數(shù)學(xué)教材梳理：正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、正態(tài)曲線與正態(tài)分布曲線1。正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為φu，σ(x）=，x∈（-∞,+∞）其中實(shí)數(shù)u和σ（σ＞0）為參數(shù).我們稱φu，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。要點(diǎn)提示高爾頓板試驗(yàn)中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越多，也就是放入小球的個(gè)數(shù)越多，實(shí)驗(yàn)就越接近正態(tài)曲線.2.正態(tài)分布一般地,如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X滿足P（a〈X≤b）=，則稱X的分布為正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N（μ，σ2)。如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X-N(μ，σ2)。參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計(jì);σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù),可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).把μ=0，σ=1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.方法歸納一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。熱點(diǎn)聚焦正態(tài)分布是客觀存在的規(guī)律，高爾頓板試驗(yàn)只不過是驗(yàn)證了這一規(guī)律而已.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.例如長度測(cè)量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條 件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等);某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等,一般都服從正態(tài)分布。所以，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中。3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于ｘ軸上方，與ｘ軸不相交；(2）曲線是單峰的。它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值；(4）曲線與ｘ軸之間的面積為1;（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿ｘ軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。特點(diǎn)（1）：說明函數(shù)的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的子集，且以ｘ軸為漸近線；特點(diǎn)(2）：是曲線的對(duì)稱性，關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；特點(diǎn)（3)：說明函數(shù)x=μ時(shí)取得最大值；特點(diǎn)(4）：說明正態(tài)變量在（-∞,＋∞）內(nèi)取值的概率為1；特點(diǎn)（5)：說明當(dāng)均值一定時(shí),σ變化時(shí)總體分布的集中、離散程度。知識(shí)拓展若標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）總體取值小于x0的概率用φ（x0）表示，即φ(x0)=P（x〈x0），則φ（x0）+φ（-x0)=1;對(duì)一般正態(tài)總體N（μ，σ2)來說，可通過線性代換y=轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0,1）.二、3σ原則1.正態(tài)分布在區(qū)間(μ—a,μ+a］上的概率若X—N（μ，σ2），則對(duì)于任何實(shí)數(shù)ａ＞0，概率P（μ-a<X≤μ+a）=為直線x=μ—a,x=μ+a與正態(tài)曲線和ｘ軸所圍成的圖形的面積。對(duì)于固定的μ和a而言，該面積隨著σ的減少而變大。這說明σ越小，X落在區(qū)間（μ-a,μ+a]的概率越大，即X集中在μ周圍的概率越大.上述規(guī)律是通過正態(tài)曲線的形象直觀地得到的,也就是通過定性分析得到的，事實(shí)上我們也可以利用定量計(jì)算得到，即通過對(duì)定積分計(jì)算得到。深化升華幾個(gè)特殊結(jié)論：P(μ-a〈X≤μ+a）=0.6826，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0。9544，P（μ-3a〈X≤μ+3a)=0.9974。2。3σ原則由于正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（μ—3a,μ+3a)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外的取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2）的隨機(jī)變量X只取(μ—3a,μ+3a)之間的值,并簡(jiǎn)稱之為3σ原則.深化升華從理論上可以證明,正態(tài)變量在（μ-σ，μ+σ）,（μ—2σ，μ+2σ）,(μ—3σ,μ+3σ)內(nèi)，取值的概率分別約是68。3％，95.4%,99.7%.由于正態(tài)變量在(—∞,+∞)內(nèi)取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=μ三倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3σ原則。問題·探究問題1在高爾頓板試驗(yàn)中，小球第一次與高爾頓板的底部接觸時(shí)的坐標(biāo)X服從正態(tài)分布嗎？思路:一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。在高爾頓板試驗(yàn)中,小球到達(dá)底部的坐標(biāo)X是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布.探究:判斷一個(gè)變量是不是服從正態(tài)分布,就是看是否為隨機(jī)變量，并且是否符合正態(tài)分布的定義及條件。盡管我們是利用高爾頓板試驗(yàn)近似地得到正態(tài)曲線，進(jìn)而得到正態(tài)分布.但正態(tài)分布是客觀存在的規(guī)律，這一試驗(yàn)只是驗(yàn)證了這一問題。而且當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越多,也就是放入的小于的個(gè)數(shù)越多,試驗(yàn)就越接近正態(tài)曲線。問題2某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N(4，0.52),質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件,測(cè)得它的外直徑為5.7ｃｍ，試求該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？思路：由X服從正態(tài)分布N(4，0。52），由正態(tài)分布性質(zhì)可知，正態(tài)分布N（4,0.52）,在（4-3×0.5,4+3×0。5)之外的取值概率只有0。03，而5。7（2。5，5.5)。這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此認(rèn)為這批零件不合格。探究:解決此類問題可以用假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法來解決，其基本步驟可分為三步。一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布N(μ,σ2）；二是確定一次試驗(yàn)中的取值σ是否落入范圍(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判斷，如果a∈(μ—3σ，μ+3σ）,則接受統(tǒng)計(jì)假設(shè),如果a（μ—3σ,μ+3σ)則拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)。要注意小概率事件原理是假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)。運(yùn)用小概率事件原理時(shí)須注意：這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來說的；運(yùn)用“小概率事件原理”進(jìn)行推斷時(shí),我們也有5％的犯錯(cuò)誤的可能.典題·熱題例1設(shè)ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則（1）P（ξ<1。8）=___________；（2)P(—1<ξ〈1.5）=___________;（3）P（ξ〉—1.5）=___________；（4）P（｜ξ｜<2）=___________。思路分析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)直接代入求解:（1）P(ξ〈1。8）=φ（1。8)=0。9641；（2）P(—1〈ξ<1。5)=φ（1。5)-φ（—1）=0.9932-1+φ（1）=0.9932—1+0.8413=0。7745；（3)P（ξ〉-1。5）=1-P(ξ≤—1.5)=1—φ（—1。5)=φ（1.5）=0。9932；（4)P(|ξ|〈2）=φ(2）-φ(—2)=2φ(2）-1=2×0.9772—1=0。9544.答案：（1）0。9641（2)0.7745(3）0。9932(4）0.9544。方法歸納利用公式φ(x）=1—φ（—x）及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的幾何意義（即其概率為相應(yīng)的曲邊多邊形的面積)，是將求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率轉(zhuǎn)化為求φ(x0）的值的關(guān)鍵，進(jìn)而通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可求出相關(guān)的概率。同樣，利用公式P（X<x）=φ（）可將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題，應(yīng)熟練掌握。例2假設(shè)某省今年高考考生成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(500,1002)?，F(xiàn)有考生25000名,計(jì)劃招生10000名，試估計(jì)錄取分?jǐn)?shù)線。思路分析：這是一個(gè)實(shí)際問題，通過數(shù)學(xué)建?？芍浔举|(zhì)就是一個(gè)“正態(tài)分布下求隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率”問題.解:設(shè)分?jǐn)?shù)線為μ，那么分?jǐn)?shù)超過μ的概率應(yīng)為錄取率,即P（ξ≥μ）==0。4,因?yàn)棣?N(500，1002）,所以P（ξ≥μ）=P(=1-p（）=1—φ(）。于是有φ()=1-P（ξ≥μ）=1—0。4=0。6.從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查得φ（0。25)=0。5987≈0。6，故φ（）≈0.6，即μ≈525。由此可以估計(jì)錄取分?jǐn)?shù)線為525分。方法歸納本題關(guān)鍵是由錄取人數(shù)（計(jì)劃招生人數(shù)）與考生總數(shù)之比求得錄取率（即超過錄取分?jǐn)?shù)線的概率），從而成功地建立數(shù)學(xué)模型。例3正態(tài)總體N（0，1）的概率密度函數(shù)是f(x)=,x∈R。（1）求證:ｆ(ｘ）是偶函數(shù)；（2）求ｆ(ｘ）的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明ｆ（ｘ）的增減性.思路分析：對(duì)給出的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，可以利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來研究它的相關(guān)性質(zhì)。解：（1)對(duì)于任意的x∈R，f（—x)==f（x).所以ｆ(ｘ）是偶函數(shù)；（2）令z=,當(dāng)ｘ=0時(shí)，z=0,ex=1,∵ex是關(guān)于ｚ的增函數(shù)，當(dāng)ｘ≠0時(shí)，z>0,ex〉1，∴當(dāng)ｘ=0,即ｚ=0時(shí)，=ex取得最小值，當(dāng)ｘ=0時(shí)，f(x）=取得最大值(3)任取x1<0，x2〈0,且x1<x2,有x12>x22,∴所以,即f（x1）〈f（x2）.這表明當(dāng)ｘ＜0時(shí),ｆ(ｘ）是遞增的。同理可得，對(duì)于任取的x1>0，x2>0,且x1〈x2，有f(x1）>f(x2）,即當(dāng)ｘ＞0時(shí)，ｆ(ｘ）是遞減的。拓展延伸已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間（—3，—1）里的概率和落在區(qū)間（3,5）里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為______________.思路分析：正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間的概率相等，說明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線正方的面積相等，另外，因?yàn)閰^(qū)間(-3，-1)和區(qū)間(3,5）的長度相等，說明正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱的，我們需要找出對(duì)稱軸.由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，μ的概率意義是期望，我們也就找到了正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望了.因?yàn)閰^(qū)間（-3,—1）和區(qū)間（3,5）關(guān)于ｘ=1對(duì)稱,所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望是1。答案：1深化升華通過例題的解決總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分步的概率密度函數(shù)的一些性質(zhì)并注意應(yīng)用。例4已知某車間正常生產(chǎn)某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布N(27。45,0。052),質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽查了10個(gè)零件，測(cè)量得到他們的尺寸如下：27。327。4927。5527。2327.4027.4627。3827。5827.5427。68,請(qǐng)你根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，幫助質(zhì)量檢驗(yàn)員確定哪些應(yīng)該判定為非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的。思路分析：正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=μ三倍標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)，所以對(duì)落在區(qū)間(27。45-3×0.05