③BC=BE+CD；④若BO=AC，則∠ABC=40°．其中正確的結(jié)論是（A．①② B．①③ C．①③④ D．③④6．（22-23八年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CN=MB，其中正確的結(jié)論是7．（23-24八年級(jí)上·廣東中山·期中）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，∠AFB=51°，連接DF，EF，則∠DFE=．

8．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，則∠OAC=.

9．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若BD=3，AG=8，則AB=11；④S△ACD:S

10．（22-23八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=14cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)P和Q分別以2cm/s和3cm/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，11．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖．在△ABC中，∠ABC=60°．AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠EOD的度數(shù)；（2）求證：OD=OE．12．（22-23七年級(jí)下·重慶南岸·期末）在∠MAN點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED=∠CFD，請(qǐng)說明DE=DF（2）如圖2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．13．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m．CE⊥直線m，垂足分別為D，E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．14．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，15．（2023八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊

16．（23-24八年級(jí)上·吉林遼源·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=45°．MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求證：BD=AE（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G（如圖2)，其他條件不變，求證：BD=AE．（3）在（2）的情況下，若CE的延長線過AB的中點(diǎn)F（如圖3)，連接GF，求證：∠1=∠2．17．（22-23八年級(jí)上·廣西南寧·期末）綜合與實(shí)踐：【問題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師對(duì)各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問題：如圖1，∠ACB=900，AC=BC，AD⊥CD,BE⊥CD，垂足分別為點(diǎn)D,E．請(qǐng)證明：【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交CD于點(diǎn)G．若DG=1,CG=3，請(qǐng)證明：點(diǎn)A為DF的中點(diǎn)．【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問題：如圖3，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是射線DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交射線CD于點(diǎn)G．若FD=4AF，請(qǐng)直接寫出DG與CG的數(shù)量關(guān)系．18．（23-24八年級(jí)上·遼寧撫順·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相應(yīng)的問題（1）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，易證△ABM≌△BCN，若AM=2，CN=7，則MN=______；（2）【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE的面積為______．19．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）【閱讀材料】“截長法”是幾何題中一種輔助線的添加方法，是指在長線段中截取一段等于已知線段，常用于解答線段間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)題目中有等腰三角形、角平分線等條件，可用“截長法”構(gòu)造全等三角形來進(jìn)行解題．

【問題解決】（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD為∠BAC的角平分線，在AB上截取AE=AC，連接DE．請(qǐng)直接寫出線段AB,AC,CD之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD為∠BAC的角平分線．請(qǐng)判斷線段AB,AC,CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）如圖③，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD為∠BAC的補(bǔ)角的角平分線．請(qǐng)判斷線段AB,AC,CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．20．（2023·廣西南寧·二模）如圖，在△ABC中，AD為高，AC=18．點(diǎn)E為AC上的一點(diǎn)，CE=12AE，連接BE，交AD于O（1）猜想線段BO與AC的位置關(guān)系，并證明；（2）有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC以每秒6個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面積為27？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)F是直線BC上一點(diǎn)，且CF=AO，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．專題12.1全等三角形的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、全等圖形的判定判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角角邊(AAS)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等二、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線均相等）典例分析典例分析【典例1】【初步探索】（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE.連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，若∠C=70°，請(qǐng)直接寫出∠EAF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，利用∠ABC+∠ADC=180°，∠C=70°推導(dǎo)出∠DAB的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF，理由如下：如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌△ADGSAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADC∴△ABE≌△ADGSAS∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGFSSS∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°?∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD=70°，∴∠DAB=180°?70°=110°，∠EAF=180°?1學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板按如圖△ADE放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、CE，CE與AB交于點(diǎn)F.下列判斷正確的有（）①△ACE≌△DBE；②BE⊥CE；③DE=DF；④SA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】利用△ADE為等腰直角三角形得到∠EAD=∠EDA=45°，EA=ED，則∠EAC=∠EDB=135°，則可根據(jù)“SAS”判斷△ACE≌△DBE（SAS），從而對(duì)①進(jìn)行判斷；再利用∠AEC=∠DEB證明∠BEC=∠DEA=90°，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于∠DEF=90°?∠BED=90°?∠AEC，∠DFE=∠AFC=90°?【解題過程】解：∵AB=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，∴BD=AD=AC，∵△ADE為等腰直角三角形，∴∠EAD=∠∵∠EAC=∠∴∠在△ACE和△DBE中，EA=ED∠EAC=∠EDB∴△ACE≌△DBE（SAS），所以①∴∠∴∠∴BE⊥EC，所以②正確；∵∠而∠AEC=∴∠∵∠而AC=AD>AE，∴∠∴∠∴DE>DF，所以③錯(cuò)誤；∵△ACE≌△DBE，∴S∵BD=AD，∴S∴S∴S△DEF=故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線EP⊥HA的延長線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，分析題意，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得可求出∠CAE=∠BAG，由“邊角邊”可得△ABG≌△AEC，可判斷①是否正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，由△ABG≌△AEC可得∠ACE=∠AGB，即可判斷②的正確性；根據(jù)同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再證明△ABH≌△EAP，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可判斷④是否正確；證明△EPM≌△GQM，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可判斷③是否正確，從而完成解答．【解題過程】解：在正方形ABDE和ACFG中，AC=AG，AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，∴△ABG≌△AECSAS∴BG=CE，故①正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)∵△ABG≌△AEC，∴∠AGB=∠ACE，∴∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°?∠NCF+∠NGF+∠F∴BG⊥CE，故②正確；過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長線于P，如圖所示：∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°?90°=90°，∴∠EAP=∠ABH，在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP，∠AHB=∴△ABH≌△EAPAAS∴∠EAM=∠ABC，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，∴△EPM≌△GQMAAS∴EM=GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結(jié)論都正確，共4個(gè)．故選：D．3．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分線CD與內(nèi)角平分線BE的延長線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AD，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BDC=45°；②12BD+CE=BC；③AB=DF；④S△ADEA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路點(diǎn)撥】在直角三角形ABC中，由內(nèi)角平分線和外角平分線可得∠DCF=45°+∠DBC，由此可證∠BDC=45°；根據(jù)三角形BCE的三邊關(guān)系可知12BD+CE=BC錯(cuò)誤；如圖所示（見詳解），過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，可證△ABE≌△HDE(AAS)，△DHC≌△DFC(AAS【解題過程】解：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，∴∠ACD=∠DCF=1又∵∠DCF是△BDC的外角，∴∠DCF=1∴∠DCF=1∴∠BDC=45°，故①正確；∵點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，∴12在△BCE中，BE+CE>BC，三角形中，兩邊之和大于第三邊，∴BE+CE=1如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵DH⊥AC，∴∠DHE=∠BAE=90°，點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，∴BE=DE，∠AEB=∠DEH，∴△ABE≌△HDE(AAS∴AB=DH，又∵∠DCH=∠DCF，∠DHC=∠DFC=90°，DC為公共邊，∴△DHC≌△DFC(AAS∴DH=DF，∴AB=DH=DF，即AB=DF，故③正確；如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，由結(jié)論④可知，△ABE≌△HDE(AAS)，∴S△ABE=S△HDE，在△ABD中，點(diǎn)E是BD中點(diǎn)，∴S△ABE∴S△DCE綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)故選：B．4．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度，沿著C→A→B路徑運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒x個(gè)單位長度的速度，沿著D→B→A路徑運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)隨即停止運(yùn)動(dòng)．它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若x=1．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍；②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=6：③若α=90°，t=5，x=1時(shí)，△ACP≌△BPQ；④若△ACP與△BPQ全等，則x=0.8或411

A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是弄清運(yùn)動(dòng)過程，找出符合條件的點(diǎn)的位置．本題根據(jù)路程等于時(shí)間乘以速度求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的路程，即可判斷①；首先求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的時(shí)間，然后根據(jù)題意列出算式求解即可判斷②；首先畫出圖形，根據(jù)題意求出AC=6，AP=10?6=4，BQ=BD?DQ=3，PB=AB?AP=6，然后得到△CAP和△PBQ不全等，可判斷③，分2種情況求出x的值可判斷④．【解題過程】解：①∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為2t，若x=1，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程為t，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程始終是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程的2倍，故①正確；②當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，t=6÷2=3秒，∵P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，∴x=10+8③如圖所示，

當(dāng)t=5，x=1時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2×5=10，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為5×1=5，∵AC=6，DQ=5，∴AP=10?6=4，BQ=BD?DQ=8?5=3，∵AB=10，∴PB=AB?AP=10?4=6，∴AP≠BQ，∴△CAP和△PBQ不全等，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)△ACP≌△BPQ時(shí)，則AP=BQ，AC=BP．∵AC=BP，∴10?2t?6∴t=5，∵AP=BQ，∴10?6=8?5x，∴x=0.8；當(dāng)△ACP≌△BQP時(shí)，則AP=BP，AC=BQ．∵AP=BP，∴2t?6=10?2t?6∴t=11∵AC=BQ，∴6=8?11∴x=4∴若△ACP與△BPQ全等，則x=0.8或411綜上所述，正確的選項(xiàng)為①②④．故選：C．5．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，銳角△ABC中，∠BAC=60°,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論①∠BOC=120°；②連接ED，則ED∥BC；③BC=BE+CD；④若BO=AC，則∠ABC=40°．其中正確的結(jié)論是（A．①② B．①③ C．①③④ D．③④【思路點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的常見輔助線-截長補(bǔ)短等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．①根據(jù)∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB即可判斷；②假設(shè)ED∥BC，可推出EB=ED=CD得到AB=AC，即可判斷；③在BC上取一點(diǎn)F，使得BF=BE，證△EBO≌△FBO、△COF≌△DOF即可判斷；④作BG⊥CG,CH⊥AB，證△BGO≌△CHA△BEG≌△CEH，設(shè)∠EBG=∠ECH=x【解題過程】解：∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=∴∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB如圖1所示：∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠EBD=∠CBD,∠ECD=∠BCE若ED∥則∠EDB=∠CBD,∠DEC=∠BCD∴∠EBD=∠CBD=∠EDB,∠ECD=∠BCE=∠DEC∴EB=ED=CD∵ED∥∴AB=AC，與題目條件不符，故②錯(cuò)誤；在BC上取一點(diǎn)F，使得BF=BE，如圖1所示：∵∠EBD=∠CBD,BO=BO∴△EBO≌△FBO∴∠EOB=∠FOB=180°?∠BOC=60°∴∠FOC=∠BOC?∠FOB=60°∵∠DOC=180°?∠BOC=60°∴∠FOC=∠DOC∵∠ECD=∠BCE，CO=CO∴△COF≌△DOF∴CD=CF∵BC=BF+CF∴BC=BE+CD，故③正確；作BG⊥CG,CH⊥AB，如圖2所示：∵BO=AC，∠BOG=∠CAH=60°,∠BGO=∠CHA=90°，∴△BGO≌△CHA∴BG=CH,∠OBG=∠ACH=90°?60°=30°∵BG=CH，∠BEG=∠CEH,∠BGE=∠CHE=90°，∴△BEG≌△CEH∴EB=EC,∠EBG=∠ECH即：∠EBG+∠EBO=30°∴∠EBC=∠ECB=設(shè)∠EBG=∠ECH=x，則x+∠EBO=30°∵∠EBO=∴x+∵∠ECB=∠ACE=∠ECH+∠ACH=x+30°∴60°?2x=x+30°解得：x=10°∴∠EBC=60°?2x=40°，故④正確；故選：C6．（22-23八年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CN=MB，其中正確的結(jié)論是【思路點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用全等三角形的判定和性質(zhì)，可以證明△AEB≌【解題過程】解：在△AEB和△AFC中，∠E=∠F∠B=∠C∴△AEB≌△AFCAAS∴∠EAB=∠CAF，∵∠1+∠CAB=∠2+∠CAB，∴∠1=∠2,BE=CF,AB=AC，故①②正確，在△AEM和△AFN中，∠2=∠1AE=AF∴△AEM≌△AFNASA∴EM=NF，∵CF=BE，∴CN=MB，故④正確，在△ACN和△ABM中，∠C=∠B∠CAN=∠BAM∴△ACN≌△ABMAAS故答案為：①②③④．7．（23-24八年級(jí)上·廣東中山·期中）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，∠AFB=51°，連接DF，EF，則∠DFE=．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠BDF=∠BFD，求出∠AFE=∠BFD=45°即可求出答案．【解題過程】解：連接BD、AE，

∵DA⊥AB∴∠DAB=∠BCF=90°，在△DAB和△BCF中，DA=BC∠DAB=∠BCF∴△DAB≌△BCF∴BD=BF∴∠BDF=∠BFD，∵∠DAB=90°，∴∠ADB+∠DBA=90°，∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=90°，∴∠BFD=∠BDF=45°，同理∠AFE=45°，∴∠DFE=45°+45°?51°=39°，故答案為：39°．8．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，則∠OAC=.

【思路點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，延長BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連結(jié)CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線定義求出∠ABC=∠ACB=55°，∠BAP=∠CAP=35°，進(jìn)而得出∠OBC=30°，利用SAS證明△APB≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，根據(jù)角的和差及三角形內(nèi)角和定理求出∠BPC=120°，結(jié)合平角定義求出∠APC=120°=∠BPC，利用ASA證明△APC≌△OPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=OP，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差求解即可．【解題過程】解：如圖，延長BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連接CP．

∵AP平分∠BAC，∠BAC=70°，∴∠BAP=∠CAP=35°，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=55°，∵∠ABO=25°，∴∠OBC=∠ABC?∠ABO=30°，在△APB和△ACP中，AB=AC∠BAP=∠CAP∴△APB≌△ACP(SAS∴∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，∴∠BCP=∠ACB?∠ACP=30°，∴∠BPC=180°?∠PBC?∠BCP=120°，∴∠APB+∠APC=360°?120°=240°，∴∠APB=∠APC=120°=∠BPC，∵∠OCB=5°，∴∠OCP=∠BCP?∠OCB=25°=∠ACP，在△APC和△OPC中，∠ACP=∠OCPCP=CP∴△APC≌△OPC(ASA∴AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=1∴∠OAC=∠OAP+∠CAP=65°，故答案為：65°．9．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若BD=3，AG=8，則AB=11；④S△ACD:S

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)可以判斷①是否正確；延長FO交AB于H，通過證明△AOH≌△AOG，△BOD≌【解題過程】解：∵△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC∠BOD=∠ABO+∠BAO=1故①正確；延長FO交AB于H，如圖所示：

∴∠AOG=∠AOH=90°，又∵∠HAO=∠GAO，AO=AO，∴△AOH≌∴AG=AH，OG=OH，∴∠BOH=180°?∠BOD?∠DOF=45°，∴∠BOH=∠BOD=45°，∴△BOD≌∴BD=BH，OH=OD，∴AB=AH+BH=AG+BD，∵BD=3，AG=8，∴AB=11，故③正確；∵∠BOA=∠BOH+∠AOH=135°，∠BOF=∠BOD+∠DOF=135°，∴∠BOA=∠BOF，∴△BOA≌∴AO=OF，∵OH=OD，OG=OH，∴OD=OG，∴AD=AO+OD=OF+OG，又∵∠OGE=90°?∠F，∠BEC=90°?∠EBC，∴∠OGE≠∠BEC，∴OE≠OG，∴AD=OF+OG≠OF+OE，故②錯(cuò)誤；∵同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長之比，∴S△ACD故④正確；因此正確的有：①③④．故答案為：①③④．10．（22-23八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=14cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)P和Q分別以2cm/s和3cm/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，【思路點(diǎn)撥】先求出點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和點(diǎn)B所需要的時(shí)間，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C和A點(diǎn)所需要的時(shí)間，然后根據(jù)P、Q所在的位置分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊并用時(shí)間t表示，然后列出方程即可得出結(jié)論．【解題過程】解：由題意知，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：8÷2=4s；到達(dá)點(diǎn)B共需要的時(shí)間為：點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C所需要的時(shí)間為：14÷3=143s；到達(dá)點(diǎn)當(dāng)0≤t≤4，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，如圖所示：此時(shí)AP=2t,BQ=3t∴CP=8?2t,CQ=14?3t∵∠PEC=∠ACB=∠QFC=90°∴∠PCE+∠QCF=90°,∠CQF+QCF=90°∴∠PCE=∠CQF∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴CP=CQ∴8?2t=14?3t∴t=6（不符合題意，舍去）；當(dāng)4<t≤143，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴P和Q重合，E和F重合∴CP=2t?8,QC=14?3t,CP=QC∴2t?8=14?3t∴t=22當(dāng)143<t≤223，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)∴CP=2t?8,CQ=3t?14∵∠PEC=∠ACB=∠QFC=90°∴∠PCE+∠QCF=90°,∠CQF+QCF=90°∴∠PCE=∠CQF∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴CP=CQ∴2t?8=3t?14∴t=6（符合題意）；當(dāng)223<t≤11，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q與點(diǎn)∴CP=2t?8,CQ=CA=8∵∠PEC=∠ACB=∠QFC=90°∴∠PCE+∠QCF=90°,∠CQF+QCF=90°∴∠PCE=∠CQF∵要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等∴CP=CQ∴2t?8=8∴t=8（符合題意）；∴要使以點(diǎn)P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t=8或t=6或t=故答案為：22511．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖．在△ABC中，∠ABC=60°．AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠EOD的度數(shù)；（2）求證：OD=OE．【思路點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）先由∠ABC=60°得∠BAC+∠ACB=120°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠AOC=120°，所以∠EOD=∠AOC=120°；（2）在AC上截取CF=CD，連接OF，先證明△COD≌△COF，得OD=OF；再證明△AOE≌△AOF，得OE=OF，所以O(shè)D=OE．【解題過程】（1）解：∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∵AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAD=12∠BAC∴∠AOC=180°?(∠CAD+∠ACE)=180°?=180°?1∴∠EOD=∠AOC=120°，∴∠EOD的度數(shù)是120°；（2）在AC上截取CF=CD，連接OF，在△COD和△COF中，CD=CF∠OCD=∠OCF∴△COD≌△COFSAS∴OD=OF；∵∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=180°?∠EOD=60°，∴∠COF=∠COD=60°，∴∠AOF=∠AOC?∠COF=60°，∴∠AOE=∠AOF，在ΔAOE和Δ∠OAE=∠OAFOA=OA∴△AOE≌△AOF(ASA∴OE=OF，∴OD=OE．12．（22-23七年級(jí)下·重慶南岸·期末）在∠MAN點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED=∠CFD，請(qǐng)說明DE=DF（2）如圖2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由DB⊥AM，DC⊥AN，可得∠EBD=∠FCD，結(jié)合BD=CD，∠BED=∠CFD，可證△BED≌△CFDASA（2）在BM上取點(diǎn)G，使BG=CF，通過證明△GBD≌△FCD，△GDE≌△EFD，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過輔助線構(gòu)造全等三角形．【解題過程】（1）解：∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠EBD=∠FCD，∵BD=CD，∠BED=∠CFD，∴△BED≌△CFDASA∴DE=DF，（2）解：在BM上取點(diǎn)G，使BG=CF，∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠GBD=∠FCD，∵BD=CD，BG=CF，∴△GBD≌△FCDSAS∴DG=DF，∠GDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=120°?60°=60°，∴∠EDB+∠GDB=60°，即∠EDG=60°，∴△GDE≌△EFDSAS∴EF=EG，即：EF=BE+BG=BE+CF，∴EF=BE+CF．13．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m．CE⊥直線m，垂足分別為D，E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形的性質(zhì)及平角的定義得出∠CAE=∠ABD，可證明△ADB≌△CEA(AAS（2）與（1）類似，可證明△ADB≌△CEA(AAS【解題過程】解：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°．∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC,∴△ADB≌△CEA(AAS∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）成立．證明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，∴∠CAE=∠ABD．在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC,∴△ADB≌△CEA(AAS∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．14．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得出AB?BE<AE<AB+BE，即6?4<AE<6+4，AD為（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出（3）延長AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得【解題過程】解：（1）如圖①，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBDSAS∴BE=AC=4，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，∴6?4<AE<6+4，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案為：1<AD<5；（2）BE+CF>EF，理由如下：延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFDSAS∴BM=CF，∵DE⊥DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；（3）AF+CF=AB，理由如下：如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，在△ABE和△GCE中，CE=BE，∴△ABE≌△GECAAS∴CG=AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠GAF∴∠FAG=∠G，∴AF=GF，∵FG+CF=CG，∴AF+CF=AB．15．（2023八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊

【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）先證明△ABM≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE(SAS（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF．由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠DAF，AG=AF【解題過程】證明：延長EB到G，使BG=DF，連接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF(SAS∴AF=AM，∵∠EAF=1∴∠3+∠4=∠EAF即∠MAE=∠EAF在△AME與△AFE中AM=AF∴△AME≌△AFE(SAS∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE?FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF，∵EG=BE?BG，∴EF=BE?FD．16．（23-24八年級(jí)上·吉林遼源·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=45°．MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求證：BD=AE（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G（如圖2)，其他條件不變，求證：BD=AE．（3）在（2）的情況下，若CE的延長線過AB的中點(diǎn)F（如圖3)，連接GF，求證：∠1=∠2．【思路點(diǎn)撥】（1）首先證明∠1=∠3，再證明△ADB≌△CEA，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=AE；（2）首先證明∠BAD=∠ACE，再證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=AE；（3）首先證明△ACF≌△ABP，然后再證明△BFG≌△BPG，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BPG=∠BFG，再根據(jù)等量代換可得結(jié)論∠1=∠2．【解題過程】（1）如圖1，∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC∠3=∠1∴△ADB≌△CEA(AAS∴BD=AE；（2）如圖2，∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAD+∠CAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠BDA=∠CEA∠BAD=∠ACE∴△ABD≌△ACE(AAS∴BD=AE；（3）如圖3，過B作BP∥AC交MN于P，∵BP∥AC，∴∠PBA+∠BAC=180°，∵∠BAC=90°，∴∠PBA=∠BAC=90°，由（2）得：∠BAP=∠ACF，∴在△ACF和△ABP中，∠PBA=∠FACAB=AC∴△ACF≌△ABP(ASA∴∠1=∠BPA，AF=BP，∵BF=AF，∴BF=BP，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，又∵∠PBA=90°，∴∠PBG=45°，∴∠ABC=∠PBG，在△BFG和△BPG中，BF=BP∠FBG=∠PBG∴△BFG≌△BPG(SAS∴∠BPG=∠2，∵∠BPG=∠1，∴∠1=∠2．17．（22-23八年級(jí)上·廣西南寧·期末）綜合與實(shí)踐：【問題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師對(duì)各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問題：如圖1，∠ACB=900，AC=BC，AD⊥CD,BE⊥CD，垂足分別為點(diǎn)D,E．請(qǐng)證明：【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交CD于點(diǎn)G．若DG=1,CG=3，請(qǐng)證明：點(diǎn)A為DF的中點(diǎn)．【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問題：如圖3，∠CDF=90°，CD=FD，點(diǎn)A是射線DF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，連接BF交射線CD于點(diǎn)G．若FD=4AF，請(qǐng)直接寫出DG與CG的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用AAS證得△ACD≌△CBE，即可求證結(jié)論；（2）過B作BH⊥CD于H，由（1）得△ACD≌△CBH，進(jìn)而可得AD=CH,CD=BH，再利用AAS可證△DFG≌△HBG，則可證DG=GH，根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得AD=2，DF=4，進(jìn)而可求證結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，由（2）得AD=CH，CD=BH=FD，HG=DG，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解；【解題過程】解：（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵BE⊥CD，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在△ACD和△CBE中，∠ACD=∠B∠ADC=∠CEB=90°∴△ACD≌△CBEAAS∴AD=CE；（2）證明：過B作BH⊥CD于H，如圖：由（1）得：△ACD≌△CBH，∴AD=CH,CD=BH，∵DF=CD，∴DF=BH，在△DFG和△HBG中，∠DGF=∠BGH∠ADH=∠DHB=90°∴△DFG≌△HBGAAS∵DG=1，∴DG=GH=1，∵CG=3，∴CH=CG=GH=3?1=2，CD=CH+DG=4，∴AD=2，DF=4，∴A是DF的中點(diǎn)；（3）CG=9DG，理由如下：過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，如圖：由（2）得：AD=CH，CD=BH=FD，HG=DG，∵FD=4AF，∴AD=CH=5AF，CD=DF=4AF，∴DH=CH?CD=AF，∴DG=1∴CG=CD+DG=9∴CG=9DG．18．（23-24八年級(jí)上·遼寧撫順·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°），并提出了相應(yīng)的問題（1）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B擺放在線段DF上時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DF，垂足為點(diǎn)N，易證△ABM≌△BCN，若AM=2，CN=7，則MN=______；（2）【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)B在線段DE上且頂點(diǎn)A在線段EF上時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥DE，垂足為點(diǎn)P，猜想AE，PE，CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)A在線段DE上且頂點(diǎn)B在線段EF上時(shí)，若AE=5，BE=1，連接CE，則△ACE的面積為______．【思路點(diǎn)撥】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）由△ABM≌△BCN，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到AM=BN=2，BM=CN=7，即可得到MN；（2）根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)，得到AE=BP，BE=CP，由BE=BP+PE中，即可得到三者的數(shù)量關(guān)系；（3）延長FE，過點(diǎn)C作CP⊥FE于P，由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，從而PC=BE=1，PB=AE=5，則可求得PE，延長AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于F，由平行線間的平行線段相等可得CF=PE=4，代入面積公式得S△ACE【解題過程】（1）解：∵△ABM≌△BCN，AM=2，CN=7，∴AM=BN=2，BM=CN=7，∴MN=BM+BN=9；故答案為：9．（2）解：PE=CP?AE理由：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵CP⊥BE，∴∠CPB=90°，∴∠BCP+∠CBP=90°∴∠ABE=∠BCP，∵∠AEB=90°，∴∠AEB=∠CPB=90°，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP，BE=CP∵BE=BP+PE，∴PE=BE?BP=PC?AE；∴PE=CP?AE．（3）解：延長FE，過點(diǎn)C作CP⊥FE于P，如圖所示：∵∠ABE+∠EBC=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠EBC=∠BAE，∵∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCP，∴PC=BE=1，PB=AE=5，∴PE=PB?BE=5?1=4，延長AE，過點(diǎn)C作CF⊥AE于F，如圖所示：∵AF⊥PE，CP⊥PE，∴AF∥CP，∵AF⊥PE，CF⊥AF，∴PE∥CF，由平行線間的平行線段相等可得CF=PE=4，S△ACE故答案為：10．19．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）【閱讀材料】“截長法”是幾何題中一種輔助線的