人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)22.8圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題-二次函數(shù)的應(yīng)用(壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題22.8圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】如圖1，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(9,0)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=___________時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，當(dāng)t=___________時(shí)，點(diǎn)R落在邊BC上；（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過(guò)定點(diǎn)E(4,0)作EF⊥BC，垂足為F，當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點(diǎn)M、N，若∠MAN=45°，直接寫(xiě)出t的值___________．【思路點(diǎn)撥】（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t即可，當(dāng)R落在BC邊上時(shí)，因?yàn)棣QR是等腰直角三角形，故PR=（2）在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分三種情況討論，按t的取值范圍分段寫(xiě)出關(guān)系式即可；（3）首先判定四邊形ABFE是正方形，其次通過(guò)旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EN+BN，設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的關(guān)系式，由此等式列方程求出t【解題過(guò)程】解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9?6?t，解得t=1，∴t=1時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；點(diǎn)R落在邊BC上，則R縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度和AB相同，∵△PQR為等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9?t?2t=4，解得t=5∴t=53時(shí)，點(diǎn)R落在邊故答案為：1，53（2）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1所示，設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②當(dāng)1<t≤5設(shè)PR交BC于點(diǎn)C，RQ交BC、AB于點(diǎn)S、T，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，則AQ=AT=9?6?t=3?t，∴BT=BS=AB?AT=2?(3?t)=t?1，∴S=S③當(dāng)53設(shè)RQ與AB交于點(diǎn)T，則AT=AQ=9?6?t=3?t，PQ=9?2t?t=9?3t，∴PR=RQ=2∴S=S綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=10?4t(0≤t≤1)S=?（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四邊形ABFE是正方形，如圖4，將△AME繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M連接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，設(shè)EM=m，BN=n，則FM=2?m，F(xiàn)N=2?n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2?m)2整理得，mn+2(m+n)?4=0，①延長(zhǎng)NR交x軸于點(diǎn)S，則m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS?AQ=1∴m=3n，代入①式，化簡(jiǎn)得：3n解得n=?4+273∴BN=3解得t=17?4故答案為：17?47學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cms的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cms的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A．19cm2 B．16cm2 C．2．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在線段AB上，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D．E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B，C重合)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，連接OC，OE．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?2，則SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=3．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts.連接PC，以PC為一邊作正方形PCEFA．32 B．34 C．454．（2024·安徽淮南·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,點(diǎn)H在五邊形ADCEF中，連接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90°,則四邊形ADHFA．413 B．412 C．415．（2023·廣東廣州·一模）如圖，點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，AB=4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當(dāng)BD=時(shí)，△CEF的面積為最小值．6．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動(dòng)，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B7．（2023·山東泰安·一模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠DAB=60°，E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，且AE+CF=1，設(shè)ΔBEF的面積為y，AE=x，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是8．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△APQ的面積為ycm2，則

9．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)（1）幾秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度為42（2）幾秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm（3）當(dāng)t0<t<5為何值時(shí)，四邊形APQC10．（23-24九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的多少倍？（2）設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）求出y的最大值．11．（23-24八年級(jí)上·上海黃浦·期中）等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=20cm,AC=202cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？如果不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（23-24九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D、C不重合時(shí)，以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)線段QE被邊AC平分時(shí)，求t的值；（3）設(shè)?PDEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=6時(shí)t的值.13．（23-24九年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q從A同時(shí)出發(fā)，且速度均為3cm/s，點(diǎn)P，Q分別沿折線AB?BC，AD?DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs0<x<3

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x的值為_(kāi)_____．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍．（3）當(dāng)PQ長(zhǎng)度不變時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍及PQ的長(zhǎng)度．14．（23-24九年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為（單位：cm2），y與x之間的函數(shù)圖象如圖2（1）正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)_____；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置記為P1，Q1，若P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置記為P2，Q2，且點(diǎn)P從15．（23-24九年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以BP、BQ為鄰邊作平行四邊形PBQM，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，平行四邊形PBQM與（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí)，求t的值；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍．16．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A?D?C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作射線AB的垂線，交射線AB于點(diǎn)Q，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△APQ與菱形ABCD重疊部分的面積為（1）寫(xiě)出線段PD的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（2）當(dāng)PQ平分菱形面積時(shí)，求t的值．（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．17．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EA?AD?DC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊DC或邊CB于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xsx>0（1）當(dāng)x=1.5時(shí)，△PQE的形狀是______．（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．18．（2024·吉林四平·一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線BD=6，∠A=60°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交折線AD?DB于點(diǎn)Q，以PQ、PB為邊作矩形PQEB，設(shè)矩形PQEB與△ABD重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)；（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；（3）作射線CE，當(dāng)CE截矩形PQEB所得的圖形存在軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．19．（23-24九年級(jí)上·吉林白城·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cms的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以1cms的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．以AP為一邊向上作正方形APDE，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xsx>0（1）當(dāng)點(diǎn)D落在QF上時(shí)，x的值為_(kāi)_____．（2）當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為16,0，點(diǎn)B在第一象限，∠OBA=90°，BO=BA，矩形OCDE的頂點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D坐標(biāo)為?4,10．（1）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O'C'D'E'，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O'，C'，D'，①如圖②，當(dāng)矩形O'C'D'E'與△OAB重疊部分為五邊形時(shí)，D'E'與OB相交于點(diǎn)M，C'②當(dāng)3≤t≤14時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．專(zhuān)題22.8圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】如圖1，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(9,0)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=___________時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，當(dāng)t=___________時(shí)，點(diǎn)R落在邊BC上；（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，過(guò)定點(diǎn)E(4,0)作EF⊥BC，垂足為F，當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點(diǎn)M、N，若∠MAN=45°，直接寫(xiě)出t的值___________．【思路點(diǎn)撥】（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t即可，當(dāng)R落在BC邊上時(shí)，因?yàn)棣QR是等腰直角三角形，故PR=（2）在圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分三種情況討論，按t的取值范圍分段寫(xiě)出關(guān)系式即可；（3）首先判定四邊形ABFE是正方形，其次通過(guò)旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EN+BN，設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的關(guān)系式，由此等式列方程求出t【解題過(guò)程】解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即2=9?6?t，解得t=1，∴t=1時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；點(diǎn)R落在邊BC上，則R縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度和AB相同，∵△PQR為等腰直角三角形，∴PQ=2AB=2×2=4，即9?t?2t=4，解得t=5∴t=53時(shí)，點(diǎn)R落在邊故答案為：1，53（2）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1所示，設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=2，∴S=S②當(dāng)1<t≤5設(shè)PR交BC于點(diǎn)C，RQ交BC、AB于點(diǎn)S、T，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，則AQ=AT=9?6?t=3?t，∴BT=BS=AB?AT=2?(3?t)=t?1，∴S=S③當(dāng)53設(shè)RQ與AB交于點(diǎn)T，則AT=AQ=9?6?t=3?t，PQ=9?2t?t=9?3t，∴PR=RQ=2∴S=S綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=10?4t(0≤t≤1)S=?（3）∵E(4,0)，∴AE=AB=2，∴四邊形ABFE是正方形，如圖4，將△AME繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM'，其中AE和∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM∴∠MAN=∠M連接MN，在△MAN和△MAM=AM∴△MAN≌△M∴MN=M∴MN=EM+BN，設(shè)EM=m，BN=n，則FM=2?m，F(xiàn)N=2?n，在Rt△FMN中，由勾股定理得：F即(2?m)2整理得，mn+2(m+n)?4=0，①延長(zhǎng)NR交x軸于點(diǎn)S，則m=EM=RS=1∵QS=12PQ=∴n=BN=AS=QS?AQ=1∴m=3n，代入①式，化簡(jiǎn)得：3n解得n=?4+273∴BN=3解得t=17?4故答案為：17?47學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cms的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cms的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A．19cm2 B．16cm2 C．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理．利用分割圖形求面積法找出S四邊形PABQ是解題的關(guān)鍵．在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4)，則PC=(6?t)cm，CQ=2tcm【解題過(guò)程】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，∴AB=A設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4)，則PC=(6?t)cm，CQ=2t∴S===∴當(dāng)t=3時(shí)，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15cm故答案為：C．2．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在線段AB上，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D．E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B，C重合)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，連接OC，OE．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?2，則SA．S△OEF>S△OCD B．S△OEF=【思路點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出S△OCD，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,12m+2，用關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式表示出S△OEF【解題過(guò)程】解：∵點(diǎn)C在線段AB上，橫坐標(biāo)為?2，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為12∴OD=2，CD=1，∴S△OCD設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,1則OF=m=?m，∴S△OEF∵?1∴當(dāng)m=?2時(shí)，S△OEF取最大值，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C∴S△OEF故選C．3．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts.連接PC，以PC為一邊作正方形PCEFA．32 B．34 C．45【思路點(diǎn)撥】設(shè)△PCD的面積為y，根據(jù)面積公式求出y=5?t，根據(jù)勾股定理求出PC2=t2【解題過(guò)程】解：設(shè)△PCD的面積為y，由題意得：AP=t，PD=5?t，∴y=1∵四邊形EFPC是正方形，∴S∵PC∴PC∴S當(dāng)t為4時(shí)，△DEF的面積最小，且最小值為32故選：C．4．（2024·安徽淮南·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,點(diǎn)H在五邊形ADCEF中，連接HG,HF,若HF=HG,∠FHG=90°,則四邊形ADHFA．413 B．412 C．41【思路點(diǎn)撥】先證明△EFB≌△EGCASA，再證明四邊形BERQ為正方形和四邊形AQHT為矩形，利用已知條件從而可推出HT的長(zhǎng)度，最后利用面積法列二次函數(shù)從而求出△AFH【解題過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)E作ER⊥HQ于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)H作HT⊥AD于點(diǎn)T，連接EH和AH，如圖所示，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE,在△EFB和△EGC中，∠FEB=∠GEC∴△EFB∴EF=EG∴△FHG是等腰直角三角形，∴HE=EF=EG，HE⊥FG,∵ER⊥QR,四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠BQR=∠ERQ=90°,∴四邊形BERQ是矩形，∵∠FEH=90°,∠BER=90°,∴∠BEF+∠FER=∠REH+∠REF,∴∠BEF=∠REH,∵∠B=∠ERH=∠ERQ=90°,∠BEF=∠REH,EF=EH,∴△BEF≌∴BE=ER,BF=RH,∵BE=EC,BC=AD=8,∴ER=RQ=BE=4,∵四邊形BQRE為矩形，∴四邊形BQRE為正方形，∴BQ=BE=4,∵AB=6,∴AQ=AB?BQ=6?4=2,∵HQ⊥AB,HT⊥AD,∠BAD=90°,∴四邊形HQAT是矩形，∴HT=AQ=2,∴S設(shè)BF=RH=x,∴QH=QR+RH=4+x，∴S△AFH∵?∴當(dāng)x=1時(shí)，△AFH的面積最大，最大值為252所以，四邊形ADHF面積的最大值為S故選：B5．（2023·廣東廣州·一模）如圖，點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，AB=4，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CE、CF，則當(dāng)BD=時(shí)，△CEF的面積為最小值．【思路點(diǎn)撥】設(shè)BD=x，CD=4?x，根據(jù)勾股定理用含x代數(shù)式表示出正方形ADEF的面積，利用面積關(guān)系S△CEF=12S【解題過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC垂足為點(diǎn)H，∵△ABC是等邊三角形，AB=4，∴BH=HC=12BC=設(shè)BD=x，則DH=2?x，CD=4?x，S正方形S△ACD如圖，在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，過(guò)點(diǎn)C作AF的垂線，交AF于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N，∵AF∥DE，MN⊥AF，∴MN⊥DE，∴四邊形ADNM為矩形，MN=AD=DE=EF=AF，∴S∴SS△CEF當(dāng)x=2?3時(shí)，S△CEF的面積最小為故答案為：2?3，96．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動(dòng)，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可分三種情況討論：當(dāng)0<x≤2時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為△BC'D的面積，當(dāng)2<x≤5時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為△A'【解題過(guò)程】解：①當(dāng)0<x≤2時(shí)，如圖1所示，兩個(gè)三角形重疊部分為△BC由題意得，BC∵△ABC和△A'B'C'是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，∴△BC'D過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∴BE=1∴DE=3∴S即y=3②當(dāng)2<x≤5時(shí)，如圖2所示，兩個(gè)三角形重疊部分為△A由題意得，B'過(guò)點(diǎn)A'作A'E⊥∴A∴S即y=3③當(dāng)5<x≤7時(shí)，如圖3所示，兩個(gè)三角形重疊部分為△B由題意得，BC∵△ABC和△A∴△B'CD過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∴DE=3∴S即y=3綜上，寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3故答案為：y=7．（2023·山東泰安·一模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠DAB=60°，E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，且AE+CF=1，設(shè)ΔBEF的面積為y，AE=x，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是【思路點(diǎn)撥】證明△BEF是等邊三角形，求出△BEF的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案．【解題過(guò)程】解：連接BD，如圖所示：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠DAB=60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，∵AE+DE=AD=1，AE+CF=1，∴DE=CF，在△BDE和△BCF中，DE=CF∠BDE=∠C∴△BDE?△BCF(SAS∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，∴∠DBF+∠DBE=60°，∴∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∴△BEF的面積y=3作BE'⊥AD于E∵AE=x，∴EE∴BE∴y=3∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=3故答案為：y=8．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△APQ的面積為ycm2，則

【思路點(diǎn)撥】先證明△ABC，△ACD均為等邊三角形，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三種情況，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式求得y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．【解題過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=2cm，∠D=60°∴AD=CD=BC=AB=2cm，∠B=∠D=60°∴△ABC，△ACD均為等邊三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠ACB=∠BAC=60°，AC=AB=2cm∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs最大為2cm×3當(dāng)0≤x≤1時(shí)，點(diǎn)P在AC，點(diǎn)Q在AB上，如圖，過(guò)P作PE⊥AB于E，

由題意，AP=xcm，AQ=2xcm，在Rt△APE∴AE=1則PE=A∴y=1當(dāng)1<x≤2時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AB上，如圖，過(guò)Q作QF⊥AC于F，

由題意，AP=xcm，CQ=在Rt△CQF中，∠CQF=90°?∠ACB=30°∴CF=1則QF=C∴y=1當(dāng)2<x≤3時(shí)，點(diǎn)P、Q均在CD上，如圖，過(guò)A作于G，

由題意，CP=x?2cm，∴PQ=CQ?CP=2x?4?x?2在Rt△ADG中，∠DAG=90°?∠D=30°∴DG=1則AG=A∴y=1綜上，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y=32x2；當(dāng)1<x≤2時(shí)，y=?3故答案為：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y=32x2；當(dāng)1<x≤2時(shí)，y=?39．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)（1）幾秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度為42（2）幾秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm（3）當(dāng)t0<t<5為何值時(shí)，四邊形APQC【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的極值，一元二次方程分應(yīng)用，本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用t代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別用t的代數(shù)式表示出線段PB,BQ的長(zhǎng)度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面積公式列出方程即可求解；（3）利用（1）中的方法求得四邊形APQC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解題過(guò)程】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度為42依題意得：AP=tcm,BQ=2tcm∴PB=6?t∴∠B=90°，∴PB∴6?t解得：t=2或25∴2秒或25秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度為4（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm依題意得：AP=tcm∴PB=6?t∵△PBQ的面積為8cm∴1解得：t=2或4．∴2秒或4秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm（3）解：四邊形APQC的面積=S====t?3∵1>0，∴當(dāng)t=3時(shí)，四邊形APQC的面積最小，最小值為21．10．（23-24九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的多少倍？（2）設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）求出y的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的長(zhǎng)度，又兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，利用這個(gè)條件即可求解；（2）有兩種情況：①當(dāng)Q在AB上，利用（1）的結(jié)論和三角形的面積公式即可求解；②當(dāng)Q在BC上，利用（1）的結(jié)論求出BQ，CQ的長(zhǎng)度，也就可以求出Q到AB的距離，再利用三角形的面積公式即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解題過(guò)程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=3而兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷3（2）解：∵設(shè)AP=x，△APQ的面積是y，①當(dāng)Q在AB上，

即0<x≤33時(shí)，②當(dāng)Q在BC上，過(guò)Q作QE⊥AC于E，如圖，∵CQ=AB+BC?(AB+BQ)=3?3x，∴QE=1

∴當(dāng)33<x<3即：y=?3綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=3（3）解：對(duì)于y=當(dāng)x=33時(shí)，對(duì)于y=?34當(dāng)x=32時(shí)，∵33∴當(dāng)x=32時(shí)，11．（23-24八年級(jí)上·上海黃浦·期中）等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=20cm,AC=202cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？如果不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/秒，求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出（2）求出△ABC的面積，結(jié)合S△PCQ=S△ABC，設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，分別分析當(dāng)t<20秒時(shí)，以及當(dāng)（3）過(guò)Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M，連接EQ、PM，易證△APE≌【解題過(guò)程】（1）解：當(dāng)t≤20秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=20?t，∴S當(dāng)t>20秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)CQ=t，PB=t?20，∴S綜上所述S=?（2）解：S△ABC當(dāng)0<t<20秒時(shí)，?1方程無(wú)解；當(dāng)t>20秒時(shí)，12解得x1∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10+105秒時(shí)，S（3）解：線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變，理由如下：如圖，過(guò)Q作QM⊥AC，交直線AC于點(diǎn)M，∵AB=BC=20cm∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°∵AP=QC=t，∠QMC=∠AEP=90°∴△APE≌∴AE=PE=CM=QM=2∵EP∥∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對(duì)角線EM的一半，∴EM=EC+CM=EC+AE=202∴ED=1同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=102綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變，為12．（23-24九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D、C不重合時(shí)，以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）用含t的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)線段QE被邊AC平分時(shí)，求t的值；（3）設(shè)?PDEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=6時(shí)t的值.【思路點(diǎn)撥】（1）分0<t<2和2<t<4兩種情況進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)AC與QE相交于點(diǎn)F，求出QF=2AQ=2t，由平行四邊形的性質(zhì)得到QE=PD=4?2t，又有QE=2QF，則（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，分0<t<2和2<t<4兩種情況求解S，再分兩種情況代入S=6進(jìn)一步求解即可.此題考查了列函數(shù)關(guān)系式、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次根式運(yùn)算等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是是解題的關(guān)鍵.【解題過(guò)程】（1）解：∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴BD=CD=1當(dāng)0<t<2時(shí)，PD=BD?PB=4?2t，當(dāng)2<t<4時(shí)，PD=PB?BD=2t?4；（2）如圖1，設(shè)AC與QE相交于點(diǎn)F，在Rt△AQF中，∠AQE=∠B=45°,AQ=∴QF=2∵以PQ、PD為鄰邊作?PDEQ，∴QE=PD=4?2t，又∵QE=2QF，∴4?2t=4t，解得t=3（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠BAC=90°，∴AB=AC=2在Rt△BQH中，BQ=42∴QH=BH=2當(dāng)0<t<2時(shí)，PD=BD?PB=4?2t，∴S=PD?QH=4?2t當(dāng)2<t<4時(shí)，PD=PB?BD=2t?4；∴S=PD?QH=2t?4∴S=2當(dāng)S=6時(shí)，若2t2?12t+16=6當(dāng)S=6時(shí)，若?2t∴t=113．（23-24九年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q從A同時(shí)出發(fā)，且速度均為3cm/s，點(diǎn)P，Q分別沿折線AB?BC，AD?DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs0<x<3

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x的值為_(kāi)_____．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍．（3）當(dāng)PQ長(zhǎng)度不變時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍及PQ的長(zhǎng)度．【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，即AP=AB=3，再計(jì)算出x的值即可；（2）分類(lèi)討論：當(dāng)0<x≤1時(shí)、當(dāng)1<x≤2時(shí)和當(dāng)2<x≤3時(shí)，分別畫(huà)出圖形，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可，注意當(dāng)1<x≤2時(shí)利用矩形面積減去三個(gè)小三角形面積計(jì)算；（3）由題意可知當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)或點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)PQ長(zhǎng)度一定發(fā)生變化，即討論1<x≤2即可，此時(shí)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【解題過(guò)程】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，AP=AB=3，∴x=3故答案為：1；（2）解：分類(lèi)討論，當(dāng)0<x≤1時(shí)，如圖，

∴AP=AQ=3x，∴y=1當(dāng)1<x≤2時(shí)，如圖，

∴AQ=3x，∴y=1當(dāng)2<x≤3時(shí)，如圖，

∴DQ=3x?6，BP=3x?3，BC=QC=9?3x，∴y=AB?AD?=3×6?=?9綜上可知：y=9（3）解：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)或點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)PQ長(zhǎng)度一定發(fā)生變化，∴討論1≤x≤2即可，此時(shí)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)，如圖，作PE⊥AD于E．

∴AE=BP=3x?3，AQ=3x，EP=AB=3，∴EQ=AQ?AE=3x?3x?3∴PQ=E∴當(dāng)PQ長(zhǎng)度不變時(shí)，1≤x≤2，PQ長(zhǎng)度為3214．（23-24九年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為（單位：cm2），y與x之間的函數(shù)圖象如圖2（1）正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)_____；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置記為P1，Q1，若P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置記為P2，Q2，且點(diǎn)P從【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及三角形的面積公式即可求得正方形的邊長(zhǎng)，從而求得速度；（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)用，分類(lèi)討論，①當(dāng)0≤x<4時(shí)，AP=AQ=x；②當(dāng)4≤x≤8時(shí)，如圖所示，CQ=CP=8?x；圖形結(jié)合，根據(jù)幾何圖形面積的計(jì)算方法即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1處時(shí)，x=m(0<m<4)，則點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2處時(shí)，設(shè)六邊形P1BP2Q2D【解題過(guò)程】（1）解：由題意可得△ABD的面積為8，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°∴12解得AB=4cm，(負(fù)值舍去)∴正方形的邊長(zhǎng)為4cm∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為4÷4=1cm/s故答案為：4cm，1（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，線段BD∴BD=2∵點(diǎn)P、Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x∴點(diǎn)P從A→B的時(shí)間為4÷1=4(s)，從A→B→C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為點(diǎn)Q從A→D的時(shí)間為4÷1=4(s)，從A→D→C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為①當(dāng)0≤x<4時(shí)，AP=AQ=x，∴S△ABD=1∴S四邊形∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?1②當(dāng)4≤x≤8時(shí)，如圖所示，

∴CQ=CP=8?x，∴S△ABD=12AB?AD=∴S四邊形∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?1綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?（3）解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1處時(shí)，x=m(0<m<4)，則點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2處時(shí)，設(shè)六邊形P1BP則S==?=?=?m?2∴當(dāng)m=2時(shí)，六邊形P1BP15．（23-24九年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以BP、BQ為鄰邊作平行四邊形PBQM，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，平行四邊形PBQM與（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí)，求t的值；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得BP=2tcm，根據(jù)勾股定理求得BQ=PQ=tcm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得PB∥QM,PB=QM=2tcm，當(dāng)點(diǎn)M在AC（2）分兩種情況：①當(dāng)0<t≤2時(shí)，S=S?BPMQ；②當(dāng)2<t≤3時(shí)，MQ,MP分別交AC于點(diǎn)G、點(diǎn)H，【解題過(guò)程】（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵PQ⊥AB，∴∠PQB=90°，∴∠BPQ=∠B=45°，∴PQ=BQ，∵BP=2∴BQ∴BQ=PQ=tcm∵四邊形PBQM為平行四邊形，∴PB∥QM,PB=QM=2當(dāng)點(diǎn)M在AC邊上時(shí)，如圖，∵PB∥QM，∴∠AMQ=∠ACB=90°．∵∠A=45°，∴△AQM為等腰直角三角形，∴AM∴AQ=2tcm∵AQ+BQ=AB，∴t+2t=6，∴t=2．（2）解：①當(dāng)0<t≤2時(shí)，如圖，∴S=S②∵在Rt△ABC中，A∵AB=6cm∴2A∴AC=BC=32∴當(dāng)2<t≤3時(shí)，如圖，MQ,MP分別交AC于點(diǎn)G、點(diǎn)H，∵BO=tcm∴AQ=6?t∵△AQG為等腰直角三角形，∴AQ∴QG=2∵QM=PB=2∴GM=QM?QG=2∵∠M=45°,∠MGH=90°，∴△GHM為等腰直角三角形，∴GM=GH，∴S=S綜上所述，S=t16．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A?D?C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作射線AB的垂線，交射線AB于點(diǎn)Q，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△APQ與菱形ABCD重疊部分的面積為（1）寫(xiě)出線段PD的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（2）當(dāng)PQ平分菱形面積時(shí)，求t的值．（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）分兩種情況：①當(dāng)0<t≤2時(shí)，②當(dāng)2<t≤4時(shí)，由題意可得出答案；（2）連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形DPQM為矩形，證明△DPO≌△BQOAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出DP=BQ=（3）分三種情況：①當(dāng)0<t≤2時(shí)，點(diǎn)P在邊AD上，如圖2；②當(dāng)2<t≤3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在線段AB上，如圖3；③當(dāng)3<t≤4時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖4．【解題過(guò)程】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=DC=4cm當(dāng)0<t≤2時(shí)，PD=4?2t當(dāng)2<t≤4時(shí)，PD=2t?4（2）解：連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形DPQM為矩形，∴DP=MQ，∵AD=AB=4cm，∠DAB=60°∴AM=2cm∵PQ平分菱形的面積，∴PQ經(jīng)過(guò)BD的中點(diǎn)O，∴OB=OD，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC∥∴∠PDO=∠OBQ，∠DPO=∠BQO，∴△DPO≌△BQOAAS∴DP=BQ=2t?4∴2+2t?4+2t?4=4，∴t=5（3）解：分三種情況：①當(dāng)0<t≤2時(shí)，點(diǎn)P在邊AD上，如圖2．∵AP=2tcm，∠A=60°∴AQ=12AP=t∴S∴S=3②當(dāng)2<t≤3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在線段AB上，如圖3．由（2）可知，∵DP=2t?4∴AQ=2+2t?4=2t?2∴S=SS=1③當(dāng)3<t≤4時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖4．∵AQ=2t?2cm，∴BQ=2t?6∵∠QBN=60°，∴QN=3∴S=S=?23綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=317．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EA?AD?DC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊DC或邊CB于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xsx>0（1）當(dāng)x=1.5時(shí)，△PQE的形狀是______．（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，求x的值．（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得出當(dāng)x=1.5時(shí)，點(diǎn)P在AD上，如圖，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，證明△EAP≌△QFEAAS，得出PE=QE（2）求出當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的距離為6cm（3）分三個(gè)階段：當(dāng)0<x≤1時(shí)，點(diǎn)P在EA上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)1<x≤2時(shí)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，作QF⊥AB于F；當(dāng)2<x≤3時(shí)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，作PH⊥AB于H，分別利用矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．【解題過(guò)程】（1）解：當(dāng)x=1.5時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為：2×1.5=3cm∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．∴AE=1∴當(dāng)x=1.5時(shí)，點(diǎn)P在AD中點(diǎn)上，如圖，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，∴四邊形CBFQ為矩形，∴QF=BC=AE，∵∠PEQ=90°，∴∠PEA+∠QEF=90°，∵∠PEA+∠APE=90°，∴∠QEF=∠APE，∴△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形狀是等腰直角三角形；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，∵∠PEQ=∠C=∠EBC=90°，∴四邊形CBEP是矩形，∴PC=EB=2cm∴DP=CD?PC=2cm∴此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的距離為AE+AD+DP=2+2+2=6cm∴x=6÷2=3；（3）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AD=BC=2cm，AB=CD=4cm∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．∴AE=1如圖，當(dāng)0<x≤1時(shí)，點(diǎn)P在EA上運(yùn)動(dòng)，，此時(shí)PE=2x，∵∠PEQ=∠A=∠D=90°，∴四邊形ADQE是矩形，∴QE=AD=2cm∴y=S如圖，當(dāng)1<x≤2時(shí)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，作QF⊥AB于F，則∠QFA=∠QFB=90°，∴四邊形CBFQ為矩形，∴QF=BC=2cm同（1）可得，△EAP≌△QFEAAS∴PE=QE，∴△PQE的形狀是等腰直角三角形，由題意得：AP+AE=2xcm∴AP=2x?2cm∴PE∴y=S如圖，當(dāng)2<x≤3時(shí)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，作PH⊥AB于H，同理可得：四邊形DAHP為矩形，△EHP≌△QBEAAS∴HP=AD=2cm，PE=QE，AH=DP∵AD+AE+DP=2xcm∴DP=2x?4cm∴AH=DP=2x?4cm∴HE=AE?AH=2?2x?4∴PE∴y=S綜上所述，y=2x18．（2024·吉林四平·一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線BD=6，∠A=60°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交折線AD?DB于點(diǎn)Q，以PQ、PB為邊作矩形PQEB，設(shè)矩形PQEB與△ABD重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）用含t的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)；（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；（3）作射線CE，當(dāng)CE截矩形PQEB所得的圖形存在軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)結(jié)合∠A=60°得到△ABD是等腰三角形，得到BD=6，根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)結(jié)合AP=t，即得BP=6?t；（2）分類(lèi)討論：當(dāng)0<t≤3時(shí)，點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)EQ交BD于點(diǎn)F，證明△AQP?△FBEASA，PQ=3t，得到EF=AP=t，BE=PQ=3t,根據(jù)S=S矩形PQEB?S△BFE計(jì)算即得；當(dāng)3<t<6時(shí)，點(diǎn)Q（3）分類(lèi)討論：設(shè)射線CE交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)得到BH=3，CH=33，當(dāng)0<t≤3時(shí)，若△EBG是等腰直角三角形，推出BH=33?3t，得到33?3t=3，解方程即得；當(dāng)3<t<6時(shí)，設(shè)CG交PQ于點(diǎn)K【解題過(guò)程】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD=BD=6，∵AP=t，∴PB=6?t，（2）當(dāng)0<t≤3時(shí)，如圖1，點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)EQ交BD于點(diǎn)F，∵矩形PQEB中，PQ=BE，∠QPB=∠PBE=∠E=90°，∴∠APQ=∠E=90°，∵∠ABD=∠A=60°，∴∠AQP=∠FBE=30°，∴△AQP?△FBEASA，PQ=∴EF=AP=t，BE=PQ=3∴S==PQ?PB?==?3當(dāng)3<t<6時(shí)，如圖2，點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動(dòng)，∵∠BQP=90°?∠ABD=30°，∴PQ=3∴S=SS=?（3）設(shè)射線CE交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠CHB=90°，∵AD∥BC，∴∠CBH=∠A=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=1∴CH=3當(dāng)0<t≤3時(shí)，如圖3，若△EBG是等腰直角三角形