2024-2025學(xué)年湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.零向量沒有方向

B.空間向量不可以平行移動

C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長度不相等

D.同向且等長的有向線段表示同一向量2.設(shè)復(fù)數(shù)z=i(i?1)，則|z|=(

)A.12 B.22 C.13.已知a=(2,3,?1)，b=(2,0,4)，c=(?4,?6,2)，則下列結(jié)論正確的是A.b//c B.a//b C.4.兩平面α，β的法向量分別為u=(3,?1,z)，v=(?2,?y,1)，若α⊥β，則y+z的值是(????)．A.?3 B.6 C.?6 D.?125.學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生550人，高二年級有學(xué)生500人，高三年級有學(xué)生450人．現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人調(diào)查，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為(

)A.18 B.20 C.22 D.246.如圖：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1A.?12a+12b+c7.已知空間中兩條不同的直線m，n，其方向向量分別為a，b，則“?λ∈R，a≠λb”是“直線m，n相交”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知二面角α?l?β中，平面α的一個(gè)法向量為n1=(32,12,A.余弦值為32 B.正弦值為12 C.大小為60° 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題是真命題的有(

)A.A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若BA,BM,BN能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面

B.直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，則l與m垂直

C.直線l的方向向量為a=(0,1,?1)，平面α的法向量為n=(1,?1,?1)，則10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,?2)，C(2,3,1)，則(

)A.AB?BC=?5

B.|AC|=23

C.異面直線OB與AC所成角的余弦值為1511.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為A1B1的中點(diǎn)，P為棱A.存在點(diǎn)P，使D1P⊥AC1

B.存在點(diǎn)P，使PE=D1E

C.四面體EPC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分別是直線l1、l2的方向向量，若l113.已知AB=(2,3,1)，AC=(4,5,3)，那么向量BC=

14.若a,b,c為空間兩兩夾角都是120°的三個(gè)單位向量，則|四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知向量a=(2,?1,2),b=(1,4,1)．

(1)求a+b,a?b,|216.(本小題12分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，若F為C1C的中點(diǎn)，則

(1)求直線BB1與直線17.(本小題12分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且(b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)．

(1)求B；

(2)若b=2，△ABC的面積為3，求△ABC的周長．18.(本小題12分)在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四邊形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M為PC中點(diǎn)，E在線段BC上，且BE=1．

(1)求證：DM//平面PAB；(2)求直線PB與平面PDE所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)E到PD的距離．19.(本小題12分)如圖所示，在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．(1)證明：BC⊥平面PAB；(2)若PA=AB=6，BC=3，在線段PC上(不含端點(diǎn))，是否存在點(diǎn)D，使得二面角B?AD?C的余弦值為105，若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，說明理由．參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.B

6.B

7.B

8.B

9.BD

10.AC

11.AB

12.18

13.(2,2,2)

14.2115.解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(2,?1,2),b=(1,4,1)．

由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可知：

a+b=(2,?1,2)+(1,4,1)=(3,3,3)，

a?b=(1,?5,1)，|2a|=222+(?1)2+22=6．

(2)設(shè)a?b與a+2b的夾角為θ16.(1)解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1//CC1，

所以直線BB1與直線DF的夾角，

即直線CC1與直線DF的夾角，即為∠DFC，

在Rt△DCF中，DC=2，CF=1，

所以DF=5，則cos∠DFC=CFDF=15=55，

所以直線BB1與直線DF的夾角的余弦值為55；

(2)證明：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

取BD的中點(diǎn)O，連接A1O，F(xiàn)O，A1F，A1C1，

易得A1B=A1D=22，F(xiàn)B=FD=5，

所以A1O⊥BD，F(xiàn)O⊥BD，

又A1O?平面A1BD，17.解：(1)因?yàn)?b+a)(sinB?sinA)=c(sinC?sinA)，

由正弦定理可得(b+a)(b?a)=c(c?a)，

整理可得b2=a2+c2?ac，

而由正弦定理可得b2=a2+c2?2accosB，

所以cosB=12，B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)由(1)及S△ABC=12acsinB=12ac?18.解：(1)如圖，取

BC

中點(diǎn)

F

，連接

MF,DF

因?yàn)?/p>

F

為

BC

中點(diǎn)，

BC//AD

，

AD=AB=2

，

BC=4

，所以

BF=AD

，

BF//AD所以四邊形

ABFD

為平行四邊形，所以

AB//DF

，又

DF?

平面

PAB

，

AB?

平面

PAB

，所以

DF//

平面

PAB

，因?yàn)?/p>

F

為

BC

中點(diǎn)，

M

為

PC

中點(diǎn)，則

MF//PB

，又

MF?

平面

PAB

，

PB?

平面

PAB

，所以

MF//

平面

PAB

，因?yàn)?/p>

MF∩DF=F,MF,DF?

平面

MDF

，所以平面

MDF//

平面

PAB

，又

DM?

平面

MDF

，故

DM//

平面

PAB

．(2)

根據(jù)題意，分別以

AB,AD,AP

所在直線為

x,y,z

軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，

A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0)

，則

PB=(2,0,?2),PD設(shè)平面

PDE

的法向量為

n=(x,y,z)

則

PD?n=2y?2z=0PE?n取

y=2

，則

x=1,z=2

，所以平面

PDE

的一個(gè)法向量為

n=(1,2,2)

設(shè)直線PB與平面

PDE

所成角為

θ

，則

sin?θ=|cos所以直線PB與平面

PDE

所成角的正弦值為

26(3)由(2)可知，

PD=(0,2,?2),PE所以點(diǎn)

E

到PD的距離為

(PE

19.(1)證明：過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，

因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE?平面PAB，

所以AE⊥平面PBC，

又BC?平面PBC，

所以AE⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC?平面PBC，所以PA⊥BC，

又因?yàn)锳E∩PA=A，AE，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

(2)解：假設(shè)在線段PC上(不含端點(diǎn))，存在點(diǎn)D，使得二面角B?AD?C的余弦值為105，

以B為原點(diǎn)，分別以BC、BA為x軸，y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，

AC=(3,?6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,?6,?6)，BA=(0,6,0)，

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，